С точки зрения чисто логической, непрерывная или, что то же самое, топологическая группа представляет собой простое соединение двух основных математических понятий: группы и топологического пространства, именно, элементы одного и того же множества составляют группу и в то же время топологическое пространство.
Ясно, что такое объединение не имело бы никакого смысла, если бы алгебраические и топологические операции, определенные на одном и том же множестве, не были связаны между собой. Связь эта существует и заключается в том, что групповые операции умножения и взятия обратного элемента непрерывны в смысле заданной топологии.
Книга посвящена точным решениям математических уравнений различных типов (алгебраических, тригонометрических, обыкновенных дифференциальных, с частными производными первого порядка, математической физики, интегральных, функциональных, дифференциальных с запаздыванием, функционально-дифференциальных и др.).
Особое внимание уделяется уравнениям, которые встречаются в различных областях естественных и инженерных наук (в теории тепло- и массообмена, теории волн, гидродинамике, газовой динамике, теории горения, теории упругости, общей механике, теоретической физике, нелинейной оптике, биологии, химической технологии, экологии и др.) и уравнениям достаточно общего вида, которые зависят от свободных параметров или произвольных функций. Рассматриваются также уравнения, которые изучаются в университетах и технических вузах.
Точные решения уравнений играют важную роль стандартных «математических эталонов», которые широко используются для оценки точности и разработки различных честных, аналитических и приближенных аналитических методов.
Книга не имеет аналогов в мировой литературе и содержит много нового материала, который ранее не публиковался. Изложение ведется в соответствии с принципом «от простого к сложному».
В книге излагаются основы теории нормированных колец и их обобщений и приложения этой теории к анализу, теории приближений функций в комплексной области, теории представлений групп, гармоническому анализу на коммутативной группе и др. вопросам.
Краткое содержание книги:
Глава I — основные сведения из топологии, функционального анализа и теории интегрирования в форме, удобной для использования в остальных частях книги.
Глава II — основные сведения из теории нормированных колец.
Глава III — теоремы коммутатных нормированных колец.
Глава IV — теория представлений симметричных колец.
Глава V — теория различных классов колец.
Глава VI — групповые кольца, теория унитарных представлений топологических групп.
Глава VII — слабо замкнутые кольца.
Глава VIII — разложение кольца операторов в гильбертовом пространстве на неприводимые кольца и применение к разложению унитарного представления группы на неприводимые представления (написана заново).
Книга написана в соответствии с программой курса «Числовые системы» для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов. Важный вопрос школьного курса математики — построение основных числовых систем рассматривается в ней с позиций современной науки.
В этой книге глубокие математические идеи, с которыми студенты знакомятся в курсах математического анализа, алгебры и теории чисел, применяются для последовательного построения основных числовых систем — натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных, а также р-адических чисел и кватернионов.
Книга построена с учетом выделения части материала для самостоятельного изучения студентами и для проработки на семинарских занятиях. Этому способствуют вводки, сопутствующие каждому параграфу. Некоторые из них затрагивают дополнительный материал, который может служить основой курсовых работ.
Автор признателен всем лицам — и особенно Л. Л. Степановой, высказавшим свои замечания по рукописи этой книги.
Книга, написанная одним из ведущих специалистов в теории групп, Ханной Нейман, посвящена молодой и бурно развивающейся области алгебры — многообразиям групп. В ней также освещены вопросы, связанные с относительно свободными группами и тождественными соотношениями в группах.
Монография представляет собой интерес прежде всего для алгебраистов, но ее будут читать и математики других специальностей. Она вполне доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Известно, что основной теоремой алгебры называется теорема, доказывающая, что заданное алгебраическое уравнение степени m имеет ровно m корней. Однако данная теорема не определяет формул для нахождения этих корней, поэтому задача нахождения корней алгебраического уравнения степени m является, по сути, основной задачей алгебры (во всяком случае, она являлась таковой с XVI по XIX век 1).
