ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (2022)
Работа посвящена нелокальным краевым задачам для многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений нелокальных краевых задач. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения каждой из рассмотренных задач по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью O(|h|+τ). Для каждой из рассмотренных задач построен алгоритм численного решения, роведены численные расчеты тестовых примеров.
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 48622367
При исследовании прикладных задач механики сплошной среды, тепло- и массопереноса широко используются методы математического моделирования и вычислительной математики. В качестве основных при исследовании многих процессов в движущихся средах можно выделить диффузионный перенос той или иной субстанции и перенос, обусловленный движением среды, т. е. конвективный перенос. В газо- и гидродинамике одной из базовых моделей многих процессов выступают краевые задачи для нестационарных уравнений конвекции–диффузии (т. е. параболических уравнений второго порядка с младшими членами) [1].
Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач по краевым условиям и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих ученых вызывают задачи, названные нелокальными. Нелокальными задачами в литературе принято называть такие задачи, в которых вместо обычных точечных (“локальных”) граничных условий задаются условия, связывающие значения искомого решения и/или его производных в различных точках границы либо же в точках границы и в каких-либо внутренних точках [2, c. 135]. К первым работам с неклассическими граничными условиями относятся, по-видимому, работы T. Carleman [3], J.R. Canon [4], Л.А. Камынина [5] и А.Ф. Чудновского [6]. Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечалась еще В.А. Стекловым [7].
Список литературы
- A. A. Samarskii and P. N. Vabishchevich, Numerical Methods for Solving Convection-Diffusion Problems (Editorial, Moscow, 2004) [in Russian].
- A. M. Nakhushev, Equations of Mathematical Biology (Vysshaya Shkola, Moscow, 1995) [in Russian].
- T. Carleman, “Sur la Théorie des Équations Intégrales et ses Applications”, in Actes Verh. Internat. Math. Kongr., Zürich, Switzerland, September 5-12, 1932 (Orel Füssli, Zürich, 1933), Vol. 1, pp. 138-151.
- J. R. Canon, “The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy”, Quart. Appl. Math. 21 (2), 155-160 (1963). DOI: 10.1090/qam/160437
- L. I. Kamynin, “ A Boundary Value Problem in the Theory of Heat Conduction with a Nonclassical Boundary Condition“, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 4 (6), 1006-1024 (1964). [USSR Comput. Math. Math. Phys. 4 (6), 33-59 (1964)]. DOI: 10.1016/0041-5553(64)90080-1
- A. F. Chudnovsky, “Some Corrections in the Formulation and Solution of Problems of Heat and Moisture Transfer in Soil”, Proc. Agrophysical Inst. Issue 23, 41-54 (1969).
- V. A. Steklov, Fundamental Problems in Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1983) [in Russian].
- A. A. Samarskii, “Some Problems in the Theory of Differential Equations”, Differ. Uravn. 16 (11), 1925-1935 (1980). http://mi.mathnet.ru/de4116 Cited May 30, 2022.
- A. I. Kozhanov, “On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation”, Differ. Uravn. 40 (6), 763-774 (2004)[Differ. Equ. 40 (6), 815-826 (2004)]. http://mi.mathnet.ru/de11086 Cited May 30, 2022. EDN: PJGDYR
-
A. I. Kozhanov and L. S. Pulkina, "On the Solvability of Boundary Value Problems with a Nonlocal Boundary Condition of Integral Form for Multidimensional Hyperbolic Equations", Differ. Uravn. 42 (9), 1166-1179 (2006)[Differ. Equ., 42 (9), 1233-1246 (2006).]http://mi.mathnet.ru/de11554 Cited May 30, 2022. EDN: HVLJOH -
L. S. Pulkina, "Solvability in L_2 of a Nonlocal Problem with Integral Conditions for a Hyperbolic Equation", Differ. Uravn. 36 (2), 279-280 (2000)[Differ. Equ. 36 (2), 316-318 (2000)]. http://mi.mathnet.ru/de10101 Cited May 30, 2022. EDN: VOKDVA -
O. Yu. Danilkina, "On One Nonlocal Problem for the Heat Equation with an Integral Condition", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki. 1 (14), 5-9 (2007). EDN: IIYOEV -
R. K. Tagiev and V. M. Gabibov, "Difference Approximation and Regularization of the Optimal Control Problem for a Parabolic Equation with an Integral Condition", Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh. No 50, 30-44 (2017). http://mi.mathnet.ru/vtgu616 Cited May 30, 2022. EDN: ZXNYFJ -
E. A. Kritskaya and V. V. Smagin, "On the Weak Solvability of a Parabolic Variational Problem with an Integral Condition", Vestn. Voronezh. State Univ. Ser. Phys. Math. No 1, 222-225 (2008). http://www.vestnik.vsu.ru/pdf/physmath/2008/01/kritzkaya.pdf Cited May 30, 2022. -
L. S. Pul'kina and A. E. Savenkova, "A Problem with a Nonlocal, with Respect to Time, Condition for Multidimensional Hyperbolic Equations", Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 10, 41-52 (2016) [Russ. Math. 60 (10), 33-43 (2016)]. DOI: 10.3103/S1066369X16100066 EDN: WFLQLJ -
N. S. Popov, "On the Solvability of Boundary Value Problems for Multidimensional Parabolic Equations of Fourth Order with Nonlocal Boundary Condition of Integral Form", Math. Notes of NEFU 23 (1), 79-86 (2016). http://www.mathnet.ru/links/eb7d3c7cb0c7de0a204012cbff688616/svfu17.pdf Cited May 30, 2022. EDN: XDGEFD -
