SCI Библиотека

Обсуждается проблема поиска равновесных состояний машины Атвуда, в которой шкив конечного радиуса заменяется двумя отдельными малыми шкивами и оба груза могут колебаться в вертикальной плоскости. Получены дифференциальные уравнения движения системы и вычислены их решения в виде степенных рядов по малому параметру. Показано, что в случае грузов одинаковой массы равновесное положение r=const системы существует только при одинаковых амплитудах и частотах колебаний грузов и сдвиге фаз α = 0 или α = π. Кроме того, возможно состояние динамического равновесия, когда оба груза совершают колебания с одинаковыми амплитудами и частотами, а сдвиг фаз составляет α=±π/2. При этом длины маятников также совершают колебания около некоторого равновесного значения. Сравнение полученных результатов с соответствующими численными решениями уравнений движения подтверждает их корректность. Все необходимые вычисления выполняются с помощью системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

В 2024 г. серия докладов международных и частных исследовательских организаций дала осторожный и трезвый анализ ситуации в мировой экономике. За сложным экономическим подъемом 2011-2019 гг. последовали потрясения 2020-2023 гг. На фоне геополитических конфликтов мировая экономика перешла в стадию нервного подъема. Следует рассматривать текущую ситуацию как смену режима социально-экономического развития. В этой ситуации практически все основные акторы - от главы МВФ до папы римского - видят в мировых процессах те или иные серьезные риски и угрозы. Положительная динамика ВВП восстановилась, но на уровне более низком, чем было в начале XXI века. Китай поддерживает динамику мирового экономического роста. Нынешняя картина мира представляется следующим образом: страны с формирующимися рынками и низкими доходами отстают по темпам экономического роста от более развитых без намеков на конвергенцию; экономика Евросоюза, по сути дела, стагнирует с рисками дальнейшего ухудшения экономических перспектив; и только США почти удалось вернуться к традиционным темпам экономического роста. Вялый мировой рост сопровождается значительным разбросом экономической динамики ключевых акторов. При низких приростах доходов ресурсы в распоряжении правительств сузились, особенно относительно усложняющегося потока проблем и задач. Циклический подъем выглядит слабым, а его драйверы на ближайшие два-три года (инвестиции в ВИЭ, электромобили и искусственный интеллект) могут придать ему определенный, но не слишком сильный дополнительный импульс. В целом мир задумался наконец над своим положением, но остается неясным, какие будут выводы и решения.

Рассматривается задача построения начальных членов формальных лорановых рядов, являющихся решениями для заданной компоненты yk (1⩽k⩽m) вектора неизвестных y дифференциальной системы y′=Ay, где y=(y1,…,ym)T, A – m × m-матрица, элементами которой являются d-усечения формальных лорановых рядов, т.е. их начальные члены до степени d⩾0 включительно. Предлагается алгоритм решения задачи с использованием алгоритма TSLS (Truncated Series Laurent Solution). Строящиеся предлагаемым алгоритмом первые члены формальных лорановых решений для yk являются инвариантными относительно возможных продолжений элементов матрицы исходной системы.

