SCI Библиотека

Методические указания содержат изложение методов нахождения неопределенных интегралов от различных функций, вычисления определенных интегралов, собственных и несобственных, а также методы исследования сходимости несобственных интегралов. Предназначены для студентов первого курса специальности “Прикладная математика”.

Известно, что в условиях втуза начальные сведения о дифференциальных уравнениях могут потребоваться студенту очень рано. К такого рода сведениям, думаю, относится содержание главы XXIV и §§ 1—7 главы XXV настоящего тома. Изложение этих мест курса основывается лишь на материале первого тома и, как показывает опыт, вполне доступно студенту второго семестра.

На первом томе основываются и §§ 8—13 главы XXV. Однако соответствующий материал труднее и его лучше отнести дальше.

Изложение кратных интегралов, интегралов по поверхности, криволинейных интегралов первого рода ведется с общих позиций функций области (как и в ранее изданном моем курсе, но изложение, думается, удалось несколько усовершенствовать).

Как и в I томе, материал, который в условиях втуза можно опустить (более или менее бесспорно), выделен мелким шрифтом.

Настоящий курс «Элементы математического анализа» представляет собой несколько сокращённый и в значительной части переработанный вариант моего «Курса математического анализа», изданного Физматгизом в 1954—1957 гг. Этот вариант рассчитан на высшие технические учебные заведения, в которых к математической подготовке предъявляются достаточно высокие требования, и приспособлен к ныне действующей программе (460 часов) Министерства высшего и среднего специального образования СССР.

Я стремился также сделать курс пригодным для заочного обучения, для чего изложение старался вести достаточно обстоятельно и в то же время достаточно сжато (чтобы главное не тонуло в неглавном), теорию снабдил весьма большим числом разобранных иллюстрирующих примеров и поясняющих чертежей.

В настоящем варианте курс математического анализа фактически не раз читался и неплохо усваивался студентами, и в том числе заочниками. Изложение ведётся, думаю, достаточно строго, но без излишеств. То, что доказывается, доказывается более или менее строго. Ряд доказательств в соответствии со вкусами порой опущен, фактически вводимые доказательства, связанных, так сказать, с «ловкостью рук», не допускаю. На готовых уже и много менее местах материал, который в усвоении требует более или менее конечно можно опустить, выделен мелким шрифтом.

Книга содержит краткое и довольно простое изложение элементов теории абстрактной меры и интеграла (включая меру и интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса).

Она может оказаться полезной студентам математических специальностей университетов и педагогических институтов, а также студентам инженеро-математических специальностей вузов, аспирантам и заинтересованным научным работникам.

Теория Абелевых интегралов, начало которой положено бессмертным норвежским математиком Абелем, знаменита теоремой, носящей, как и интегралы, которых она касается, его имя, трудами самого Абеля, а затем германских ученых: Якоби, Римана, Руделя, Розеншайна, особенно Римана и его учеников, каковы Рох, Нейман, Кёингсбергер, Вебер, Прим, Крадер, Том; далее Клебиша и Гордана, и их учеников, Линдемана, Клейна, особенно Нёгера, и наконец Вейерштрасса, во Франции Эрмита, Брю и Бука и других, настолько уже хорошо разработана, главные моменты настолько хорошо уяснены, что в настоящее время вся теория Абелевых интегралов легко развивается из одного положения.

Первый, кто нашел это, был Вейерштрасс; затем к тому же приложил и Нётер, разработав алгебраическую часть Клебишевой теории Абелевых интегралов. В своих лежащих именно, но неоднократно аналитических и Абелевых интегралов, Вейерштрассу удалось построить рождение новой формы нормальных интегралов второго и третьего рода, принципов между пунктами интегралов первого и второго рода, выразив Абелевых интегралов и алгебраических функций через примкнутую (относительно значения времени) возможность и пропорционально независимую сумму, алгебраическую и аналитическую сторону Абелевых интегралов. Переход через Якоби и на конечный гей- и функцию, при помощи которых можно решить эту задачу. Это капитальный результат.

Цель этой книги — дать более систематическое изложение элементов теории интегралов Фурье, чем это делалось до сих пор. Однако, я не касаюсь здесь ряда важных разделов недавнего происхождения: винеровских гауссовских теорем; применений к почти периодическим функциям, квазиналитическим функциям и целым функциям; интегралов Фурье-Стилтъеса; общего гармонического анализа; обобщённых интегралов Бохнера, а также теории интегралов Фурье для функций нескольких переменных, краткое изложение которой дано в книге Бохнера (*).

От читателя требуется знакомство с анализом, включая элементы теории рядов Фурье. Предлагаемую книгу можно рассматривать как продолжение моей “Theory of functions”.

