Научный архив: статьи

Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием физических процессов, приводящих к математическим моделям, в основе которых лежит уравнение параболического типа. При решении параболических уравнений переход от одномерного случая к многомерному вызывает существенные затруднения. Сложность заключается в значительном увеличении объёма вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач. Разностную схему, аппроксимирующую задачу со временем, называют экономичной, если она безусловно устойчива и при переходе от слоя к слою требуется количество арифметических операций, пропорциональное числу узлов на каждом временном слое. Настоящая работа посвящена построению локально-одномерной (экономичной) разностной схемы для приближенного решения уравнения параболического типа общего вида в многомерной области, основная идея которой состоит в сведении сложной задачи к последовательному решению краевых задач более простой структуры. При этом для каждой из промежуточных задач строится экономичная, безусловно устойчивая разностная схема. Для численного решения поставленной задачи строится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения.

Работа посвящена нелокальным краевым задачам для многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений нелокальных краевых задач. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения каждой из рассмотренных задач по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью O(|h|+τ). Для каждой из рассмотренных задач построен алгоритм численного решения, роведены численные расчеты тестовых примеров.