В статье представлены основные результаты выполненного ИНЭИ РАН сценарного прогноза развития энергетики мира и России до 2050 года. Рассмотренные сценарии не нормативные, а дескриптивные - они показывают развитие мировой энергетики при заданных предпосылках. В рамках исследования выполнены прогнозы объемов и структуры энергопотребления стран и регионов мира по видам энергии и секторам конечного потребления, производства электроэнергии, выбросов парниковых газов, объемов добычи энергоресурсов, мировой торговли и цен топлив. На фоне замедления экономического роста (в 1,4-1,8 раз в 2022-2050 гг. в сравнении с 1990-2021 гг.) и замедления роста численности населения (в 2 раза от уровня 2021 г.) во всех рассмотренных сценариях ожидается сокращение темпов роста потребления первичной энергии (в 2,5-3 раза) и электроэнергии (в 1,3-2,5 раза). Наиболее значительные приросты объемов потребления энергоресурсов обеспечат развивающиеся страны Азии, где в прогнозном периоде будут самые высокие темпы роста душевого ВВП. Стремительно трансформируется электроэнергетика, где доля возобновляемых источников энергии (ВИЭ) и атомной энергии к концу прогнозного периода увеличится до 57-70%. Постепенно электрифицируются секторы конечного потребления энергии. Начинается эпоха активной межтопливной конкуренции в транспортном секторе. Из ископаемых топлив только газу удастся показывать относительно стабильную долю в мировом энергобалансе с растущими объемами потребления; доли угля и нефти будут сокращаться. Мировые выбросы парниковых газов от сжигания топлив, включая биотопливо, без учета улавливания и захоронения, пройдут пик во всех рассмотренных сценариях в середине прогнозного периода. Во многом к 2050 г. энергоемкость мировой экономики, удельные выбросы энергетики, прогресс в достижении Целей устойчивого развития, включая уровень энергетической бедности, будут определяться способностью государств координировать усилия между собой, а также политикой в области торговых барьеров и технологического трансфера. Расширение использования ВИЭ с нестабильной выработкой в электроэнергетике приведет к росту волатильности цен на газ и уголь и повышению потребности в системах резервирования и накопления электроэнергии. Ключевыми производителями нефти и газа в мире останутся Ближний Восток, Северная Америка и СНГ, суммарно обеспечивая свыше 70% мировой добычи.

В статье предлагается алгоритмическая реализация элементарной версии метода Рунге для семейства диофантовых уравнений 4-й степени с двумя неизвестными. К уравнениям рассматриваемого типа сводится любое диофантово уравнение 4-й степени, старшая однородная часть которого разлагается в произведение линейного и кубического многочленов. Компьютерную реализацию алгоритма решения (в его оптимизированном виде) предполагается осуществить в системе компьютерной алгебры PARI/GP.

Компьютерная алгебра все шире применяется в научных и прикладных вычислениях. В качестве примера приведем тензорные вычисления или в более широком смысле этого слова – упрощение выражений с индексами. В настоящей статье развивается метод цветных графов для упрощения абстрактных выражений с индексами на случай, когда индексы могут быть отнесены к нескольким различным типам. Примерами таких индексов могут быть верхние и нижние индексы в тензорных выражениях. Предложенный подход позволяет значительно уменьшить число перебираемых вариантов при поиске канонической формы выражения, что резко ускоряет процесс вычислений.

В исследовательских задачах, требующих применения численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, часто возникает необходимость выбора наиболее эффективного и оптимального для конкретной задачи численного метода. В частности, для решения задачи Коши, сформулированной для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, применяются методы Рунге–Кутты (явные или неявные, с управлением шагом сетки или без и т.д.). При этом приходится перебирать множество реализаций численного метода, подбирать коэффициенты или другие параметры численной схемы. В данной статье предложено описание разработанной авторами библиотеки и скриптов автоматизации генерации функций программного кода на языке Julia для набора численных схем методов Рунге–Кутты. При этом для символьных манипуляций использовано программное средство подстановки по шаблону. Предлагаемый подход к автоматизации генерации программного кода позволяет вносить изменения не в каждую подлежащую сравнению функцию по отдельности, а использовать для редактирования единый шаблон, что с одной стороны дает универсальность в реализации численной схемы, а с другой позволяет свести к минимуму число ошибок в процессе внесения изменений в сравниваемые реализации численного метода. Рассмотрены методы Рунге–Кутты без управления шагом, вложенные методы с управлением шагом и методы Розенброка также с управлением шагом. Полученные автоматически с помощью разработанной библиотеки программные коды численных схем протестированы при численном решении нескольких известных задач.

