TWO NUMERICAL TREATMENTS FOR SOLVING THE LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL FREDHOLM EQUATION WITH A WEAKLY SINGULAR KERNEL (2022)
We compare the error behavior of two methods used to find a numerical solution of the linear integro-differential Fredholm equation with a weakly singular kernel in Banach space C1[a,b]. We construct an approximation solution based on the modified cubic b-spline collocation method. Another estimation of the exact solution, constructed by applying the numerical process of product and quadrature integration, is considered as well. Two proposed methods lead to solving a linear algebraic system. The stability and convergence of the cubic b-spline collocation estimate is proved. We test these methods on the concrete examples and compare the numerical results with the exact solution to show the efficiency and simplicity of the modified collocation method.
Идентификаторы и классификаторы
Integro-differential equations are considered one of the most well-known mathematical equations, which are used in many fields, for instance in physics [1, 2], biology [3], dynamics [4, 5], medicine [6], computer science [7], etc. Their explicit form varies depending on the studied scientific task. A big number of these equations have been investigated previously in different papers on the relevant topics. Among them, the equations with a weakly singular kernel in the non-linear Volterra form [8–10], in the non-linear Fredholm form [11], in the linear Fredholm form [12] or in the non-linear Volterra-Fredholm form [13] play a prominent role. For example, they are extensively applied in the network studies [14, 15], in COVID-19 researches [16] and others. Because of the great number of forms of these equations, the study of the analytical solution is difficult and generally impossible. However, nowadays the various numerical methods and techniques are known to find good approximations of their solutions, namely the domain decomposition method [1], the degenerate kernel [12], the product trapezoidal rule [8, 9, 11, 13, 17], the meshless local discrete collocation technique [18], the projection method [19] and the Fourier series [20].
Список литературы
- D. Adnan Maturi, “The Adomian Decomposition Method for Solving Heat Transfer Lighthill Singular Integral Equation Using Maple”, Int. J. GEOMATE 22 (89), 16-23 (2022). https://geomatejournal.com/geomate/article/view/3140 Cited May 10, 2022.
- I. V. Alexandrova, A. A. Ivanov, and D. V. Alexandrov, “Analytical Solution of Integro-Differential Equations Describing the Process of Intense Boiling of a Superheated Liquid”, Math. Methods. Appl. Sci. 13 (2021). DOI: 10.1002/mma.7560
- P. Agarwal, U. Baltaeva, and Y. Alikulov, “Solvability of the Boundary-Value Problem for a Linear Loaded Integro-Differential Equation in an Infinite Three-Dimensional Domain”, Chaos Solit. Fractals.
- A. A. Minakov and C. Schick, “Integro-Differential Equation for the Non-Equilibrium Thermal Response of Glass-Forming Materials: Analytical Solutions”, Symmetry. 13 (2021). DOI: 10.3390/sym13020256
- L. Zhang, L. Xu, and T. Yin, “An Accurate Hyper-Singular Boundary Integral Equation Method for Dynamic Poroelasticity in Two Dimensions”, (2020). https://arxiv.org/pdf/2008.07115.pdf Cited May 10, 2022.
- B. Gürbüz, “A Numerical Scheme for the Solution of NeutralIntegro-Differential Equations Including Variable Delay”, Math. Sci. 16, 13-21 (2022). DOI: 10.1007/s40096-021-00388-3
- H. Mesgarani and P. Parmour, “Application of Numerical Solution of Linear Fredholm Integral Equation of the First Kind for Image Restoration”, Math. Sci. (2022). DOI: 10.1007/s40096-022-00456-2
- M. Ghiat and H. Guebbai, “Analytical and Numerical Study for an Integro-Differential Nonlinear Volterra Equation with Weakly Singular Kernel”, Comput. Appl. Math. 37 (4), 4661-4974 (2018). DOI: 10.1007/s40314-018-0597-3
- M. Ghiat, H. Guebbai, M. Kurulay, and S. Segni, “On the Weakly Singular Integro-Differential Nonlinear Volterra Equation Depending in Acceleration Term”, Comput. Appl. Math. 39 (2020). DOI: 10.1007/s40314-020-01235-2
-
S. Segni, M. Ghiat, and H. Guebbai, "New Approximation Method for Volterra Nonlinear Integro-Differential Equation", Asian-Eur. J. Math. 12 (2019). DOI: 10.1142/S1793557119500165 -
