Научный архив: статьи

Актуальность и цели. Целью данного исследования является разработка эффективного алгоритма для решения нелинейных интегральных уравнений. Материалы и методы. Представлено описание и обоснование метода, основывающегося на применении принципа сжимающих отображений.

Результаты. Рассмотрено применение метода к различным задачам, представлены численные результаты решения интегральных уравнений, показывающие сходимость метода.

Выводы. Решение тестовых задач приведено для различных параметров нелинейности, что позволяет сделать вывод о качестве предложенного метода.

Актуальность и цели. Исследуются осциллирующие движения динамических систем, а именно движения, которые не являются ограниченными и, кроме того, обладают тем свойством, что не стремятся к бесконечности при стремлении времени к плюс бесконечности. Такие движения играют важную роль в различных задачах математической физики, небесной механики, термодинамики и астрофизики.

Материалы и методы. Введены в рассмотрение новые понятия, связанные с осциллируемостью множества всех решений системы дифференциальных уравнений - понятие эквиосциллируемости в пределе множества всех решений и частичные аналоги этого понятия.

Результаты. На основе принципа сравнения Матросова с вектор-функциями Ляпунова и найденной автором связи между ограниченностью по Пуассону и осциллируемостью решений получены достаточные условия эквиосциллируемости в пределе множества всех решений, а также частичные аналоги этих условий. Работа продолжает исследования автора по изучению ограниченности и осциллируемости множеств всех решений дифференциальных систем с использованием функций Ляпунова и вектор-функций Ляпунова.

Выводы. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для анализа сложных динамических систем в различных областях науки.

Актуальность и цели. Цель исследования - разработка численного метода для решения скалярной задачи дифракции на плоском экране с нелинейными условиями сопряжения.

Материалы и методы. Задача сопряжения сводится к слабосингулярному нелинейному интегральному уравнению. Для решения интегрального уравнения используется метод коллокаций.

Результаты. Задача дифракции сведена к нелинейному интегральному уравнению по поверхности экрана. Разработан численный метод для приближенного решения интегрального уравнения.

Выводы. Разработан и программно реализован эффективный численный метод для решения актуальной задачи дифракции.

Актуальность и цели. Рассматривается численный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений на отрезке, которые возникают во многих задачах математической физики.

Материалы и методы. Применяется метод Галеркина для решения гиперсингулярных уравнений с базисными функциями - многочленам Чебышева 2-го рода. Проекционный метод рассматривается в специальных классах функций.

Результаты и выводы. Доказывается сходимость метода Галеркина для решения гиперсингулярных уравнений в специальных классах функций. Получена оценка скорости сходимости метода Галеркина.

Актуальность и цели. Затронута проблема изучения оптических свойств графена с учетом присущей данному материалу оптической нелинейности и влияния окружающей среды. Цель работы - исследование задачи дифракции ТЕ-поляризованной волны на двумерном слое, покрытом монослоем графена либо регулярной решеткой из бесконечных (в одном из продольных направлений) графеновых полос.

Материалы и методы. С помощью метода функций Грина задача дифракции сводится к нелинейному гиперсингулярному интегральному уравнению, для решения которого применяется метод коллокаций, дополненный итерационным методом для учета эффекта оптической нелинейности графена.

Результаты и выводы. Получены результаты численного моделирования процесса рассеяния электромагнитной волны с частотой 6 ТГц на плоском диэлектрическом слое толщиной 20 мкм, заполненном кремнием и покрытом графеном. Результаты демонстрируют, что изменение химического потенциала графена влечет существенные изменения в профиле отраженной волны, что может быть использовано для управления (модуляции) оптическими сигналами.

Актуальность и цели. Краевые задачи сопряжения для уравнений Максвелла находят широкое применение в различных областях электродинамики благодаря своей способности моделировать сложные физические ситуации, связанные с взаимодействием электромагнитных волн с границами и тонкими слоями материалов. Задачей данной работы является вывод и анализ системы интегральных уравнений для задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом шаре, покрытом графеном, и доказательство существования и единственности решения краевой задачи.

