SCI Библиотека

Есть в математике темы, пользующиеся достаточной известностью и в то же время признаваемые традицией слишком сложными (или маловажными) для включения в обязательное обучение: обычай относит их к занятиям факультативным, дополнительным, специальным и т. п. В перечне таких тем есть несколько, остающихся сейчас там исключительно в силу инерции. Одной из них является теорема Гёделя.

Несмотря на то, что очень многие математики (и нематематики) слышали о ней, мало кто из них может объяснить, в чем состоит утверждение теоремы Гёделя и тем более как она доказывается. Вместе с тем результат столь важен, а причины, вызывающие неустранимую неполноту (т. е. невозможность добиться того, чтобы каждое истинное утверждение было доказуемо), столь просты, что теорема Гёделя могла бы излагаться на самых младших курсах. Более того, для понимания доказательства необходимо лишь знакомство с простейшей терминологией теории множеств (словами “множество”, “функция”, “область определения” и тому подобными) и некоторая привычка к восприятию математических рассуждений, так что оно вполне доступно подготовленному школьнику.

Излагаемый в этой брошюре способ доказательства теоремы Гёделя отличен от способа, предложенного самим Гёделем, и опирается на элементарные понятия теории алгоритмов. Все необходимые сведения из этой теории сообщаются по ходу дела, так что читатель одновременно знакомится с основными фактами теории алгоритмов. Брошюра написана на основе статьи автора в журнале “Успехи математических наук”, 1974, том 29, выпуск 1 (175). Естественно, что изменение круга предполагаемых читателей сделало необходимой ее переработку. В частности, некоторые более специальные вопросы, а также библиографические ссылки на оригинальные публикации исключены, и любознательный читатель может найти их в упомянутой статье автора. Одновременно расширен раздел, посвященный связи между семантической и синтаксической формулировками теоремы о неполноте, а также добавлены приложения, посвященные теореме Тарского о невыразимости понятия истины и обоснован

Книга посвящена популярному изложению начальных сведений о программировании и программном обеспечении. Рассматриваются такие основные понятия, как алгоритм, алгоритмический язык, вычислительная машина, трансляция и операционная система.

Для чтения книги достаточно знаний в объеме программы средней школы.

Брошюра содержит популярное изложение важного для современной математики понятия частично упорядоченного множества. Рассмотрены понятия точной верхней и точной нижней граней, введены структуры (решетки), рассмотрены алгебраические свойства операций взятия точных граней, введены дистрибутивные структуры.

Для учащихся старших классов средней школы и студентов младших курсов вузов.

Машина Поста — это хотя и абстрактная (т. е. не существующая в арсенале действующей техники), но зато очень простая вычислительная машина. Она способна выполнять лишь самые элементарные действия, и потому ее описание и составление простейших программ может быть доступно ученикам начальной школы. Тем не менее на машине Поста можно запрограммировать — в известном смысле — любые алгоритмы. Изучение машины Поста можно рассматривать как начальный этап обучения теории алгоритмов и программированию.

В брошюре рассказывается об одном часто применяемом виде проектирования сферы на плоскость, обладающем следующими замечательными свойствами: при этом проектировании углы между линиями на сфере изображаются равными им углами между линиями на плоскости, а круги на сфере изображаются кругами и прямыми на плоскости. В ней рассказывается также о применениях этого проектирования в астрономии и географии. В последнем разделе брошюры рассказывается об аналогичном проектировании плоскости Лобачевского на обычную плоскость.

Брошюра рассчитана на школьников старших классов и студентов младших курсов вузов.

В этой брошюре излагаются разные теории, к которым приводит углубленное изучение задачи о делении отрезка в данном отношении. Разбирая эту элементарную задачу и смежные вопросы, читатель совершит небольшое путешествие по математике, соприкоснется с аффинной и проективной геометрией и теорией групп, в большинстве случаев без упоминаний этих названии.

Книга рассчитана на учащихся старших классов; изложение в основных частях доступно для школьников 7–8 классов.

При изучении стереометрии приходится изображать на плоскости пространственные фигуры. Большинство школьников выполняют эти чертежи как попало, без всяких правил. В этой брошюре, рассчитанной на школьников старших классов, излагается теория изображения пространственных фигур на плоскости и приводятся примеры, соответствующие тематике школьного курса стереометрии.

В книге популярно излагаются некоторые теоремы, относящиеся к недавно сформировавшемуся разделу математики — комбинаторной геометрии.

Предназначена для учащихся 8–10 классов, интересующихся математикой, студентов и преподавателей математики.

Основными понятиями математического анализа являются понятия производной и интеграла. Эти понятия не являются элементарными; в любом систематическом курсе математического анализа им предшествуют теория вещественных чисел, теория пределов, теория непрерывных функций. Такая предварительная подготовка необходима, чтобы сформулировать понятия производной и интеграла в достаточно универсальном виде, с применениями к возможно более широкому классу функций. Но если ограничиться лишь сравнительно узким классом рациональных функций и использовать наглядный язык графиков, можно рассказать о производной и интеграле на небольшом числе страниц, притом достаточно аккуратно и вместе с тем содержательно. В этом и состоит задача настоящей брошюры, рассчитанной на широкий круг читателей; уровень знаний школьника 9–10 класса вполне достаточен, чтобы понимать все, о чем здесь будет идти речь.

В книге рассказывается о связи между системами линейных неравенств и выпуклыми многогранниками, дается описание множества всех решений системы линейных неравенств, изучаются вопросы совместности и несовместности; наконец, дается понятие о линейном программировании как об одной из глав теории систем линейных неравенств. В последнем параграфе дается доказательство теоремы двойственности линейного программирования.

Книга рассчитана на школьников старших классов и всех любителей математики.