АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОТОКА ПОВЕРХНОСТНОЙ ДИФФУЗИИ ДЛЯ ТРИАНГУЛИРОВАННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ (2022)
В настоящей работе предложен алгоритм численного моделирования потока поверхностной диффузии для начальной периодической триангулированной поверхности. Разработаны алгоритмы перестройки триангуляции для обработки особенностей, возникающих при эволюции. Отдельно рассмотрены случаи особенности внутри куба, содержащего поверхность, на его гранях, ребрах и в углах. Работа алгоритма продемонстрирована рядом примеров.
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 48622364
Само уравнение (1) называется уравнением поверхностной диффузии. Впервые дан-
ное уравнение было получено при рассмотрении деформации поверхностей под действием поверхностной диффузии, вызванной капиллярными силами [1]. Применялось оно в моделировании формы борозд на границе двух зерен нагретого поликристалла и формы катодов под действием напряжения. Модификации данного уравнения впоследствии не единожды появлялись в различных моделях, описывающих поведение границы раздела сред или поверхности вещества во время химической реакции. В первом из этих направлений стоит отметить следующий результат: при близости решения уравнения Кана–Хиллиарда к разделу сред граница раздела движется согласно уравнению поверхностной диффузии [2]. Поэтому данное уравнение применимо к описанию границы раздела сред. Во втором направлении из недавних работ стоит отметить [3], в которой была построена модификация уравнения (1), описывающая эволюцию поверхности сорбента. Кроме того, уравнение поверхностной диффузии хорошо описывает начальные стадии процессов спекания [1]
Список литературы
- W. W. Mullins, “Theory of Thermal Grooving”, J. Appl. Phys. 28 (3), 333-339 (1957). DOI: 10.1063/1.1722742
- J. W. Cahn, C. M. Elliott, and A. Novick-Cohen, “The Cahn-Hilliard Equation with a Concentration Dependent Mobility: Motion by Minus the Laplacian of the Mean Curvature”, Eur. J. Appl. Math. 7 (3), 287-301 (1996). DOI: 10.1017/S0956792500002369
- Ya. V. Bazaikin, V. S. Derevschikov, E. G. Malkovich, et al., “Evolution of Sorptive and Textural Properties of CaO-Based Sorbents during Repetitive Sorption/Regeneration Cycles: Part II. Modeling of Sorbent Sintering during Initial Cycles”, Chem. Eng. Sci. 199, 156-163 (2019). DOI: 10.1016/J.CES.2018.12.065 EDN: DKBWTL
- J. Escher, U. F. Mayer, and G. Simonett, “The Surface Diffusion Flow for Immersed Hypersurfaces”, SIAM J. Math. Anal. 29 (6), 1419-1433 (1998). DOI: 10.1137/S0036141097320675
- U. F. Mayer and G. Simonett, “Self-Intersections for the Surface Diffusion and the Volume Preserving Mean Curvature Flow”, Differ. Integral Equ. 13 (7-9), 1189-1199 (2000). https://projecteuclid.org/journals/differential-and-integral-equations/volume-13/issue-7-9 Cited May 21, 2022.
- Yu. D. Efremenko, “On Semi-Implicit Numerical Method for Surface Diffusion Equation for Triangulated Surfaces”, Sib. Electron. Math. Rep. 18 (2), 1367-1389 (2021). DOI: 10.33048/semi.2021.18.104 EDN: CZMNIC
- P. Smereka, “Semi-Implicit Level Set Methods for Curvature and Surface Diffusion Motion”, J. Sci. Comput. 19, 439-456 (2003). 10.1023/A: 1025324613450. DOI: 10.1023/A:1025324613450 EDN: EQSUNL
- U. F. Mayer, “Numerical Solutions for the Surface Diffusion Flow in Three Space Dimensions”, Comput. Appl. Math. 20 (3), 361-379 (2001).
- Library CGAL.The Computational Geometry Algorithms Library (CGAL). https://www.cgal.org/ Cited May 21, 2022.
-
Linear Algebra Library (Eigen). https://eigen.tuxfamily.org Cited May 21, 2022.
-
D Surface Mesh Generation Package. https://doc.cgal.org/latest/Surface_mesher/index.html Cited May 21, 2022.
-
M. Cenanovic, P. Hansbo, and M. G. Larson, "Finite Element Procedures for Computing Normals and Mean Curvature on Triangulated Surfaces and Their Use for Mesh Refinement", ArXiv.org. (2017). https://arxiv.org/pdf/1703.05745.pdf Cited May 21, 2022.