Материалы и методы. С помощью комбинации формул Стрэттона-Чу получена система векторных интегральных уравнений по поверхности шара.

Результаты. Получена система скалярных сингулярных интегральных уравнений для поиска четырех неизвестных функций. Доказана теорема о существовании и единственности решения системы уравнений, а также существование и единственность решения краевой задачи дифракции.

Вывод. Выполнено исследование задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом шаре, покрытом графеном, получена система уравнений для численного решения.

Актуальность и цели. Одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений являются нагруженные уравнения. Они позволяют моделировать процессы, в которых влияние внешних факторов существенно изменяет поведение системы. Особенно это важно в таких областях, как механика, гидрология и материаловедение. Изучение нагруженных уравнений способствует созданию более точных моделей, которые используются для анализа устойчивости и надежности конструкций, а также для прогнозирования различных явлений в природных и инженерных системах. Построены новые разностные схемы повышенного порядка точности для приближенного решения первой краевой задачи для нестационарного нагруженного уравнения влагопереноса в одномерных и многомерных областях. Нагруженные интегральные уравнения позволяют глубже понять распределение нагрузок и взаимодействие элементов в сложных системах. Изученные в данной работе уравнения играют значительную роль в решении актуальных задач экологии, сельского хозяйства, строительства и климатологии. Точное моделирование процессов влагопереноса позволяет эффективно управлять водными ресурсами, прогнозировать уровень грунтовых вод, оптимизировать орошение, обеспечивать устойчивость строительных конструкций и предсказывать последствия климатических изменений. Кроме того, развитие таких моделей способствует прогрессу в гидрологии и смежных науках.

Материалы и методы. Для приближенного решения поставленных задач используется метод конечных разностей и метод энергетических неравенств для получения априорных оценок решений предложенных разностных схем.

Результаты. Для каждой задачи построена разностная схема повышенного порядка аппроксимации. Методом энергетических неравенств для решения каждой разностной задачи получена априорная оценка. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Выводы. Разработаны новые разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для приближенного решения поставленных задач.

Актуальность и цели. В теории линейных дифференциальных уравнений существенную роль играют преобразования, порожденные дифференциальными заменами зависимых переменных. Исследование этих преобразований привело к созданию общей теории дифференциальных алгебр симметрии однородных линейных систем дифференциальных уравнений и к теории дифференциальных гомоморфизмов. Эти теории оказались тесно связанными с понятием теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов (ЛДО). К настоящему времени доказано несколько теорем о нулях ЛДО, но этих теорем недостаточно для исследования алгебр дифференциальной симметрии и соотношений между разными типами линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Формулировка и доказательство новых теорем о нулях ЛДО является актуальной задачей. Основная цель работы - формулировка и доказательство варианта формальной теоремы о нулях ЛДО. Другая важная цель - построение примеров применения теоремы, которые подтверждают ее полезность и основательность.

Материалы и методы. Приведены общие сведения о работах, в которых представлены теоремы о нулях ЛДО. Поясняется смысл формальных теорем о нулях и роль, которую такие частные теоремы могут играть в общей теории. Представлены основные обозначения и понятия, приведено определение теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов для семейства модулей над кольцом скалярных линейных дифференциальных операторов. Описаны элементы теории псевдообратных матриц и операторов, которые используются при доказательстве основной теоремы работы.

Результаты. Формулируется и доказывается вариант формальной теоремы о нулях. Приведены примеры семейств линейных дифференциальных операторов, для которых выполняются условия теоремы 1 (теоремы 2, 3, 4). Описан метод построения локальных сечений в общей задаче псевдообращения; в новой ситуации применена псевдообратная матрица; использован специальный базис, в котором координаты ЛДО совпадают с его коэффициентами; введено полезное понятие матрицы главных символов ЛДО по столбцам.