В литературе можно встретить большое количество самых разнообразных применений интегралов Фурье, часто в форме “операторов”, часто также в работах авторов, по-видимому, интересовавшихся специально аналитической стороной вопроса. Некоторые из этих применений я использовал здесь в качестве упражнений, обработав их так, как представлялось мне наиболее интересным для аналитика. Я считаю, ввиду их обилия, повторение ссылок излишним, а изучающие аналитическую сторону интегралов Фурье должны понимать, что для этого вовсе не обязательно быть в курсе всех существующих работ или даже не знать о существовании этих вещей.

В большей части руководств по высшей математике вопрос об интегрировании функций одного независимого переменного не имеет достаточно полного освещения, вследствие чего очень часто учащиеся не получают ясного представления о том, какие функции интегрируются в конечном виде, для каких это интегрирование невозможно и какие приёмы целесообразно применять в том или ином случае для различных видов функций.

Имея это в виду, автор в настоящей книге стремился изложить вопрос с возможной полнотой, обратив особое внимание на практику интегрирования, введя при этом большое количество примеров. Таким образом, книга может служить, во-первых, справочником для лиц, желающих получить скорбный ответ относительно той или иной квадратуры, а во-вторых, пособием для учащихся, желающих пополнить и углубить свои знания в этом вопросе.

Считаю своим высоким долгом выразить свою благодарность члену-корреспонденту Академии наук СССР, профессору В. В. Голубеву за данные им ценные указания.

Актуальность темы настоящей статьи заключается в том, что она затрагивает значимую проблему, связанную с низкой финансовой грамотностью в России, и исследует возможности дидактической игры как механизма формирования финансовой грамотности у детей старшего дошкольного возраста. Повышение финансовой грамотности населения, в том числе с детского возраста, соответствует государственной политике повышения качества финансового образования граждан и Федеральному государственному образовательному стандарту дошкольного образования.

Современная жизнь устанавливает свои стандарты, нормы и правила. Финансовая грамотность в любом возрасте - залог успеха личности в рыночной экономике. В этой связи, именно в дошкольном возрасте закладываются основы формирования представления о денежных средствах и о том, как их тратить.

Экономическая грамотность в нашей стране находится на низком уровне, поэтому нам необходимо усилить работу по обучению экономической грамотности. Начинать эту работу нужно с детских садов, которые являются первым звеном в системе непрерывной образовательной деятельности. Получение знаний о деньгах и финансовых продуктах в дошкольном возрасте позволяет детям внести вклад в свое экономическое здоровье.

Практическая ценность исследуемой темы состоит в том, что в статье обобщается отечественный опыт использования дидактической игры, способствующей формированию финансовой грамотности у детей старшего дошкольного возраста. В этой связи статья может дать полезные рекомендации педагогам дошкольных и школьных образовательных организаций по организации и проведению дидактических игр, способствующих формированию финансовой грамотности у детей.

На основании впервые вводимого в научный оборот источникового материала (документы из фондов Научного архива РАО) и ранее опубликованных работ В. П. Кащенко рассматривается специфика воспитательного процесса единственного ребенка с учетом контекста развития взглядов на эту новую проблему для педагогической мысли первой трети XX века. Определены причины его исключительного положения в семье, факторы влияния семьи, родственников, друзей и других социальных групп. Обозначены основные принципы разумного воспитания таких детей (по мнению В. П. Кащенко), пути коррекции. Дана типологическая характеристика единственного ребенка с точки зрения психологии.

Целью данной статьи является историко-педагогическая рефлексия влияния белорусских педагогических периодических изданий на процесс самообразования педагога на разных исторических этапах; представленный содержательный анализ историографии развития педагогической периодики позволяет раскрыть многообразие и глубину не только различных форм самообразования педагога в процессе поиска дополнительного знания, но и содержания образования и педагогической мысли Республики Беларуси в исторической динамике в целом. В статье на основе изучения публикаций белорусской педагогической печати начала XX в. - по настоящее время раскрывается стимулирующее влияние прессы на совершенствование отечественной системы педагогического образования в этот период. В статье автор делает основной акцент на функциональном анализе белорусской научной педагогической периодики, определяя ее информационную (коммуникативную), стимулирующую, культуроформирующую, социально-ориентирующую или идеологическую функции. Также автором рассматривается ведущая роль самообразования и саморазвития педагога в процессе повышения педагогического мастерства, важность самостоятельного поиска, приобретения новой педагогической информации вследствие понимания ценности собственной деятельностной активности педагога, особенно в дореволюционный период, когда малочисленная периодика была зачастую единственным способом получения или актуализации дополнительного педагогического знания. Результатом историко-логического анализа является заключение о том, что педагогическая печать на разных исторических этапах вносила и продолжает вносить огромный систематический вклад в развитие как самообразованности педагога, так и системы дополнительного образования педагогических работников в целом, оказывая действенное влияние на читательскую аудиторию, и являясь своеобразным педагогическим «маяком», основной целью которого является своевременное улавливание назревающих тенденций в области современной педагогической практики.