SCI Библиотека

Эта книжка написана на основе лекции, прочитанной автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова для участников математической олимпиады — школьников девятого и десятого классов. В ней, рассчитывая на уровень знаний ученика девятого класса средней школы, мы даем обзор результатов и методов общей теории алгебраических уравнений. Доказательства при этом совсем не приводятся, так как иначе пришлось бы переписывать почти половину университетского учебника высшей алгебры. Даже при этом условии чтение книжки не превращается, понятно, в легкое развлечение: всякая математическая книга, даже популярная, требует от читателя сосредоточенного внимания, обдумывания всех определений и формулировок, проверки вычислений во всех примерах, применения излагаемых методов к другим примерам, придуманным самим читателем, и т. д.

Первый вариант текста этой книжки писался почти тридцать лет тому назад. С тех пор изменилось очень многое.

Прежде всего, и это главное, изменился математический уровень основного круга читателей популярных математических книг: интересующихся математикой школьников старших классов и их преподавателей. Созданная сеть специализированных математических и физико-математических школ и классов предопределила существенное расширение математического кругозора соответствующего контингента учащихся, которых теперь можно заинтересовать скорее не забавными элементарными фактами, а уже достаточно глубокими и сложными результатами.

Кроме того, и это является фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр тяжести математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел, и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По существу возникла вычислительная математика. Все это не могло не сказаться и на содержании научно-популярной литературы по математике.

Далее, числа Фибоначчи проявили себя еще в нескольких математических вопросах, среди которых в первую очередь следует назвать решение Ю. В. Матиясевичем десятой проблемы Гильберта и далеко не столь глубокую, но приобретшую широкую известность теорию поиска экстремума унимодальной функции, построенную впервые, по-видимому, Р. Беллманом.

Наконец, было установлено довольно большое количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби “фибоначчизма”. Наиболее убедительным свидетельством этому может служить журнал The Fibonacci Quarterly, издаваемый в США с 1963 г.

Все сказанное определило изменения содержания книги от издания к изданию и тот вид, в котором она предлагается читателю сейчас. Во втором издании был добавлен параграф о фибоначчиевых планах поиска экстремума унимодальной фу

В курсе математики средней школы учащийся знакомится со свойствами неравенств и методами их решения в простейших случаях (неравенства первой и второй степени).

В этой книжке автор не ставил себе целью изложить основные свойства неравенств, а стремился лишь познакомить учащихся старших классов средней школы с некоторыми замечательными неравенствами, играющими большую роль в различных разделах высшей математики, и применением их к нахождению наибольшего и наименьшего значения величин и к вычислению некоторых пределов.

В книжке приводится 62 задачи, из которых 36 с подробными решениями составляют основное ее содержание, а 26 задач даются в конце §§ 1, 4, 5 мелким шрифтом в качестве упражнений. Решение упражнений читатель найдет в конце книжки.

Самостоятельное решение нескольких трудных задач, несомненно, принесет учащимся большую пользу, чем решение большого числа задач простых.

Поэтому мы предлагаем учащимся обращаться к решениям упражнений только после того, как будет найдено самостоятельное решение, быть может и отличающееся (что очень хорошо!) от решения, указанного автором.

При доказательстве неравенств и решении задач автор пользовался лишь свойствами неравенств и пределов, изучаемыми в 9 классе средней школы.

Эта книжка предназначается главным образом для школьников, а также для занимающихся самообразованием взрослых читателей, математическое образование которых ограничивается средней школой. В основу книжки положена лекция, прочитанная автором для московских школьников седьмых и восьмых классов.

При подготовке лекции к изданию автор немного расширил её, стараясь, однако, не уменьшать доступности изложения. Самым существенным добавлением является п. 13 — об эллипсе, гиперболе и параболе как сечениях конической поверхности.

Чтобы не увеличивать объёма книжки, большинство сведений о кривых излагается без доказательств, хотя во многих случаях доказательства можно было бы дать в доступной для читателя форме.

Часто при решении задач возникает вопрос о справедливости некоторого утверждения, которое верно в нескольких случаях, но все частные случаи рассмотреть невозможно. Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции.

