В этой книжке излагаются некоторые элементарные (т. е. не требующие знания дифференциального исчисления) способы решения задач на максимум и минимум.
Книжка рассчитана на учеников старших классов средней школы, желающих получить хотя бы общее представление о характере задач, рассматриваемых в высшей математике. Излагаемый материал может быть использован и в работе школьного математического кружка.
Однако я думаю, что и студенту втуза, педагогического института или университета, даже и “посвящённому” в тайны математического анализа, будет полезно прочесть такую книжку. Дело в том, что мощный аппарат дифференциального исчисления даёт общие и однотипные приёмы, позволяющие решать задачи самого разнообразного характера, лишь бы в них требовалось найти экстремум конечной комбинации элементарных функций. Используя эти приёмы, вовсе нет надобности обращать внимание на индивидуальное своеобразие той или иной задачи. А использование этого своеобразия часто как раз и позволяет решить задачу проще, быстрее и красивее, чем с помощью общих приёмов. Положение дел здесь таково же, как и с арифметическими задачами: применение мощного аппарата алгебраических уравнений позволяет игнорировать индивидуальные особенности таких задач, но чисто арифметическое решение часто бывает проще, быстрее и красивее алгебраического.
Ассортимент алгебраических средств, применяемых в этой книжке, очень ограничен: использованы лишь простейшие свойства квадратного трёхчлена и неравенство, относящееся к арифметическому и геометрическому средним. Это сделано в интересах наибольшей простоты изложения. Читателю, желающему ознакомиться с более сильными, но всё ещё элементарными приёмами решения задач на максимум и минимум, можно рекомендовать книги: И. Б. Абельсон, Максимум и минимум, ОНТИ, 1935 и С. И. Зетель, Задачи на максимум и минимум, Гостехиздат, 1948.
В первом томе многотомного труда «История Востока» (второй — «Восток в средние века» — вышел в свет в 1995 г., третий — «Восток на рубеже средневековья и нового времени. XVI—XVIII вв.» — в 1999 г.) показаны причины и пути возникновения первых цивилизаций и их взаимодействие между собой, а также с периферийными обществами. Особое внимание уделено проблемам этногенеза, взаимоотношений между языками и культурами. Изложение истории конкретных стран и регионов дано с учетом разделения древности на два подперио-да: раннюю и позднюю древность. Верхней хронологической границей первого тома является рубеж христианской эры. Том снабжен картами и указателями.
В этой брошюре содержится расширенное изложение лекции, читанной автором для школьников IX и X классов — участников Московской математической олимпиады, а затем — в несколько изменённом виде — в Московском институте усовершенствования учителей.
Тема “Возвратные последовательности” близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т.п.). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория), законченная, простая, ясная, как и всё то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию.
Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром [имя которого носит формула: (cos(a) + isin(a))n = cos(na) + isin(na) и одним из первых по времени членов Петербургской Академии наук швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развёрнутую теорию дал крупнейший математик восемнадцатого века петербургский академик Леонард Эйлер, посвятивший возвратным последовательностям (рядам) тринадцатую главу своего “Введения в анализ бесконечно-малых” (1748)). Из более поздних работ следует выделить изложение теории возвратных последовательностей в курсах исчисления конечных разностей, читанных знаменитыми русскими математиками академиками П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым).
На примере развития физики прослежена драма познания природы. Герои этой драмы — физические идеи, для которых смена основных физических представлений сохраняет непреходящее значение каждого этапа их развития. В ходе развития физики такие понятия, как элементарная частица, поле, заряд, претерпевают существенное изменение, обретая все более глубокое обобщенное значение. Но смысл этих понятий, отвечающий каждому этапу их развития, сохраняется как разумное физическое приближение для широкого круга задач и на современном этапе. Анализ изменения этих понятий подводит читателя к самым современным представлениям о структуре микромира, о природе тяготения и о фундаментальном единстве сил природы.
Изложение доступно самому широкому кругу читателей.
Популярная книга о классической и квантовой электродинамике, дающая качественное объяснение множества красивых физических эффектов.
Для школьников, студентов, преподавателей.
Популярный рассказ о полупроводниковых приборах - о том, как они устроены, как работают, где применяются, как выращивают и очищают полупроводники, как изготавливают интегральные схемы, как зарождалась полупроводниковая электроника и какие удивительные перемены произошли в мире с ее появлением. В основе работы полупроводниковых приборов лежат свойства кристалла, из которого прибор изготовлен, и свойства барьеров, возникающих на границе между различными частями кристалла. Поняв свойства полупроводников и преодолев барьеры, можно разобраться в том, как работает любой прибор - от простейшего диода до самой сложной интегральной схемы.
Для учащихся старших классов, студентов, преподавателей.
Сборник избранных статей о школьной математике и ее приложениях.
Включен большой и разнообразный материал о профессии математика, о фундаментальных понятиях школьной математики, о теории вероятностей, алгоритме Евклида, о решении 10-й проблемы Гильберта, о связи математики с другими науками и техникой и т.д.; приведен ряд интересных задач. Имеется также специальный раздел для учителей, в котором содержатся лекции по научным основам школьного курса математики.
Для школьников, учителей, студентов.
Много удивительных явлений описывается в книге: почему петляют реки и как они размывают берега, как распространяются звуки в океанах и куда дуют ветры, почему звучит скрипичная струна и гудят провода, как образуется лунная дорожка и снежные заносы. Не осталась в стороне и современная физика: магнитное поле сердца позволяет измерить сверхпроводимость, а электроны, попадая в жидкий гелий, ведут себя подобно … пузырькам.
Для школьников и учителей.
Второе и третье издания этой книги увидели свет в издательстве “Добросвет” в 2002 и 2005 годах.
Сборник лекций, прочитанных во время традиционных Мессенджеровских чтений в Корнеллском университете (в 1964 г.) известным физиком-теоретиком Р. Фейнманом. В этих лекциях, обращаясь к очень широкой аудитории, Фейнман рассказывает о самых фундаментальных законах природы, о том, как их открывают, каковы их особенности.
Для школьников, студентов, преподавателей.
Великий древнегреческий мыслитель Архимед открыл оригинальный способ доказательства геометрических теорем, основанный на рассмотрении центра масс системы материальных точек. Имнно таким способом им впервые была доказана теорема о пересечении медиан треугольника. Метод Архимеда был развит выдающимися математиками (Лагранж, Якоби, Мёбиус и др.) и превратился в эффективное и строго обоснованное средство геометрического исследования. На примере трех сотен задач в книге показаны возможности применения метода “геометрии масс”.
Для школьников и преподавателей
