SCI Библиотека

Книга Бальдассарри представляет собой по существу изложение наиболее важных аспектов абстрактной алгебраической геометрии. Эта интереснейшая отрасль современной математики, выросшая на стыке алгебры, топологии и дифференциальной геометрии, тесно связана как своими методами, так и результатами с многими математическими дисциплинами.

Отечественная литература по алгебраической геометрии до сих пор крайне бедна. Рассматриваемая монография заполняет поэтому важный пробел в научной литературе. Ее особенность — очень богатое содержание при сравнительно небольшом объеме.

Это достигается за счет того, что автор везде, где возможно, жертвует деталями, делая упор на основные идеи. Книга будет полезна математикам различных специальностей — как научным работникам, так и аспирантам и студентам университетов и пединститутов.

В 1921 году появилось сообщение о крупном исследовании в области алгебры логики, выполненном известным американским математиком Э. Постом. Однако только через 20 лет, в 1941 году, автору удалось оформить этот труд в виде монографии «Two-valued iterative systems»*. Основным результатом этой работы является построение всех подалгебр (замкнутых систем) алгебры логики.

Это дало возможность сильно продвинуть разработку проблематики полноты. Здесь следует упомянуть установление для каждой замкнутой системы необходимых и достаточных условий полноты, позволяющих выяснять возможность порождения этой системы из данной ее подсистемы.

Оказалось, что каждая замкнутая система функций алгебры логики порождается некоторой своей конечной подсистемой. Эти результаты теперь кажутся еще интереснее, так как накопилось много фактов**, выявляющих существенное различие алгебры логики и многозначных логик.

Учебное пособие соответствует программе курса «Математическая логика» для пединститутов. Рассматривается теория алгебры высказываний, алгебры предикатов, исчисления высказываний и предикатов. Изложение сопровождается рядом примеров, способствующих усвоению логики математических методов. Включены задачи и упражнения по каждому из разделов.

Предназначается для студентов пединститутов.

В книге рассказывается о том, как можно формально описать свойства хорошо знакомых всем отношений, указанных в заглавни.

На этом примере выясняется, как происходит переход от привычных, но неточных понятий к строгим математическим определениям.

Необходимость строгого описания простейших отношений возникает в математической логике, кибернетике, математической лингвистике и т. п. Простейшим примерам из математической лингвистики посвящена последняя глава книги.

В настоящее время интерес к математической логике и теории алгоритмов непрерывно растет. Все большее число высших учебных заведений включает в обязательную программу обучения курсы математической логики, теории алгоритмов или их фрагменты. Специалисты в области ЭВМ начинают осознавать, что эти разделы математики являются фундаментом для построения настоятельно необходимой сейчас хорошей теории математического обеспечения и теории вычислений.

Многие специалисты далеких от математики разделов науки начинают сознательно знакомиться с достижениями математической логики. За последние годы вышли переводы многих хороших книг по математической логике и теории алгоритмов, однако ни эти переводы, ни довольно бедный ассортимент отечественных книг не могут полностью удовлетворить запросы читателей.

Предлагаемая вниманию читателей книга сочетает в себе (относительную) простоту изложения с почти энциклопедической полнотой содержания. Ее выход в русском переводе будет полезен широкому кругу советских читателей.

Предлагаемая вниманию читателей книга Дж. Шенфилда посвящена изложению основных результатов о степенях неразрешимости (тьюринговых степенях). Эти результаты традиционно считаются трудными, так как в их доказательствах используются различные формы так называемого «метода приоритета». Автор книги поставил перед собой цель изложить материал в максимально простой и интуитивно оправданной форме.

И нужно сказать, что это ему в основном удалось. Педагогическое мастерство автора, известного уже советскому читателю по переводу его книги «Математическая логика» («Наука», М., 1975), позволило ему создать небольшую книгу, которая содержит практически все принципиально важные результаты о рекурсивно перечислимых степенях и которая тем не менее доступна для широких кругов читателей — математиков, интересующихся современными достижениями теории алгоритмов. Стоит, однако, предупредить, что чтение книги потребует от читателя напряженного внимания.

Книга посвящена важнейшей проблеме психологии математического мышления — соотношению между процессом мышления и его продуктом, т. е. между психологическим и логическим. Описан многолетний психолого-педагогический эксперимент и предложена адекватная модель обучения. Для формализации процессов мышления и обучения использованы алгоритмы типа Ляпунова, направленные графы, операторные схемы. Обсуждаются вопросы нахождения учащимися обобщенной модели при решении задач.

Выявлены общие принципы переработки информации человеком — укрупненные действия, объединение логических элементов, в ходе которого образуются системы «вложенных» алгоритмов.

Полученные результаты имеют выход к проблемам логики, интуиции, эвристики в математическом мышлении. Книга адресуется психологам, математикам, педагогам, а также специалистам, занятым моделированием разумной деятельности и совершенствованием человека-машинных комплексов.

Всякий вычислительный процесс складывается из преобра- зований групп знаков, выполняемых в соответствии с некоторым алгоритмом. В математике вводятся в рассмотрение группы знаков разнообразных типов. В одних случаях они являются объектами изучения, в других случаях — техническими средствами, применяемыми для записи алгоритмов, понятий, суждений и т. п.

При этом определении групп знаков, относящихся к какому-либо конкретному типу, обычно осуществляется посредством задания тех или иных правил конструирования. Правила конструирования позволяют развертывать процессы построения вводимых в рассмотрение объектов, исходя из некоторых элементарных знаков. Объекты, определяемые этим методом, характеризуются как результаты развертывания порождающих процессов, основывающихся на заданных правилах конструирования.

В ходе развития теории множеств, которая является основой построения большинства математических дисциплин, возникли чрезвычайно сложные проблемы непротиворечивости. Книга представляет собой наиболее полный из существующих обзор исследований, вызванных к жизни этой проблематикой; в ней описываются и сравниваются между собой все важнейшие системы аксиоматической теории множеств. Большое внимание уделено приложению идей и методов математической логики в различных направлениях исследований по основаниям математики (логизм, интуиционизм, формализм).

Книга, снабженная обширным списком литературы, представляет ценность для математиков, занимающихся основаниями математики и связанными с ними вопросами математической логики, а также для философов и представителей других специальностей, имеющих отношение к методологическим проблемам математики.

В основу учебника положен курс логики, читавшийся на философском факультете Ленинградского университета в течение ряда лет.

В нем освещаются вопросы, относящиеся к общей и символической логике. Учебник предназначен для студентов-философов и студентов других гуманитарных факультетов и педагогических вузов.