В брошюре приведено доказательство принципа мат. индукции, а также большое число задач с решениями на применение этого метода.

В этой книжке излагаются некоторые элементарные (т. е. не требующие знания дифференциального исчисления) способы решения задач на максимум и минимум.

Книжка рассчитана на учеников старших классов средней школы, желающих получить хотя бы общее представление о характере задач, рассматриваемых в высшей математике. Излагаемый материал может быть использован и в работе школьного математического кружка.

Однако я думаю, что и студенту втуза, педагогического института или университета, даже и “посвящённому” в тайны математического анализа, будет полезно прочесть такую книжку. Дело в том, что мощный аппарат дифференциального исчисления даёт общие и однотипные приёмы, позволяющие решать задачи самого разнообразного характера, лишь бы в них требовалось найти экстремум конечной комбинации элементарных функций. Используя эти приёмы, вовсе нет надобности обращать внимание на индивидуальное своеобразие той или иной задачи. А использование этого своеобразия часто как раз и позволяет решить задачу проще, быстрее и красивее, чем с помощью общих приёмов. Положение дел здесь таково же, как и с арифметическими задачами: применение мощного аппарата алгебраических уравнений позволяет игнорировать индивидуальные особенности таких задач, но чисто арифметическое решение часто бывает проще, быстрее и красивее алгебраического.

Ассортимент алгебраических средств, применяемых в этой книжке, очень ограничен: использованы лишь простейшие свойства квадратного трёхчлена и неравенство, относящееся к арифметическому и геометрическому средним. Это сделано в интересах наибольшей простоты изложения. Читателю, желающему ознакомиться с более сильными, но всё ещё элементарными приёмами решения задач на максимум и минимум, можно рекомендовать книги: И. Б. Абельсон, Максимум и минимум, ОНТИ, 1935 и С. И. Зетель, Задачи на максимум и минимум, Гостехиздат, 1948.

В статье рассматриваются основные подходы к развитию городов (в частности, городской среды), а также элементы межрегионального сотрудничества. Отмечается текущее состояние уровня взаимодействия крупных компаний и государства в рамках решения вопроса создания инфраструктуры в городах. Приводятся примеры такого взаимодействия государства и бизнеса по реализации комплекса мероприятий по развитию городской инфраструктуры. Указывается на наличие определенной взаимосвязи между развитием городской среды и привлечением человеческого капитала. Приводятся примеры заинтересованности федеральных, региональных органов власти и бизнеса в реализации мероприятий (отдельных программ), которые нацелены на развитие человеческого капитала. Одновременно с этим в контексте вопросов пространственного развития рассматривается вопрос возможностей и перспектив межрегионального и межмуниципального сотрудничества. Отмечается важность реализации крупных межрегиональных проектов, поскольку они оказывают существенный эффект на экономику территорий. Основная цель статьи - обозначить ключевые аспекты, связанные с текущими вопросами улучшения городской среды с участием крупного бизнеса, а также необходимость расширения возможностей реализации межрегиональной кооперации органов государственной и муниципальной власти. Таким образом, в основе закладывается синергетический подход к развитию города, который заключается в обеспечении сбалансированного межсекторного взаимодействия заинтересованных сторон как через развитие городской среды, так и через реализацию межрегиональных и межмуниципальных проектов. По итогам предлагается расширить полномочия органов государственной и муниципальной власти в вопросах реализации инвестиционных проектов, а также включить крупные компании, которые занимаются созданием городской инфраструктуры, в систему управления городским хозяйством.