S. Touati, M.-Z. Aissaoui, S. Lemita, and H. Guebbai, "Investigation Approach for a Nonlinear Singular Fredholm Integro-Differential Equation", Bol. Soc. Paran. Mat. 40 (2022). DOI: 10.5269/bspm.46898 -
H. Guebbai and L. Grammont, "A New Degenerate Kernel Method for a Weakly Singular Integral Equation", Appl. Math. Comput. 230, 414-427 (2014). DOI: 10.1016/j.amc.2013.12.102 -
S. Touati, S. Lemita, M. Ghiat, and M.-Z. Aissaoui, "Solving a Nonlinear Volterra-Fredholm Integro-Differential Equation with Weakly Singular Kernels", Fasc. Math. 62 (1), 155-168 (2019). http://fasciculi-mathematici.put.poznan.pl/ Cited May 10, 2022. -
A. Jafarian, R. Rezaei, and A. K. Golmankhaneh, "On Solving Fractional Higher-Order Equations via Artificial Neural Networks", Iran. J. Sci. Technol. Trans. A: Sci. (2022). DOI: 10.1007/s40995-021-01254-6 -
M. Bohner, O. Tunç, and C. Tunç, "Qualitative Analysis of Caputo Fractional Integro-Differential Equations with Constant Delays", Comp. Appl. Math. 40 (2021). DOI: 10.1007/s40314-021-01595-3 -
S. Noeiaghdam, S. Micula, and J. J. Nieto, "A Novel Technique to Control the Accuracy of a Nonlinear Fractional Order Model of COVID-19: Application of the CESTAC Method and the CADNA Library", Mathematics 9 (2021). DOI: 10.3390/math9121321 -
K. Atkinson and W. Han, Theoretical Numerical Analysis: A Functional Analysis Framework (Springer, New York, 2001). -
P. Assari, "Solving Weakly Singular Integral Equations Utilizing the Meshless Local Discrete Collocation Technique", Alex. Eng. J. 57 (4), 2497-2507 (2018). DOI: 10.1016/j.aej.2017.09.015 EDN: XAPBKD -
A. Mennouni, "A Projection Method for Solving Cauchy Singular Integro-Differential Equations", Appl. Math. Lett. 25 (6), 986-989 (2012). 10.1016/j.aml.2011.11.012 Cited May 10, 2022. DOI: 10.1016/j.aml.2011.11.012CitedMay10 EDN: PKYBAJ -
H. Guebbai, "Regularization and Fourier Series for Fredholm Integral Equations of the Second Kind with a Weakly Singular Kernel", Numer. Funct. Anal. Optim. 39 (2018). DOI: 10.1080/01630563.2017.1364753 -
B. Tair, H. Guebbai, S. Segni, and M. Ghiat, "Solving Linear Fredholm Integro-Differential Equation by Nystöm Method", J. Appl. Math. Comput. Mech. 20 (3), 53-64 (2021). DOI: 10.17512/jamcm.2021.3.05 -
B. Tair, H. Guebbai, S. Segni, and M. Ghiat, "An Approximation Solution of Linear Fredholm Integro-Differential Equation Using Collocation and Kantorovich Methods", J. Appl. Math. Comput. (2021). DOI: 10.1007/s12190-021-01654-2 EDN: EPAYVP -
M. K. Kadalbajoo and P. Arora, "B-Spline Collocation Method for the Singular-Perturbation Problem Using Artificial Viscosity", Comput. Math. Appl. 57 (4), 650-663 (2009). DOI: 10.1016/j.camwa.2008.09.008 -
R. Firouzdor, A. Heidarnejad Khoob, and Z. Mollaramezani, "Numerical Solution of Functional Integral Equations by Using B-Splines", J. Linear Topol. Algebra 1 (1), 45-53 (2012). https://oaji.net/articles/2014/1011-1405094276.pdf Cited May 10, 2022. -
M. Gholamian, J. Saberi-Nadjafi, and A. R. Soheili, "Cubic B-Splines Collocation Method for Solving a Partial Integro-Differential Equation with a Weakly Singular Kernel", Comput. Methods Differ. Equ. 7 (3), 497-510 (2019). https://www.sid.ir/en/journal/ViewPaper.aspx?id=695385 Cited May 10, 2022. -
J. Rashidinia, E. Babolian, and Z. Mahmood, "Spline Collocation for Fredholm Integral Equations", Math. Sci. 5 (2), 147-158 (2011). https://www.sid.ir/en/journal/ViewPaper.aspx?id=250639 Cited May 10, 2022. -
R. A. Adams and J. J. F. Fournier, Sobolev Spaces (Academic Press, Amsterdam, 2003). -
A. Bashan, N. M. Yagmurlu, Y. Ucar, and A. Esen, "An Effective Approach to Numerical Solutions for the Schrödinger Equation Via Modified Cubic B-Spline Differential Quadrature Method", Chaos Solit. Fractals 100, 45-56 (2017). DOI: 10.1016/j.chaos.2017.04.038 -
N. Ebrahimi and J. Rashidinia, "Spline Collocation for Fredholm and Volterra Integro-Differential Equations", Int. J. Math. Model. Comput. 4 (3), 289-298 (2014). https://www.sid.ir/en/journal/ViewPaper.aspx?id=412805 Cited May 10, 2022. -
Kh. Maleknejad and Y. Rostami, "B-Spline Method for Solving Fredholm Integral Equations of the First Kind", Int. J. Ind. Math. 11 (1), 63-70 (2019). https://www.sid.ir/en/journal/ViewPaper.aspx?id=715404 Cited May 10, 2022. -
G. Birkhoff and C. de Boor, "Error Bounds for Spline Interpolation", J. Math. Mech. 13 (5), 827-835 (1964). http://www.jstor.org/stable/24901235 Cited May 10, 2022. -