A. K. Urinov and Sh. T. Nishonova, "A Problem with Integral Conditions for an Elliptic-Parabolic Equation", Mat. Zametki 102 (1), 81-95 (2017) [Math. Notes 102 (1), 68-80 (2017)]. DOI: 10.4213/mzm10674 EDN: YUERHH -
D. H. Q. Nam, D. Baleanu, N. H. Luc, and N. H. Can, "On a Kirchhoff Diffusion Equation with Integral Condition", Adv. Differ. Equ. 2020, No 1 (2020). DOI: 10.1186/s13662-020-03077-y EDN: JOAOQD -
V. B. Dmitriev, "Boundary Value Problem with a Nonlocal Boundary Condition of Integral Form for a Multidimensional Equation of IV Order", Vestnik SamU. Estestvenno-Nauchnaya Ser. 27 (1), 15-28 (2021). DOI: 10.18287/2541-7525-2021-27-1-15-28 -
O. A. Ladyzhenskaya, Boundary Value Problems of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1973; Springer, New York, 1985). -
A. A. Samarskii, Theory of Difference Schemes (Nauka, Moscow, 1983; Marcel Dekker, New York, 2001). -
V. B. Andreev, "On the Convergence of Difference Schemes Approximating the Second and Third Boundary Value Problems for Elliptic Equations", Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 8 (6), 1218-1231 (1968).[USSR Comput. Math. Math. Phys. 8 (6), 44-62 (1968)]. DOI: 10.1016/0041-5553(68)90092-X -
A. A. Samarsky and A. V. Gulin, Stability of Difference Schemes (Nauka, Moscow, 1973) [in Russian]. -
D. K. Faddeev and V. N. Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra (Fizmatgiz, Moscow, 1960; Freeman, San Francisco, 1963). -
A. A. Abramov and V. B. Andreev, "On the Application of the Method of Successive Substitution to the Determination of Periodic Solutions of Differential and Difference Equations",http://mi.mathnet.ru/zvmmf7856].Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 3 (2), 377-381 (1963).[USSR Comput. Math. Math. Phys. 3 (2), 498-504 (1963)]. DOI: 10.1016/0041-5553(63)90034-X -
A. A. Samarskii and E. S. Nikolaev, Numerical Methods for Grid Equations (Nauka, Moscow, 1978; Birkhäuser, Basel, 1989). -
A. F. Voevodin and S. M. Shugrin, Numerical Methods for One-Dimensional Systems (Nauka, Novosibirsk, 1981) [in Russian].
Выпуск
Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения.
Другие статьи выпуска
Рассмотрены интегралы, возникающие при решении граничных интегральных уравнений, ядром в которых является логарифмический или ньютоновский потенциал либо их градиенты, в случае, когда решение представляется кусочно-постоянным по панелям, в качестве которых в плоских задачах выступают прямолинейные отрезки, а в пространственных - плоские треугольники. Рассмотрены интегралы по одной панели, вычисляемые при использовании метода коллокаций, и разработана методика вычисления повторных интегралов по двум панелям, возникающих при использовании метода Галеркина. В плоских задачах для всех интегралов записаны точные аналитические выражения, удобные для практического использования; то же относится к интегралам по одной панели в трехмерных задачах. Для повторных пространственных интегралов предложена численно-аналитическая схема, предполагающая выделение особенностей в подынтегральных выражениях и их аналитическое интегрирование, а также численное интегрирование гладких функций.
We compare the error behavior of two methods used to find a numerical solution of the linear integro-differential Fredholm equation with a weakly singular kernel in Banach space C1[a,b]. We construct an approximation solution based on the modified cubic b-spline collocation method. Another estimation of the exact solution, constructed by applying the numerical process of product and quadrature integration, is considered as well. Two proposed methods lead to solving a linear algebraic system. The stability and convergence of the cubic b-spline collocation estimate is proved. We test these methods on the concrete examples and compare the numerical results with the exact solution to show the efficiency and simplicity of the modified collocation method.
В настоящей работе предложен алгоритм численного моделирования потока поверхностной диффузии для начальной периодической триангулированной поверхности. Разработаны алгоритмы перестройки триангуляции для обработки особенностей, возникающих при эволюции. Отдельно рассмотрены случаи особенности внутри куба, содержащего поверхность, на его гранях, ребрах и в углах. Работа алгоритма продемонстрирована рядом примеров.
В работе представлен алгоритм решения системы уравнений Аллена-Кана и Кана-Хиллиарда, которая описывает процесс спекания. Алгоритм не требует значительных по мощности вычислительных ресурсов и позволяет выполнить моделирование процесса спекания большого количества отдельных частиц на вычислительном узле с процессором Intel Xeon E5 2697 v3 и графическим ускорителем NVIDIA K40 за приемлемое время. Проведены эксперименты по моделированию спекания сорбентоподобных структур - упаковок сферических частиц, и на них показана эффективность алгоритма.
Издательство
- Издательство
- МГУ
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- Юр. адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- ФИО
- Садовничий Виктор Антонович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- info@rector.msu.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 9391000
- Сайт
- https://msu.ru/