Научный архив: статьи

В данной статье изучается существование максимального и минимального элементов множества непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на произвольной булевой функции и мощность множества непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на булевой функции. В результате исследования установлено, что мощность множества непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на произвольной булевой функции равна континууму. Аргументировано, что для любой булевой функции среди её непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на нет минимального элемента. Доказано, что для любой булевой функции множество её непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на имеет максимальный элемент лишь тогда, когда количество существенных переменных данной булевой функции меньше 2.

Выявлены вогнутые продолжения дискретных функций, определенных на вершинах n-мерного единичного куба, n-мерного произвольного куба и n-мерного произвольного параллелепипеда. Конструктивно доказано, что, во-первых, любая дискретная функция fD, определенная на вершинах G - одного из этих трех множеств, имеет бесконечно много вогнутых продолжений на G и, во-вторых, существует функция fNR, являющаяся минимумом среди всех ее вогнутых продолжений на G. Также доказано, что функция fNR на G непрерывна и единственна.

Исследуется задача выразимости всех функций x1(t), x2(t), … , xn(t), входящих в заданную однородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами x′(t) = A·x(t), в виде линейных комбинаций производных только одной неизвестной функции xк(t), входящей в эту систему. Найден простой критерий выразимости всех функций системы x′(t) = A·x(t) в виде линейных комбинаций производных xк(t) и доказана его корректность. На основе доказанного критерия разработан соответствующий алгоритм и обоснована его корректность.

Исследована проблема существования и единственности полилинейных продолжений некоторых дискретных функций. Доказано, что для любой булевой функции существует соответствующее полилинейное продолжение и оно единственно. Предложен алгоритм нахождения полилинейного продолжения булевой функции и доказана его корректность. На основе предложенного алгоритма найдены явные формы полилинейных продолжений сначала для булевой функции, а затем для произвольной функции, определенной на множестве вершин n-мерного единичного куба, произвольного куба и параллелепипеда, и в каждом конкретном случае доказана единственность соответствующего полилинейного продолжения.