Книга содержит изложение курса лекций, которые автор читал в Московском и Новосибирском университетах. Направленность книги связана с интересами автора в области приложений дифференциальных уравнений к механике сплошных сред и с разработками численных методов решения этих уравнений.
Во втором издании (1-е издание выходило в 1971 г.) основной переработке подверглась теория симметрических гиперболических систем. В частности, изложена теорема существования решений у диссипативной смешанной задачи в случае двух пространственных и одной временной переменных.
Книга представляет интерес как для студентов, изучающих курс уравнений математической физики, так и для лиц, специализирующихся в области приложений уравнений в частных производных и численных методов их решения.
Книга является тринадцатым выпуском серии учебников «Математика в техническом университете». Последовательно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционального анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Рассмотрены примеры использования этих методов в прикладных задачах.
Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.
Книга содержит вводный раздел и следующие основные разделы: анализ в классах разрывных функций, уравнения математической физики, математические вопросы химической физики. Вводный (первый) раздел «Элементы функционального анализа и теории меры», а также ряд параграфов, включенных в основные разделы, дают необходимый подготовительный материал.
Во втором разделе излагается теория функций, производные которых являются мерами. С ее помощью обобщается аппарат классического анализа на разрывные функции. В частности, получаются важные для различных приложений обобщённые формулы Грина. Приведен ряд применений: вывод физических законов сохранения в классах разрывных функций, обобщение уравнения теплопроводности и др.
В третьем разделе содержится теория обобщённых решений краевых задач для линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов. Вопросы разрешимости, устойчивости решений, разложение по собственным функциям, принцип монотонности для обобщённых решений, теория критических значений и др. Благодаря применению изложенного в предыдущем разделе аппарата обобщены известные ранее результаты.
Методы и результаты теории функций комплексной переменной всё шире и глубже проникают в различные теоретические и прикладные дисциплины. Особенно большая и плодотворная работа проведена в этом направлении в Советском Союзе. Благодаря применению этих методов советским учёным удалось получить первоклассные результаты в теории чисел, теории упругости, гидродинамике и др.
В этой книге, на базе теории функций комплексной переменной, развиваются специальные методы для изучения одного класса дифференциальных уравнений эллиптического типа, охватывающего много важных уравнений математической физики.
Эти методы, в отличие от известных общих методов, позволяют глубже проникнуть в природу решений такого рода уравнений и полнее раскрыть их свойства. С их помощью удаётся по-новому поставить и успешно разрешить вопросы как теоретического, так и прикладного характера, связанные с изучением этих уравнений. Авторы уделяют особое внимание исследованию новых и существенно важных вопросов науки, которые успешно решаются за счёт применения описанных методов и дают возможность в ряде практических случаев получить эффективные результаты.
Настоящий задачник возник на основе практических занятий по уравнениям математической физики на физическом факультете и заочном секторе МГУ. Задачи, предлагавшиеся на этих занятиях, были использованы в курсе «Уравнений математической физики» А. Н. Тихонова и А. А. Самарского 7 и в стеклографированном «Сборнике задач по математической физике» Б. М. Будака 12.
Однако при составлении настоящего задачника круг рассматриваемых вопросов был значительно расширен, а число задач в несколько раз увеличено. Большое внимание уделено задачам на вывод уравнений и граничных условий. Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями. Задачи, близкие по характеру, снабжены лишь ответами.
В главах проведена разбивка на параграфы или методы решений. Все это, правом того, что задачник должен максимально успешно обеспечить доступность элементарных технических навыков в решении задач по основным разделам уравнений математической физики.
В основу книги положен курс лекций по теории уравнений с частными производными, прочитанный на семинаре по прикладной математике, который был организован Американским математическим обществом.
Книга освещает современное состояние теории; наряду с известными, ставшими уже классическими результатами и методами, в ней излагаются достижения последних лет, знакомство с которыми необходимо каждому, кто имеет дело с уравнениями математической физики.
Книга рассчитана на математиков, научных работников других специальностей (механиков, физиков, радиотехников и т. д.), а также инженеров.
Предлагаемая книга возникла из курса лекций, читанных известным французским математиком М. Брело в Парижском университете. В ней излагаются основные концепции современной теории потенциала в том виде, как они развиваются французской математической школой со времен А. Пуанкаре и А. Лебега. Изложение ведется в классической форме, т. е. применительно к евклидовым пространствам.
Современная теория потенциала находит важные и все более расширяющиеся применения в теории функций, теории краевых задач математической физики и теории вероятностей.
Эта книга будет полезной для всех математиков и физиков, интересы которых лежат в указанных областях. Для понимания изложения требуется владение основными понятиями математического анализа и теоретико-множественной топологии.
Давно известны примеры дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, все решения которых являются аналитическими функциями своих аргументов. Классический пример представляет уравнение Лапласа.
Одною из своих знаменитых «математических проблем», предложенных в 1900 году на первом международном математическом конгрессе в Париже, Гильберт предугадывал, что «все решения регулярных задач вариационного исчисления являются аналитическими функциями».
В этой монографии изложены основы развитого автором метода интегральных представлений решений линейных уравнений с частными производными. В основе метода лежит получение классов решений этих уравнений из аналитических функций при помощи специальных интегральных операторов.
В книге рассматриваются уравнения и системы с двумя и тремя независимыми переменными (в частности, строится теория гармонических векторов в пространствах, являющаяся пространственным аналогом теории аналитических функций). Специальная глава посвящена уравнениям смешанного типа и уравнениям, коэффициенты которых имеют особенности.
Метод Бергамна успешно применяется в ряде прикладных задач, но возможности его применения еще далеко не исчерпаны. Поэтому книга представляет определенную ценность не только для математиков, занимающихся теорией уравнений с частными производными и теорией аналитических функций, но также и для механиков, физиков и инженерно-исследователей. Она доступна также студентам старших курсов.
Русское издание дополнено переводом трех статей автора, тематика которых примыкает к вопросам, изложенным в книге.
Хорошо известно, что многочисленные проблемы геометрии, вариационного исчисления и механики тесно связаны с краевыми задачами для эллиптических нелинейных уравнений.
В этой книге подробно изучаются взаимосвязи между геометрией и эллиптическими краевыми задачами. Наибольшее внимание уделено первой краевой задаче (задаче Дирихле). Остановимся теперь на методах и результатах, излагаемых в книге.