Так как все достижения в этом направлении, за более чем пятьсот лет интенсивного развития алгебры, характеризуются только тем, что получены (в рамках) формулы для корней алгебраических уравнений выше четвертой степени, то это означает, что данная проблема продолжает оставаться актуальной.
Несмотря на то что Абель, а затем и Галуа доказали, что формул в радикалах для алгебраических уравнений степени выше чем четыре установить нельзя, тем не менее задача нахождения таких формул продолжала оставаться нерешенной, и до сих пор не удалось. Безуспешные усилия в этом направлении привели к тому, что выдающимися математиками прошлого (Ньютон, Лейбниц, Коши, Эйлер, Лобачевский и др.) была решена гораздо более простая задача построена теория вычисления корней алгебраических уравнений степени n 1, физикатеории которой лишь одна точка, т. е. при конкретных числовых значениях коэффициентов этого уравнения.
Поскольку вычисления составляют основу арифметики, то теория вычисления корней алгебраических уравнений является, по сути, высшим достижением арифметики.
В монографии даются и исследуются аксиоматические определения понятий чистоты, кручения и полноты (делимости), играющих важную роль в теории абелевых групп. В последнее время в литературе появились различные обобщения этих понятий на модули. Почти все эти обобщения укладываются в предлагаемую в монографии схему.
Цель монографии — подытожить успехи в этой области и создать «трамплин» для дальнейших исследований. В изложении широко используются методы гомологической алгебры.
Монография представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся в области алгебры.
Автором этой книги является выдающийся советский математик академик Анатолий Иванович Мальцев, безвременно скончавшийся 7 июля 1967 г. на 58-м году жизни.
Научное наследство, оставленное А. И. Мальцевым, исключительно богато и разносторонне. А. И. Мальцеву принадлежат фундаментальные результаты в теории групп, в теории колец и линейных алгебр, в топологической алгебре, в теории групп Ли, в математической логике.
А. И. Мальцев является одним из создателей теории алгебраических систем, возникшей в результате применения в алгебре метода математической логики и занявшей поэтому пограничное положение между алгеброй и математической логикой.
Теория алгебраических систем А. И. Мальцев посвятил большой цикл статей и яркие обзорные доклады 3-го и 4-го Всесоюзных математических съездов. Большая заслуга А. И. Мальцева состоит в широком распространении идей современной алгебры в нашей стране и за рубежом.
Настоящая книга имеет своей целью способствовать изучению основных исходных положений, результатов и методов современной алгебры. В ряду алгебраических дисциплин, составляющих в совокупности то, что в последнее время часто стали называть общей алгеброй (по-видимому, лучше было бы говорить: общей теорией алгебраических действий), теория групп занимает бесспорно первое место как наиболее развитая из этих дисциплин.
Естественно начинать изучение современной алгебры именно с теории групп. Однако следует учитывать современное положение дел в алгебре, где теория групп представляется как раздел, близко соприкасающийся с рядом других алгебраических теорий. Что касается исходных положений даже самой теории групп, то наиболее естественно они могут быть приняты и усвоены в связи с идеями общего характера, выходящими за пределы собственно теории групп. Этими соображениями определяются рамки, ограничивающие материал данной книги.
Здесь изучаются начальные разделы теории групп, излагаемые на базе общих понятий, что делает одновременно и более естественным основой самой теории групп и служит подходящим фундаментом для изучения иных алгебраических дисциплин.
Настоящая книга имеет своею целью изложить основы алгебраической теории полугрупп. Полугруппа (иначе — ассоциативная система) есть множество, рассматриваемое относительно определенного в нем бинарного ассоциативного действия. Понятие полугруппы столь просто и естественно, что трудно говорить, когда оно впервые появилось.
Как указывает Клейн, еще в период, когда теория групп формировалась в качестве особой математической дисциплины, были сомнения, не следует ли в качестве основного исходного понятия взять то, что теперь мы называем полугруппой. Однако задачи, стоящие перед математикой на том этапе ее развития, привели к необходимости остановиться на более узком понятии — группы.
