Различные процессы, протекающие в средах с инородными включениями, описываются решениями эллиптических краевых задач с теми или иными граничными условиями, задаваемыми на поверхностях этих включений. При большом числе включений области, в которых ставятся такие краевые задачи, имеют чрезвычайно сложную структуру, и даже при помощи численных методов практически невозможно найти их решения.
Поэтому принципиальное значение приобретает вопрос о том, как и при каких условиях задачи такого типа можно свести к значительно более простым задачам для однородной среды и найти приближение их решения. В монографии развивается общая математическая теория, дающая ответ на этот вопрос и охватывающая большое количество конкретных задач. В качестве приложений работы могут представлять практический интерес для физиков и инженеров.
Книга предназначена для математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов. Она будет полезна также физикам и радиофизикам, занимающимся интересующими их вопросами описания волн в средах с большим числом мелких неоднородностей и аналогичными вопросами, возникающими в теории упругости и гидромеханике.
Книга представляет собой обширное справочное пособие по математике и теоретической физике.
Благодаря обилию фактического материала и своеобразной манере изложения книга получила широкую известность во многих странах.
Основное содержание книги:
I. Математика: 1. Числа, функции и операторы. 2. Дифференциальное и интегральное исчисление. 3. Ряды и разложения. 4. Теория функций (в частности, специальные функции). 5. Алгебра. 6. Преобразования. 7. Векторный и тензорный анализ. 8. Специальные системы координат. 9. Теория групп (с теорией представлений). 10. Дифференциальные уравнения (обыкновенные и с частными производными, линейные задачи, теория возмущений). 11. Интегральные уравнения. 12. Вариационное исчисление. 13. Теория вероятностей.
II. Физика: 1. Механика. 2. Электродинамика (с включением оптики). 3. Теория относительности. 4. Квантовая теория (с теорией излучения). 5. Термодинамика. 6. Статистические методы.
Книга представляет единственное в своём роде пособие и будет очень полезна широкому кругу специалистов-физиков, математиков, инженеров, работающих в научно-исследовательских институтах и лабораториях. Она может быть также использована аспирантами и студентами университетов и вузов.
В книге рассматривается многомерное квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. В первой части излагается квантование поля скоростей для гамильтонианов общего вида.
Во второй части для релятивистских и нерелятивистских уравнений квантовой механики рассматриваются в квазиклассическом приближении задача Коши для начальных данных, удовлетворяющих принципу соответствия, задача о рассеянии, асимптотика спектральных серий.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников в области теоретической и математической физики.
Содержит изложение основных результатов исследований автора по асимптотическим методам решения широкого круга задач физики, механики, информатики. Теория возмущений рассматривается самостоятельно и как инструмент, применяемый для уточнения и обоснования асимптотических формул.
Примеры, которыми богата книга, позволяют читателю оценить большие возможности асимптотических методов, которые кроются в их глубокой связи с характерными особенностями, спецификой решаемой задачи.
За разработки этой тематики автор удостоен Ленинской премии 1986 г.
Для специалистов в области математики, физики, механики, а также для студентов старших курсов и аспирантов.
Автор книги — известный французский математик, труды которого уже знакомы советскому читателю (Латтес Р., Лионс Ж.-Л., «Метод квазиобращения и его приложения», «Мир», 1970; Лионс Ж.-Л., Мадженес Э., «Неоднородные граничные задачи и их приложения», «Мир», 1971).
В настоящей монографии теория оптимального управления развивается применительно к управляемым системам с распределёнными параметрами. Благодаря подробному изложению и напоминанию всех необходимых фактов книга, написанная современным математическим языком, с использованием функционального анализа и современной теории уравнений в частных производных, доступна не только математикам, но и инженерам.
Автор книги — известный французский математик, труды которого уже знакомы советскому читателю по их переводам (Латтес Р., Лионис Ж.-Л., «Метод квазиобращения и его приложения», «Мир», 1970; Лионис Ж.-Л., Мадженес Э., «Неоднородные граничные задачи и их приложения», «Мир», 1971).
Его новая монография посвящена некоторым методам решения нелинейных уравнений в частных производных. Эти методы применяются для решения уравнений гидродинамики, теории упругости, квантовой механики, теории оптимального управления и т. д. Ряд уравнений математической физики рассматривается в монографической литературе впервые.
Методичность изложения и ясность делают книгу интересной и доступной для широкого круга читателей — математиков, физиков, специалистов в области механики и теории управления, а также аспирантов и студентов старших курсов этих специальностей.
Книга известных американских математиков П. Лакса и Р. Филлипса посвящена математической теории рассеяния, находящейся на стыке классической теории дифракции, квантовомеханической теории рассеяния, функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Авторы излагают результаты своих исследований, содержащих новый подход к задачам рассеяния волн на ограниченных препятствиях.
Этот подход вскрывает глубокие связи между теорией рассеяния для самосопряженных задач и важным классом несамосопряженных операторов; в частности, он позволяет применять методы функционального анализа к исследованию аналитических свойств матрицы рассеяния и к изучению разложений по полюсам резольвенты на «нефизическом листе».
Книга не имеет аналогов в русской математической литературе.
Она представляет интерес для всех научных работников, занимающихся функциональным анализом, математической физикой и междисциплинарными вопросами. Она, несомненно, полезна и физикам-теоретикам, интересующимся общими вопросами классической и квантовой теории рассеяния.
Изучая конкретный физический процесс, исследователь стремится описать его в математических терминах (например, хорошо известны законы Ньютона движения материальной точки). Получающиеся математические задачи могут быть самыми разнообразными. Среди них выделяют дифференциальные уравнения с частными производными. Именно этой группе задач приписывают термин математическая физика, а способы их решения называют методами математической физики.
Следует подчеркнуть, что при описанном подходе исследуется не реальный физический процесс, а некоторая его модель (идеальный процесс), записанная в форме математических соотношений. От математической модели требуется, чтобы она сохраняла основные черты реального процесса и в то же время была достаточно простой, поддающейся решению известными методами. Соответствие математической модели реальному процессу необходимо затем проверять опытным путем.
Уравнения математической физики возникли из рассмотрения важнейших задач, таких, как распространение звука в газах, волн в жидкостях, тепла в физических телах. В наше время активно изучаются такие явления, как перенос нейтронов в атомных реакторах, гравитация и электромагнитные эффекты, возникающие во Вселенной. Все эти разделы физики создают математические модели, которые приводят к уравнениям с частными производными. Таким образом, уравнения математической физики — это раздел математики, который непосредственно связан с изучением наиболее сложных явлений природы. Методы математической физики составляют часть более общей теории уравнений с частными производными.
Книга посвящена теории эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка, главным образом, линейных.
Значительное внимание уделено вопросам качественного поведения решений вблизи граничных точек и на бесконечности.
Книга посвящена линейным и квазилинейным эллиптическим уравнениям второго порядка. В ней проводятся качественные исследования решений этих уравнений и на их базе устанавливается разрешимость в целом классических краевых задач.
Книга содержит изложение основных достижений, полученных в данной области и опубликованных лишь в журнальной литературе. В ней дается полное решение 19-й и 20-й проблем Гильберта. Многие результаты получены авторами книги и в развернутом виде изложены только здесь.
Во втором издании учтены результаты, полученные после написания первого издания, улучшено изложение ряда разделов, добавлены новые параграфы почти во все главы книги, в том числе включен приближенный метод решения краевых задач, наконец, исправлены замеченные недостатки первого издания.
