Статья: ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (2024)

Рассматриваются системы линейных автономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа, причём коэффициенты в системе могут быть любого знака. Указанные системы ФДУ включают в себя уравнения с различными видами последействия, в том числе сосредоточенные и распределённые запаздывания. Цель настоящей работы – получение новых эффективных признаков экспоненциальной устойчивости для систем линейных автономных ФДУ запаздывающего типа. Исследование базируется на идее построения вспомогательной системы, так называемой «системы сравнения», которая, с одной стороны, имеет более простую структуру, а с другой стороны, те же асимптотические свойства, что и исходная система. Система сравнения также может содержать запаздывания, причём не только сосредоточенные, но и распределённые. Система сравнения строится таким образом, что все компоненты её фундаментальной матрицы неотрицательны. Так как матрицы коэффициентов в системе сравнения являются диагональными, то её можно рассматривать как совокупность независимых скалярных уравнений. Для фундаментальных решений таких уравнений в работах В. В. Малыгиной и К. М. Чудинова были получены точные двусторонние экспоненциальные оценки, также дающие экспоненциальную оценку для фундаментальной матрицы системы сравнения. Для автономных ФДУ запаздывающего типа, как известно, стремление к нулю всегда происходит по экспоненциальному закону, что означает существование таких положительных постоянных N и α, что ( ) t x t Ne−α ≤. Однако без указания оценок на коэффициент N и показатель экспоненты α или алгоритма их эффективного вычисления задача об экспоненциальной устойчивости не может считаться до конца решённой. В предлагаемом исследовании наряду с новыми признаками экспоненциальной устойчивости найдены оценки скорости стремления компонент фундаментальной матрицы изучаемой системы линейных автономных ФДУ к нулю. Эффективность полученных результатов иллюстрируется несколькими примерами, в которых в качестве систем сравнения выбираются ФДУ с различными видами последействия

Рассматривается конструктивное исследование стабилизируемости решения задачи Коши к периодической функции для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами. Полученные в работе результаты естественным образом продолжают исследования в этой области (см., например, работы Ж. С. П. Мунембе). Предлагаемый метод исследования основан на использовании матрицы Коши рассматриваемой системы. Знание матрицы Коши позволяет построить некоторую вспомогательную числовую матрицу и свести задачу к оценке спектрального радиуса этой матрицы. Выполнение условия, что спектральный радиус указанной матрицы меньше единицы гарантирует наличие свойства стабилизируемости к периодической функции. Источником эффективной реализации предложенного метода исследования рассматриваемой задачи является возможность точного построения матрицы Коши системы дифференциальных уравнений с кусочно-линейным запаздыванием на основе подхода, предложенного автором. В качестве иллюстрации в статье рассмотрен один пример задачи Коши для дифференциального уравнения с кусочно-линейным запаздыванием и периодическими параметрами. Для заданного уравнения с использованием программных средств точных вычислений построена функция Коши, а также доказано, что решение задачи Коши обладает свойством стабилизируемости к периодической функции

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа с двумя несоизмеримыми запаздываниями при производной и исследуются вопросы его устойчивости, изучается обратимость оператора при производной в лебеговых пространствах L p и исследуется расположение корней его характеристического уравнения на комплексной плоскости. Для определения обратимости оператора при производной найден спектр оператора S внутренней суперпозиции, а также дано его описание в терминах коэффициентов исходного уравнения. Полученное описание спектра позволяет сформулировать условия, при которых обратим оператор при производной. В свою очередь, обратимость оператора при производной даёт возможность найти критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости. Установлена связь между значениями коэффициентов оператора S, типом устойчивости исходного уравнения, обратимостью оператора I S− в любом из лебеговых функциональных пространств и расположением корней характеристического уравнения. Показано, что наличие корней характеристического уравнения справа от мнимой оси равносильно неустойчивости уравнения нейтрального типа и необратимости оператора при производной. Если же все корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси и отделены от неё, то оператор при производной обратим, а уравнение нейтрального типа экспоненциально устойчиво. Эти условия оказались эффективно проверяемыми в терминах коэффициентов исходного уравнения. Был также описан «критический» случай, при котором корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси, но не отделены от неё, то есть существует вертикальная цепь корней, приближающаяся к мнимой оси на сколь угодно близкое расстояние. В этом случае оператор при производной необратим, а уравнение нейтрального типа не может быть экспоненциально устойчивым

Рассматривается вопрос об асимптотической устойчивости линейной непрерывнодискретной системы функционально-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие системы состоят из двух подсистем: непрерывной и дискретной, и часто называются гибридными. Непрерывная подсистема представляет собой систему дифференциальных уравнений. Особенность рассматриваемой гибридной системы заключается в том, что её непрерывная часть представляет собой систему дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием, в то время как в подавляющем большинстве работ рассматриваются такие гибридные системы, непрерывная часть которых представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Стандартный для последних подход изучения устойчивости – интегрирование на каждом конечном промежутке и построение матрицы монодромии. Однако этот подход, вообще говоря, неприменим к задаче исследования устойчивости гибридных систем, непрерывная часть которых представляет собой систему дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В настоящей работе для исследования устойчивости гибридных систем применяется метод производящих функций совместно с анализом спектра оператора сдвига по траектории решения гибридной системы. Построение производящей функции для матрицы Коши и для фундаментального решения позволяет свести задачу асимптотической устойчивости гибридной системы к задаче исследования расположения корней некоторой функции в комплексной плоскости. Для этой функции естественно ввести термин «характеристическая функция гибридной системы», что и было сделано. Кроме того, доказано, что для данных гибридных систем асимптотическая устойчивость совпадает с равномерной экспоненциальной устойчивостью. Данный подход совместим с методом D-разбиения, что позволяет применять его для получения новых эффективных коэффициентных признаков асимптотической устойчивости гибридных систем: в частности, для построения области устойчивости. В настоящей статье построен новый простой необходимый признак асимптотической устойчивости гибридной системы, который сводится к проверке двух элементарных числовых неравенств

