Пособие посвящено одному из интенсивно развивающихся направлений современного комплексного анализа — теории униформизаций римановых многообразий и клеиновых групп. Принципы униформизаций, восходящие к классическим работам, являются одним из центральных в теории функций, топологии и различных их приложениях.
Основные результаты в этой области иллюстрируются многочисленными примерами и задачами, в том числе и нерешенными проблемами. Пособие опирается на материалы спецкурсов и спецсеминаров, проводившихся в Новосибирском государственном университете и Институте математики СО АН СССР. Оно является продолжением книги “Клейновы группы в примерах и задачах” тех же авторов, изданной в 1978 году (ссылки на библиографию из “Клейновых групп” ниже будут обозначаться n°).
Предлагаемый сборник задач содержит около 900 задач и упражнений. Основной материал задачника составлен в соответствии с известным учебником И. Г. Арамановича, Г. Л. Лунца, Л. Э. Эльсгольца «Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости».
Все задачи снабжены ответами, для некоторых имеются указания к решению.
В начале каждого параграфа приводится сводка формул и основных положений теоретического характера. Даются достаточно подробные решения типовых примеров.
Книга представляет собой практическое руководство по применению метода конформных отображений. Содержит краткое изложение основных понятий теории, описание отображений, осуществляемых элементарными и некоторыми специальными функциями, а также методов отображения областей (односвязных и двусвязных), ограниченных прямолинейными отрезками или дугами окружностей.
Отдельный раздел посвящен приближенным методам конформных отображений (Теодорсена и Гаррика, Гершгорина и др.). Вторая часть книги представляет собой каталог конформных отображений.
Книга полезна для студентов, инженеров и научных работников в области гидродинамики и гидротехники, электро- и радиотехники и других лиц, имеющих дело с применением теории конформных отображений.
Перед Вами—страна, напоминающая по очертаниям старинный воинский сапог-ботфорт. Можно думать, что благодаря этому ее не трудно запомнить и, наоборот, нелегко спутать с какой-либо другой. Если я скажу, что этот «ботфорт» лежит на 40° широты, что его берега омывают синие воды теплого моря, что многие места внутри страны знамениты своими вулканами и горячими вулканическими ключами, что, наконец, примечательной особенностью этой страны являются многочисленные и удивительные остатки глубокой древности, то, надеюсь, Вы без особого труда определите имя этой страны-музея.
Книга представляет собой курс, читанный Анри Картаном на факультете наук в Париже. В нем излагаются основные идеи теории аналитических функций, причем особенно подчеркиваются связи классического материала с новыми понятиями современной математики.
Изложение вполне элементарно, курс освобожден от ряда второстепенных деталей, но наряду с общими идеями содержит и много конкретных методов.
Написанный крупным ученым, полный свежих идей, этот курс будет с интересом читаться студентами университетов и педвузов, преподавателями высших учебных заведений (в том числе и технических) и научными работниками — математиками, механиками и физиками.
Эта книга является результатом лекций, читанных мной в течение ряда лет в различных местах (Гёттинген, Берлин, Афины, Мюнхен и Гарвардский университет). Она содержит теорию конформных отображений в том виде, в котором эта теория была развита в течение двух последних десятилетий. Первая часть книги посвящена элементарным вопросам, необходимым для понимания общей теории. В трех последних главах дается изложение общей теории, построенной на простейших современных методах.
Оригинальная рукопись, написанная на немецком языке, была переведена В. М. Wilson’ом (университет в Ливерпуле) и Miss Margaret Kennedy (Ньюнемский колледж). Я выражаю им глубокую благодарность за внимание, с которым они старались сделать понятными читателю самые сложные рассуждения.
Я обязан также проф. Erhard Schmidt (Берлин) и проф. Tibor Radó (Колумбус, Огайо) за различные усовершенствования в математических доказательствах и Miss Margaret Kennedy за отдельные замечания, улучшающие текст. Я должен еще поблагодарить издательство Кембриджского университета (Cambridge University Press) за прекрасное внешнее оформление книги.
“Сборник задач по теории аналитических функций” предназначен для студентов университетов, пединститутов и ВТУЗов, изучающих теорию функций комплексного переменного. Он составлен с таким расчетом, чтобы его было удобно использовать при любом построении лекционного курса.
С этой целью отдельные параграфы написаны в основном независимо друг от друга и разбиты на циклы задач, объединенных общей идеей. Задачи повышенной трудности помещены, как правило, в конце циклов. Все основные факты и определения приведены там, где они используются.
Книга Гурвица и Куранта «Теория функций» уже издавалась на русском языке, правда, в виде двух книг (А. Гурвиц, Аналитические и эллиптические функции, М., 1933; Р. Курант, Геометрическая теория функций комплексной переменной, М., 1934). Обе эти книги использовались в качестве учебников по теории функций комплексного переменного, но были популярны и в своем истинном назначении — монографии по теории функций.
К настоящему времени изданные у нас книги Гурвица и Куранта стали библиографической редкостью. Поэтому, когда после сорокалетнего перерыва издательство Шпрингера выпустило новое издание «Теории функций», несколько переработанное самим Курантом и дополненное профессором Релем, издательство Наука решило заново перевести эту книгу. В процессе перевода я решил пойти на довольно серьезные отклонения от оригинала. Прежде чем объяснить причины, побудившие меня сделать такой шаг, я хочу рассказать о книге в ее прежней редакции.
Теория автоморфных функций, в частности эллиптических и модулярных, функций одного комплексного переменного была создана в конце XIX и начале XX веков Клейном, Пуанкаре, Кебе и др. Для этой теории особенно характерным является наличие многочисленных связей с другими частями математики: теорией групп, топологией, теорией римановых поверхностей, теорией алгебраических функций, дифференциальными уравнениями. Благодаря этому развитие теории автоморфных функций в свое время оказало большое влияние на развитие всей математики.
Книга К. Зигеля посвящена теории автоморфных функций нескольких комплексных переменных. В настоящее время эта теория разработана с гораздо меньшей полнотой, чем теория автоморфных функций одного переменного, однако накопленный в ней материал позволяет надеяться, что дальнейшее ее развитие обнаружит еще более важные закономерности и связи.
ГК-метод базируется на двух идеях Гельмгольца и Кирхгофа. Более 100 лет потенциал этих идей был скован техникой конформных отображений плоскости годографа. Показывается, что освобожденный от оков этой техники, ГК-метод имеет весьма широкую область применения. Это иллюстрируется на примере семи различных тем.
Представлены теоремы существования и несуществования, единственности и неединственности, а также некоторые явные конструкции и формулы, задающие решения двумерных задач со свободной границей для гармонических функций.
Среди полученных результатов: формулы, выражающие зависимость от граничного управления силы любого сопротивления при обтекании тела нестационарным потоком с вихревыми особенностями; экспоненциально точные высокочастотные асимптотики; оценка КПД турбины в открытом потоке; теоремы, относящиеся к прямой и обратной задачам о равновесии плазмы в токамаке и пр.