J. H. Ahlberg, E. N. Nilson, and J. L. Walsh, The Theory of Splines and Their Applications (Academic Press, New York, 1967). -
E. V. Shikin and I. P. Alexander, Handbook on Splines for the User (CRC Press, Boca Raton, 1995). -
W. J. Kammerer and G. W. Reddien, "Local Convergence of Smooth Cubic Spline Interpolates", SIAM J. Numer. Anal. 9 (4), 687-694 (1972). DOI: 10.1137/0709057 -
P. M. Prenter, Splines and Variational Methods (Wiley, New York, 1989). -
T. R. Lucas, "Error Bounds for Interpolating Cubic Splines under Various End Conditions", SIAM J. Numer. Anal. 11 (3), 569-584 (1974). DOI: 10.1137/0711049 -
Yu. S. Volkov, "Convergence Analysis of an Interpolation Process for the Derivatives of a Complete Spline", J. Math. Sci. 187 (1), 101-114 (2012). DOI: 10.1007/s10958-012-1053-3 EDN: YQHAIH -
G. D. Andria, G. D. Byrne, and C. A. Hall, "Convergence of Cubic Spline Interpolants of Functions Possessing Discontinuities", J. Approx. Theory 8 (2), 150-159 (1973). DOI: 10.1016/0021-9045(73)90024-5 -
K. E. Atkinson, "On the Order of Convergence of Natural Cubic Spline Interpolation", SIAM J. Numer. Anal, 5 (1), 89-101 (1968). DOI: 10.1137/0705007 -
Yu. S. Volkov, "Obtaining a Banded System of Equations in Complete Spline Interpolation Problem Via B-Spline Basis", Cent. Eur. J. Math. 10 (1), 352-356 (2012). DOI: 10.2478/s11533-011-0104-1 EDN: PDGKRX -
L. L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory (Wiley, New York, 1981). -
M. Ahues, A. Largillier, and B. V. Limaye, Spectral Computations for Bounded Operators (CRC Press, Boca Raton, 2001). -
S. M. Zemyan, The Classical Theory of Integral Equations (Birkhäuser/Springer, New York, 2012).
Выпуск
Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения.
Другие статьи выпуска
Работа посвящена нелокальным краевым задачам для многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений нелокальных краевых задач. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения каждой из рассмотренных задач по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью O(|h|+τ). Для каждой из рассмотренных задач построен алгоритм численного решения, роведены численные расчеты тестовых примеров.
Рассмотрены интегралы, возникающие при решении граничных интегральных уравнений, ядром в которых является логарифмический или ньютоновский потенциал либо их градиенты, в случае, когда решение представляется кусочно-постоянным по панелям, в качестве которых в плоских задачах выступают прямолинейные отрезки, а в пространственных - плоские треугольники. Рассмотрены интегралы по одной панели, вычисляемые при использовании метода коллокаций, и разработана методика вычисления повторных интегралов по двум панелям, возникающих при использовании метода Галеркина. В плоских задачах для всех интегралов записаны точные аналитические выражения, удобные для практического использования; то же относится к интегралам по одной панели в трехмерных задачах. Для повторных пространственных интегралов предложена численно-аналитическая схема, предполагающая выделение особенностей в подынтегральных выражениях и их аналитическое интегрирование, а также численное интегрирование гладких функций.
В настоящей работе предложен алгоритм численного моделирования потока поверхностной диффузии для начальной периодической триангулированной поверхности. Разработаны алгоритмы перестройки триангуляции для обработки особенностей, возникающих при эволюции. Отдельно рассмотрены случаи особенности внутри куба, содержащего поверхность, на его гранях, ребрах и в углах. Работа алгоритма продемонстрирована рядом примеров.
В работе представлен алгоритм решения системы уравнений Аллена-Кана и Кана-Хиллиарда, которая описывает процесс спекания. Алгоритм не требует значительных по мощности вычислительных ресурсов и позволяет выполнить моделирование процесса спекания большого количества отдельных частиц на вычислительном узле с процессором Intel Xeon E5 2697 v3 и графическим ускорителем NVIDIA K40 за приемлемое время. Проведены эксперименты по моделированию спекания сорбентоподобных структур - упаковок сферических частиц, и на них показана эффективность алгоритма.
Издательство
- Издательство
- МГУ
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- Юр. адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- ФИО
- Садовничий Виктор Антонович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- info@rector.msu.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 9391000
- Сайт
- https://msu.ru/