Изучается система линейных функционально-дифференциальных уравнений с дробной производной и последействием. Исследуется вопрос о представлении решений, доказано существование матрицы Коши как ядра интегрального представления, выведены основные определяющие соотношения для матрицы Коши. Используется известное определение дробной производной Капуто порядка (0,1).α ∈ Исследуемая система включает, кроме производной Капуто, линейный вольтерров оператор общего вида. С помощью оператора дробного интегрирования Римана – Лиувилля исходная система сводится к линейному интегральному уравнению Вольтерра, для которого устанавливаются сходимость ряда Неймана и интегральное представление решения с использованием резольвентного интегрального оператора. Показано, что матрица Коши выражается в явном виде через резольвентное ядро этого оператора. В случае перехода к целому порядку производной полученное определяющее соотношение для матрицы Коши совпадает с известным. Использование матрицы Коши открывает широкие возможности исследования систем с производными дробного порядка в части получения эффективных признаков разрешимости краевых задач, задач управления и описания асимптотического поведения решений подобно тому, как это сделано для широких классов систем с целыми производными. В основе всех построений – использование основных положений теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений, разработанной руководителями Пермского семинара профессорами Н. В. Азбелевым и Л. Ф. Рахматуллиной

Рассматриваются линейные функционально-дифференциальные уравнения, которые могут служить основой для современного моделирования в различных областях науки, техники, экономики, в том числе при исследовании нейронных сетей и машинного обучения. Эти уравнения описывают широкий класс процессов, где скорость изменения некоторой величины зависит не только от значений в текущий момент времени, но и от значений в прошлом и будущем. Целью работы является получение точных условий на параметры уравнения, при выполнении которых уравнение имеет решение при любой суммируемой правой части, что отражает существование моделируемого объекта при разумно большом классе внешних воздействий. Показано, что для установления факта всюду разрешимости функциональнодифференциального уравнения первого порядка достаточно исследовать только три краевых задачи: периодическую краевую задачу, задачу Коши и задачу с краевым условием на правом конце. В терминах значений норм положительной и отрицательной частей функционального оператора получены необходимые и достаточные условия того, что линейное функционально-дифференциальное уравнение первого порядка является всюду разрешимым. Если эти условия на нормы не выполнены, то найдется такой оператор с данными нормами положительной и отрицательной частей, что уравнение не будет иметь решений при некоторых суммируемых правых частях. Разработанные методы исследования опираются на аппарат теории функционально-дифференциальных уравнений и могут быть применены для изучения других классов функциональных уравнений, в частности, для уравнений высших порядков. Полученные результаты могут быть использованы для анализа и моделирования различных динамических систем, где присутствуют запаздывания и (или) опережения. Эти запаздывания и опережения могут описываться наиболее общими функциональными операторами, включающими и положительную, и отрицательную части, что соответствует рассмотрению систем и с положительной, и с отрицательной обратной связью. Это позволяет более точно описывать и прогнозировать поведение таких систем.

В работе рассматривается класс линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа. Изучаемое уравнение, с одной стороны, возникает в различных прикладных задачах, таких как динамика популяции клеток, движение плоских упругих плит с учетом трения, исследование дефектов с помощью ультразвука. С другой стороны, это уравнение обладает большим разнообразием асимптотических свойств решений и поэтому интересно также с теоретической точки зрения, что подтверждается значительным количеством чисто теоретических исследований. Исследуемое уравнение являет собой удачный пример объекта, который достаточно прост для того, чтобы удалось получить эффективные признаки устойчивости, и в то же время достаточно сложен, чтобы в нем проявилось все разнообразие асимптотических свойств решений автономных уравнений нейтрального типа. Исследование устойчивости рассматриваемого уравнения сводится к изучению асимптотических свойств его фундаментального решения и функции Коши. Известен критерий экспоненциальной устойчивости изучаемого уравнения и построена его область устойчивости в пространстве коэффициентов. В настоящей работе исследуется положительность фундаментального решения и функции Коши данного уравнения, а также устанавливаются двусторонние экспоненциальные оценки указанных функций. Для этого известная лемма о дифференциальном неравенстве обобщается на линейное автономное дифференциальное уравнение нейтрального типа. Далее доказывается, что если рассматриваемое уравнение экспоненциально устойчиво, а его характеристическая функция имеет хотя бы один вещественный корень, то его фундаментальное решение и функция Коши положительны на положительной полуоси. Этому условию придается геометрический вид – описывается соответствующая область в пространстве параметров уравнения. На основе положительности фундаментального решения и функции Коши строятся их двусторонние экспоненциальные оценки. Показатели экспоненты и коэффициенты в полученных оценках фундаментального решения и функции Коши являются точными. Эффективность установленных в статье результатов иллюстрируется примером.

19 марта 2024 г. ушла из жизни Лина Фазыловна Рахматуллина, известный математик, основатель современной теории линейных функционально-дифференциальных уравнений, доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации