К концу XVIII — началу XIX в. дифференциальное и интегральное исчисление было в основном разработано. До этого времени (фактически, весь XVIII век) ученые были заняты построением его отдельных разделов, открывали все новые и новые факты, развивали все новые и новые области приложений дифференциального и интегрального исчисления к различным вопросам механики, астрономии, техники. Теперь появилась возможность обобщить полученные результаты, заняться их систематизацией, вникнуть в смысл основных понятий анализа. И вот выясняется, что с основами анализа дело обстоит не совсем благополучно.
Еще в XVIII в. у крупнейших математиков того времени не было единого мнения насчет того, что такое функция. Это приводило к долгим спорам о том, правильно или неправильно то или иное решение задачи, правилен или неправилен тот или иной конкретный математический результат. Постепенно выяснилось, что некоторые основные понятия анализа нуждаются в уточнении. Недостаточно четкое понимание того, что такое непрерывность и каковы свойства непрерывных функций, привело к тому, что рядом выдающихся математиков высказывались нередко ошибки. Появилась настоятельная необходимость навести порядок в основах анализа.
Примеры дифференциальных уравнений. Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для отыскания численных значений тех или иных величин. Так, при разыскании максимума и минимума функции мы, решая уравнение, находили те точки, в которых скорость изменения функции обращается в нуль; в главе IV (том 1) рассматривалась задача нахождения корней многочленов и т. п.
При этом всякий раз отыскивались из уравнения отдельные числа. Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, изучая процесс охлаждения тела, мы должны определить, как будет изменяться с течением времени его температура; при определении движения планет или звезд нам необходимо определить зависимость их координат от времени и т. д.
Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть, говоря вообще, весьма различной. Однако мы ограничимся здесь наименее сложным (с точки зрения функционального анализа) их видом — дифференциальными уравнениями, функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая новое задание функций.
Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему развитых дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит мощным орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.
Коллектив авторов при составлении этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальными основами и путями развития.
Роль науки в наши дни существенно отличается от той, которую она играла сто или двести лет назад. Отличие это заключается в том, что 1) наука превратилась в особую, широко разветвлённую отрасль общественного производства, массового производства знаний; 2) объём научных исследований возрастает с необычайной, всё время увеличивающейся скоростью.
Количество научных результатов, получаемых в течение одного года, значительно превосходит количество результатов, получавшихся ранее в течение десятилетия, вследствие чего влияние науки на развитие материального производства и различные социальные процессы непрерывно возрастает 3) наука в социалистическом обществе становится составной частью государственного и партийного руководства обществом, всеми сторонами его духовной и материальной жизни.
Настоящие «Очерки» написаны преимущественно для преподавателей математики средних школ и студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. Их содержание не исчерпывает того, что теперь связывают со словом «введение», когда обращаются к вопросам обоснования математики. На первом месте стоят те вопросы обоснования математики, знание которых может оказаться полезным преподавателям математики средних школ.
Глава о математической логике написана Л. Е. Майстровым и Т. Л. Майстровой. Благодарим члена-корреспондента АН СССР П. С. Новикова, действительного члена АН УССР Б. В. Гнеденко и профессоров Э. Кольмана, К. А. Рыбникова и И. Я. Депмана, дружеские советы которых были учтены нами при окончательном редактировании «Очерков».
Будем также благодарны читателям за относящиеся к «Очеркам» замечания и пожелания, которые просим направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учебно-педагогическое издательство, редакция математики.
Эта книга представляет собой введение в конструктивную математику и рассчитана на математиков, желающих уточнить свои интуитивные представления о конструктивности; она позволяет без особых технических усилий ознакомиться с точными результатами в этой области. В книге излагается найденный автором конструктивный вариант некоторых первоначальных идей Брауэра из области конструктивизации математического анализа.
Книга доступна математикам всех специальностей, начиная со студентов младших курсов. Она представляет интерес также для всех лиц, интересующихся основаниями математики.
Учебное пособие содержит богатую коллекцию старинных занимательных задач, начиная с устного счета и заканчивая задачами науки о случайном. В книгу включены исторические комментарии к текстам ряда задач, а также забавные истории из жизни известных ученых — авторов приведенных задач.
Пособие разработано в соответствии с действующей в УПТО учебной программой по учебному предмету «Математика» для 10-11-х классов учреждений общего среднего образования (базовый уровень). Содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, задания трех уровней сложности по всем учебным темам программы. Его использование на занятиях позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении, а также обеспечивает возможность самостоятельного изучения математики. Отдельной главой представлены профессионально ориентированные задачи по специальностям направления «Вычислительная техника», что значимо для формирования профессиональной компетентности будущих специалистов.
Предназначено для учащихся учреждений профессионально-технического образования по специальностям направления образования «Вычислительная техника».
Этот учебник по математике – удобный и продуманный помощник для школьников. Всё, что нужно для учёбы, собрано здесь, и при этом он полностью соответствует всем важным стандартам. Входит в комплект «Инновационная школа», так что вы точно можете рассчитывать на современные подходы и полезные материалы. Он отлично подойдёт для самых разных школ: будь то обычная общеобразовательная, лицей или гимназия. Это не просто набор формул и задач, а возможность лучше понять математику и, возможно, даже полюбить её. Вы точно найдёте в нём что-то, что сделает учёбу интересней!
Пособие предназначено учителям, ведущим преподавание по учебникам «Математика. 5 класс», «Математика. 6 класс» Н. Я. Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова и др. В пособии отражены особенности учебника и организации обучения по нему, приводится примерная рабочая программа, отражающая планируемые результаты обучения, содержание курса и примерное тематическое планирование.