Выводы. Результаты работы могут служить основой доказательства справедливости формальной теоремы о нулях для множества конкретных линейных дифференциальных операторов и семейств операторов.

Актуальность и цели. Целью данного исследования является разработка эффективного метода определения свойств объекта сферической формы. Для этого решается обратная задача дифракции с использованием модифицированных объединенных или обобщенных расчетных сеток.

Материалы и методы. Представлено описание прямой и обратной задач, а также метод построения расчетной сетки.

Результаты и выводы. Результат решения прямой задачи получается как решение соответствующего объемного интегрального уравнения. Для решения обратной задачи используется двухшаговый метод. Представлено подробное описание численного метода. Численные результаты решений задачи с зашумленными данными сравниваются с незашумленными данными.

Актуальность и цели. Рассматриваются гиперсингулярные интегральные уравнения на отрезке, возникающие во многих задачах математической физики.

Материалы и методы. Гиперсингулярные уравнения изучаются в специальных классах функций, которые представляются рядами Фурье по многочленам Чебышева 2-го рода.

Результаты и выводы. Доказываются критерии компактности операторов в специальных классах функций. Основным результатом является доказательство фредгольмовости гиперсингулярного оператора в специальных классах функций, которое важно при формулировке и реализации численного метода решения гиперсингулярных уравнений.

Актуальность и цели. Расчет взаимодействия между атомами бора и азота интересен с точки зрения прогнозирования физических свойств и создания новых диэлектрических материалов и безуглеродных наноматериалов. Цель работы заключается в расчете нековалентного (дисперсионного) взаимодействия для пар атомов B-B, N-N и B-N из первых квантово-механических принципов. Данный расчет на практике проводится впервые.

Материалы и методы. Используется теория функционала плотности в приближении электронного газа. При этом учитываются кулоновский, кинетический, обменный и корреляционный вклады в энергию взаимодействия. Электронная плотность задается с учетом оболочечной структуры атомов в приближении Рутаана - Хартри - Фока. Для вычисления несобственных интегралов используется оригинальный численный алгоритм, основанный на применении квадратурных формул и технологии распараллеливания вычислений CUDA.

Результаты. В широком диапазоне межатомных расстояний построены функции радиальных электронных плотностей и соответствующие потенциальные кривые, рассчитаны параметры потенциальных ям и константы дисперсионного взаимодействия, проверена корректность эмпирических правил Лоренца - Бертло комбинирования параметров потенциалов.

Выводы. Полученные значения констант дисперсионного взаимодействия для гомоатомных пар согласуются с известными из литературы результатами. С помощью первопринципных расчетов можно определять параметры модельных парных потенциалов, в частности потенциала Сазерленда. Показано, что для нековалентного взаимодействия атомов бора и азота правила Лоренца - Бертло не работают.

Актуальность и цели. Проведено численное исследование интегральных уравнений первого рода с квадратичной нелинейностью, являющихся частью обобщенного интегро-степенного ряда Вольтерра и описывающих динамические системы с одним входом и одним выходом. Такие уравнения широко применяются в моделировании стационарных систем с неизменными динамическими характеристиками в течение переходного процесса.

Материалы и методы. В основе предложенных итерационных численных методов лежит предварительная линеаризация интегрального оператора по модифицированной схеме Ньютона - Канторовича и использование параметра регуляризации для обеспечения устойчивости к колебанию входных данных. Для решения линейных уравнений на каждой итерации применен метод последовательных приближений в сочетании с аппроксимацией точного решения полиномиальным сплайном, построенным на каждом сегменте разбиения по нулям многочленов Лежандра. Для вычисления интегралов используется составная квадратурная формула Гаусса.

Результаты и выводы. Предложен ряд итерационных численных схем решения квадратичных интегральных уравнений Вольтерра. Сформулированы теоремы сходимости модифицированного метода Ньютона - Канторовича. Приведены численные результаты, подтверждающие сходимость методов.