Развитие городов России в постсоветский период характеризовалось отсутствием государственной городской политики, как в силу отсутствия постоянной региональной политики в целом, так и ввиду узости городской информационной базы. Как следствие, политика в отношении городов носила ситуативный (реактивный) характер и была адресована ареалам неблагополучия. Современные проактивные меры пространственного развития (ТОР, ОЭЗ, СПВ), в свою очередь, ориентированы преимущественно на региональные приоритеты. В результате крупнейшие города (за исключением столичных) не являются объектами системной политики, которая направлена на ареалы неблагополучия, «точки роста» или городские агломерации. Отсутствие целостной городской политики ограничивает перспективы крупнейших центров, которые нуждаются в адаптации мер регулирования, в том числе в силу значимо различных трендов динамики. Ситуация дополняется ориентацией исследований городов (и форматов индексов их развития) на охват максимального их числа, что также не позволяет судить об особых процессах в рамках отдельных классов городов. В этой связи целью работы стал сравнительный анализ 14 городов-миллионников РФ (городских округов) методом расчета демографических и душевых социально-экономических индикаторов, в том числе в динамике за 2019-2022 гг. (в сумме использовано 10 индикаторов). Общим результатом работы стали типология и ранжирование городов-миллионников, выявление их актуального положения и трендов ключевых компонент их развития. Теоретическим результатом стало обоснование необходимости обособленного исследования отдельных классов городов, практическим результатом - выявление уровня дифференциации миллионников по ключевым параметрам, установление лидирующей и отстающей групп городов как ориентира для перспективной городской политики.

Проанализированы результаты экспертного опроса о критериях качества стратегий социально-экономического развития субъектов Российской Федерации. Опрос проведен в рамках подготовки и проведения экспертной дискуссии «Возможен ли рейтинг региональных стратегий?», организованной на Форуме стратегов 2023. В опросе участвовали 25 профессионалов, вовлеченных в стратегическое планирование регионов и городов. По итогам опроса первую десятку важнейших качеств региональной стратегии составили: качество стратегического анализа; адекватность - соответствие специфике региона; реалистичность в учете ресурсных ограничений и объективных процессов; соответствие национальным целям, указам Президента, федеральным документам; системность / методичность / стройность логики; четкость приоритетов; готовность к реализации (проработанность инструментов реализации); корректность набора целевых показателей и их значений; амбициозность, масштабность целей и проектов; учет рисков, мер повышения шокоустойчивости. Систематизированы мнения экспертов о возможности и целесообразности рейтингования стратегий, разделившиеся на четыре группы: а) рейтинговать и сравнивать можно и полезно, если четко сформулированы цели и правила; б) сравнивать можно, рейтинговать нельзя; в) рейтинговать можно по результатам реализации; г) сравнение и рейтингование невозможны или бесполезны. Выявлены сложности рейтингования текстов и предпочтительность сравнения и оценки стратегий в рамках ежегодных конкурсов. Предложена схема организации ежегодного конкурса региональных стратегий, включающая следующие этапы: отбор экспертов; стартовый семинар экспертов, по итогам которого фиксируется набор параметров и критерии балльной оценки каждого параметра; независимое оценивание; совещание экспертов для выявления и обсуждения причин сильных расхождений в оценках; публичный онлайн-семинар с представлением результатов.

В статье отмечается, что принятая в 2019 г. Стратегия пространственного развития Российской Федерации на период до 2025 года (СПР-2019) стала одним из первых системных документов стратегического планирования в стране, разработанных и одобренных после принятия Федерального закона № 172 «О стратегическом планировании в Российской Федерации» (ФЗ № 172). За последние годы и сама СПР-2019, и ход ее практической реализации стали объектом значительного числа жестких критических оценок. Дело дошло до сомнений в том, что дальнейшую работу с этим документом вообще стоит продолжать (хотя формально он указан в ФЗ № 172 в числе обязательных федеральных документов стратегического планирования, разрабатываемых в рамках целеполагания по отраслевому и территориальному принципу). Предстоящее серьезное обновление СПР-2019 ставит перед научно-экспертным сообществом целый ряд задач, имеющих как теоретико-методологическое, так и чисто практическое значение. Прежде всего, предстоит утвердить мнение, что практику пространственного стратегирования, несомненно, необходимо продолжать, поскольку она выступает важной составляющей целостной системы стратегического управления на всех уровнях публичной власти. Предстоит сформировать методологические основы разработки СПР в отсутствие «базовой» стратегии социально-экономического развития Российской Федерации, хотя формально такой вариант действий противоречит всей логике стратегического планирования. Важно определить то, как практика пространственного стратегирования «вписывается» в вертикаль стратегического планирования. Очень значимо сконструировать программно-проектную «развертку» СПР и на этой основе определить ее экономическую основу, а также четко обозначить все целевые параметры этого документа стратегического планирования. В статье делается попытка наметить пути решения этих важных задач.