-
K. Watanabe and A. G. Belyaev, "Detection of Salient Curvature Features on Polygonal Surfaces", Comput. Graph. Forum 20 (3), 385-392 (2001). DOI: 10.1111/1467-8659.00531 EDN: XZVQR
-
E. Magid, O. Soldea, and E. Rivlin, "A Comparison of Gaussian and Mean Curvature Estimation Methods on Triangular Meshes of Range Image Data", Comput. Vis. Image Underst. 107 (3), 139-159 (2007). DOI: 10.1016/j.cviu.2006.09.007
-
U. Pinkall and K. Polthier, "Computing Discrete Minimal Surfaces and Their Conjugates", Exper. Math. 2 (1), 15-36 (1993). DOI: 10.1080/10586458.1993.10504266
-
M. Meyer, M. Desbrun, P. Schröder, and A. H. Barr, "Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds", in Visualization and Mathematics III (Springer, Heidelberg, 2003), pp. 35-57. DOI: 10.1007/978-3-662-05105-4_2
-
Polygon Mesh Processing Package. https://doc.cgal.org/latest/Polygon_mesh_processing/index.html Cited May 21, 2022.
-
W. Jung, H. Shin, and B. K. Choi, "Self-Intersection Removal in Triangular Mesh Offsetting", Comput.-Aided Des. Appl. 1 (1-4), 477-484 (2004). DOI: 10.1080/16864360.2004.10738290
-
Scale-Space Surface Reconstruction Package. https://doc.cgal.org/latest/Scale_space_reconstruction_3/index.html Cited May 21, 2022.
-
S. Torquato, Random Heterogeneous Materials: Microstructure and Macroscopic Properties (Springer, New York, 2013).
-
B. D. Lubachevsky and F. H. Stillinger, "Geometric Properties of Random Disk Packings", J. Stat. Phys. 60 (5-6), 561-583 (1990). DOI: 10.1007/BF01025983
Выпуск
Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения.
Другие статьи выпуска
Работа посвящена нелокальным краевым задачам для многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений нелокальных краевых задач. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения каждой из рассмотренных задач по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью O(|h|+τ). Для каждой из рассмотренных задач построен алгоритм численного решения, роведены численные расчеты тестовых примеров.
Рассмотрены интегралы, возникающие при решении граничных интегральных уравнений, ядром в которых является логарифмический или ньютоновский потенциал либо их градиенты, в случае, когда решение представляется кусочно-постоянным по панелям, в качестве которых в плоских задачах выступают прямолинейные отрезки, а в пространственных - плоские треугольники. Рассмотрены интегралы по одной панели, вычисляемые при использовании метода коллокаций, и разработана методика вычисления повторных интегралов по двум панелям, возникающих при использовании метода Галеркина. В плоских задачах для всех интегралов записаны точные аналитические выражения, удобные для практического использования; то же относится к интегралам по одной панели в трехмерных задачах. Для повторных пространственных интегралов предложена численно-аналитическая схема, предполагающая выделение особенностей в подынтегральных выражениях и их аналитическое интегрирование, а также численное интегрирование гладких функций.
We compare the error behavior of two methods used to find a numerical solution of the linear integro-differential Fredholm equation with a weakly singular kernel in Banach space C1[a,b]. We construct an approximation solution based on the modified cubic b-spline collocation method. Another estimation of the exact solution, constructed by applying the numerical process of product and quadrature integration, is considered as well. Two proposed methods lead to solving a linear algebraic system. The stability and convergence of the cubic b-spline collocation estimate is proved. We test these methods on the concrete examples and compare the numerical results with the exact solution to show the efficiency and simplicity of the modified collocation method.
В работе представлен алгоритм решения системы уравнений Аллена-Кана и Кана-Хиллиарда, которая описывает процесс спекания. Алгоритм не требует значительных по мощности вычислительных ресурсов и позволяет выполнить моделирование процесса спекания большого количества отдельных частиц на вычислительном узле с процессором Intel Xeon E5 2697 v3 и графическим ускорителем NVIDIA K40 за приемлемое время. Проведены эксперименты по моделированию спекания сорбентоподобных структур - упаковок сферических частиц, и на них показана эффективность алгоритма.
Издательство
- Издательство
- МГУ
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- Юр. адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- ФИО
- Садовничий Виктор Антонович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- info@rector.msu.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 9391000
- Сайт
- https://msu.ru/