Текст этого третьего издания был просмотрен с большой тщательностью, и мы внесли в него значительное число улучшений. Здесь мы укажем лишь важнейшие изменения.
Что касается до элементарной части курса (напечатанной крупным шрифтом), то мы отказались от прежнего определения полного дифференциала и приняли определение Штольца. Преимущества этого определения особенно выяснены работами S. Pierpont’a, M. Fréchet и особенно W. H. Young’a.
Они неоспоримы; благодаря этому, теоремы вытекают из основных положений более непосредственно, теория дифференцирования явных и неявных функций становится более сжатой и, каким-то образом, более удовлетворительной. Отметим еще, что мы придали большую точность доказательствам, относящимся к геометрическим приложениям, выводам о непрерывности или дифференцируемости только в меру необходимости.
Уже при беглом взгляде на первые главы какого-нибудь курса классического анализа нам неизменно бросается в глаза одно обстоятельство. Основные понятия сначала вводятся посредством определений весьма общего характера; но непосредственно вслед за этим приводятся ограничения, суживающие область исследования; и только благодаря этим ограничениям становится возможным продвинуться сколько-нибудь далеко в построении различных теорий, составляющих математическую науку.
Но в таком случае является законным попытаться, возвращаясь к первоначальным определениям, извлечь из них все возможные интересные следствия, сохраняя за этими определениями, насколько возможно, их общий характер.
Таким образом, мы можем поставить себе задачу построить, наряду с известной классической наукой, новую науку, которая, разумеется, будет существенно отличаться от классической не количеством полученных результатов, но взамен того будет создавать предположения большей общности.
Группа французских математиков, объединенная под псевдонимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат по современной математике. Многие выпуски этого трактата уже вышли во Франции, вызвав большой интерес математиков всего мира.
Настоящая книга посвящена функциям одного действительного переменного.
Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов.
Приблизительно в это же время Даниил Бернулли, в связи с задачей о колебании струны, впервые высказывает уверенность в возможности аналитического выражения «любой линии» на отрезке 0, 2π рядом из синусов и косинусов кратных дуг.
Однако положение здесь в значительной степени оставалось невыясненным вплоть до 1805 года, когда Жан Батист Жозеф Фурье в статье о распространении тепла внутри твердых тел представил формулы для коэффициентов разложения функции в ряд по синусам и косинусам кратных дуг. Именно с его именем стали связывать следующие формулы для вычисления «коэффициентов Фурье»
Кратные, криволинейные и несобственные интегралы, теория поля, степенные и тригонометрические ряды — это те разделы математики, с которыми каждому физику приходится встречаться достаточно часто. Им и посвящена эта книга. Такие важные для читателя-физика вопросы, как, например, теория поля, ряды и интегралы Фурье, изложены здесь несколько шире, чем это делается обычно в общих курсах анализа.
Кроме того, в книге излагаются элементы дифференциальной геометрии, а также сведения о тензорах, об асимптотических разложениях и о вычислительных машинах, что обычно не входит в традиционные руководства по анализу.
Эта книга представляет собой второй выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики». Вместе с первым выпуском она соответствует программе курса анализа для физических и физико-математических факультетов.
Четвёртое издание «Краткого курса математического анализа для втузов» выпускается в значительно переработанном виде. Главная цель переработки заключалась в том, чтобы привести «Курс» в соответствие с программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей, утверждённой Министерством высшего и среднего специального образования СССР в 1964 г.
Параграфы и пункты, относящиеся к той части программы, которая может не изучаться во втузах с уменьшенным объёмом курса математики (это относится главным образом к специальностям технологического профиля), отмечены звёздочками; читатель может выпустить эти пункты без всякого ущерба для понимания остального текста. Звёздочками отмечены также относящиеся к этим пунктам вопросы для самопроверки, помещённые в конце каждой главы.
Книга отличается экономностью изложения и естественностью определений, которые достигаются отделкой доказательств и специальным построением теории. Изложение ведется на конкретном материале и прививает навыки самостоятельного обращения с изучаемыми объектами.
Главы «Теория множеств» и «Действительные числа» могут предшествовать серьезному курсу математического анализа. Дальнейшие главы книги излагают материал, обычно входящий в курс теории функций или дополнительных глав анализа.
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических отделений (университетов, пединститутов и вузов с математическими специальностями).
Автор уже известен советскому читателю по переводу его «Основ классической теории потенциала» («Мир», 1964).
В книге дано сжатое и замкнутое изложение ряда вопросов, относящихся к тонкой топологии и пространствам Мартина и ранее не освещённых в монографиях.
Книга представляет интерес для математиков и физиков, занимающихся теорией потенциала, теорией функций и теорией вероятностей. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов.
Понятие функции. Способы задания функций. Определение. Одна величина называется функцией двух пе-ременных величин, если каждой рассматриваемой паре значений этих величин соответствует одно или несколько определённых значений первой величины.
Те две переменные, которые изменяются произвольно (значения которых мы назначаем по нашему выбору), называются независимыми переменными.
Опыт преподавания в течение двух лет по предыдущему изданию «Курса» (издания 1950, 1951 гг.), а также критика со стороны лиц, пользующихся «Курсом» как учебником для студентов высших технических учебных заведений, позволили выявить некоторые его дефекты. Цель переработки и заключалась в устранении этих дефектов. Прежде всего из книги исключено всё, что более или менее значительно выходило за пределы программы по высшей математике для вузов и что нельзя было рассматривать как необходимое углубление программного материала.
Во многих местах книга подверглась большому сокращению за счёт удаления сведений и рассуждений, хотя и уточняющих какие-нибудь положения с чисто математической точки зрения, но затрудняющих усвоение главного предмета.
В ряде пунктов упрощена конструкция изложения, доказательства заменены более простыми и чёткими (см. пункты об асимптотах, о формулах Лагранжа и Коши, о формуле Тейлора, о независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования и др.).