В работе исследуется задача символьного представления общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, заданными в символьном виде, при условии, что некоторые символьные константы могут обращаться в ноль. Кроме того, символьное представление собственных векторов матрицы коэффициентов системы не единственно. В работе на примере исследуемой системы показано, что стандартные процедуры компьютерной алгебры отыскивают конкретные символьные представления собственных векторов, игнорируя существование других символьных представлений собственных векторов. В свою очередь предлагаемые системой компьютерной алгебры собственные векторы могут быть непригодны для построения численных алгоритмов на их основе, что продемонстрировано в работе. Авторами предложен алгоритм отыскания различных символьных представлений собственных векторов символьно заданных матриц. В работе рассматривается конкретная система дифференциальных уравнений, полученная при исследовании решений уравнений Максвелла, однако предложенный алгоритм исследования применим к произвольной системе с нормальной матрицей коэффициентов.

В данной работе представлен алгоритм вычисления решения задачи Коши для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в точке по коэффициентам разностного уравнения и начальным данным задачи Коши методами компьютерной алгебры. В одномерном случае решение задачи Коши для разностного уравнения не представляет сложности, однако уже в двумерном случае число неизвестных растет на каждом шаге очень быстро. Для автоматизации процесса вычисления решения задачи Коши для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в заданной точке в среде MATLAB был разработан алгоритм, где входными данными являются: матрица коэффициентов, полученная исходя из структуры двумерного полиномиального разностного уравнения; координаты точки, регламентирующей структуру матрицы начальных данных; координаты точки, регламентирующей размерность матрицы начальных данных; матрица начальных данных. Результатом работы алгоритма является решение задачи Коши для двумерного разностного уравнения, представляющее собой значение функции в искомой точке.

Одной из последних культовых печатных новинок Запада в России стала книга американского экономиста Джеффри Сакса «Эпохи глобализации», увидевшая свет на русском языке с  задержкой в два года. Нет никаких сомнений, что эта книга является заметным событием в интеллектуальной жизни человечества. В статье рассмотрены основные тезисы автора книги относительно типологии периодов глобализации и ее геометрического представления, на основе которых выдвигается гипотеза о существовании эволюционного закона, задающего пространственно-временную инвариантность каждого этапа развития. Математически гипотетический закон похож на широко известный в астрофизике закон Хаббла, а его геометрическая интерпретация говорит о равенстве площади всех фигур-этапов. Содержательно это означает, что рост масштаба деятельности человечества на определенном этапе глобализации сопровождается сокращением времени его реализации. Подробно рассмотрен феномен амбивалентности «сотрудничество-конкуренция», согласно которому внутригрупповое сотрудничество развивается только благодаря существованию межгрупповой конкуренции. Этот принцип ставит непреодолимый барьер при попытках построить «мир во всем мире» и одновременно объясняет цивилизационные пульсации, возникающие из-за ослабления межстрановых противоречий и следующего за этим разрушением внутреннего единства империй и государств-гегемонов. Представлена панорама эволюции источников энергии для социального развития, показано, как человеческие сообщества боролись за все виды энергии, используя на разных исторических этапах пищу для человека и животных, мускульную силу животных и людей (рабов и крепостных), вплоть до минеральных ископаемых и жажды наживы свободных людей Нового времени. Последний факт потребовал от человечества сопряжения идеологии с источниками энергии путем оправдания жажды наживы как позитивного качества личности, что спровоцировало массовые жестокости и несправедливости на протяжении последних пяти столетий. При рассмотрении механизма самоорганизации социума в единый комплекс «Эволюция-Фатум-Фортуна» удалось сформулировать принцип одного шанса: если некие благоприятные условия не были использованы вовремя, то больше шанса не будет. Показано, что наличием данного принципа обусловлена необратимость некоторых цивилизационных неудач, компенсировать которые нельзя ни за какой исторический промежуток времени. Особое внимание уделено двусторонним связям климата и экономики, и выдвигается идея о том, что бенефициаром экономического перегрева последних столетий может стать Россия, где начинается таяние арктических льдов и расчищается северный морской путь.