Научный архив: статьи

Актуальность и цели. Для определения неизвестных решений канонических гиперболических дифференциальных уравнений для функций двух переменных представлялось актуальным установление связи дифференциальных изоморфизмов первого порядка этих уравнений с преобразованиями Лапласа.

Материалы и методы. Для исследования изоморфизмов первого порядка применяется теорема о представлении изоморфизмов линейными дифференциальными трансляторами. Используются прямые действия с дифференциальными операторами.

Результаты и выводы. Доказана теорема о том, что любой дифференциальный изоморфизм первого порядка между каноническими дифференциальными уравнениями с вещественно-аналитическими коэффициентами является композицией преобразований Лапласа первого и нулевого порядка. Это позволяет расширить область применения классических преобразований Лапласа.

Актуальность и цели. В теории линейных дифференциальных уравнений существенную роль играют преобразования, порожденные дифференциальными заменами зависимых переменных. Исследование этих преобразований привело к созданию общей теории дифференциальных алгебр симметрии однородных линейных систем дифференциальных уравнений и к теории дифференциальных гомоморфизмов. Эти теории оказались тесно связанными с понятием теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов (ЛДО). К настоящему времени доказано несколько теорем о нулях ЛДО, но этих теорем недостаточно для исследования алгебр дифференциальной симметрии и соотношений между разными типами линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Формулировка и доказательство новых теорем о нулях ЛДО является актуальной задачей. Основная цель работы - формулировка и доказательство варианта формальной теоремы о нулях ЛДО. Другая важная цель - построение примеров применения теоремы, которые подтверждают ее полезность и основательность.

Материалы и методы. Приведены общие сведения о работах, в которых представлены теоремы о нулях ЛДО. Поясняется смысл формальных теорем о нулях и роль, которую такие частные теоремы могут играть в общей теории. Представлены основные обозначения и понятия, приведено определение теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов для семейства модулей над кольцом скалярных линейных дифференциальных операторов. Описаны элементы теории псевдообратных матриц и операторов, которые используются при доказательстве основной теоремы работы.

Результаты. Формулируется и доказывается вариант формальной теоремы о нулях. Приведены примеры семейств линейных дифференциальных операторов, для которых выполняются условия теоремы 1 (теоремы 2, 3, 4). Описан метод построения локальных сечений в общей задаче псевдообращения; в новой ситуации применена псевдообратная матрица; использован специальный базис, в котором координаты ЛДО совпадают с его коэффициентами; введено полезное понятие матрицы главных символов ЛДО по столбцам.

Выводы. Результаты работы могут служить основой доказательства справедливости формальной теоремы о нулях для множества конкретных линейных дифференциальных операторов и семейств операторов.

Актуальность и цели. Симметрия играет важную роль в механике и теоретической физике. Основными моделями в этих науках служат дифференциальные уравнения и системы уравнений. Поэтому изучение симметрий дифференциальных уравнений имеет не только теоретический, но и практический смысл. Канонические дифференциальные уравнения второго порядка являются одним из основных уравнений математической физики.
В статье ставится задача описания операторов дифференциальной симметрии первого порядка канонических уравнений и образованных такими операторами алгебр Ли.

Материалы и методы. Приведен краткий обзор общей теории дифференциальных замен зависимых переменных. Такие замены порождают операторы дифференциальной симметрии, а операторы первого порядка, в частности, образуют алгебры Ли относительно коммутатора. В общем виде описаны используемые понятия, введены канонические уравнения и инварианты Лапласа.

Результаты. Сформулирована и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях, при выполнении которых линейный дифференциальный оператор первого порядка является оператором дифференциальной симметрии канонического уравнения. Показано, как теорема применяется для описания множества операторов дифференциальной симметрии уравнений Эйлера - Пуассона. Установлен общий вид коммутатора операторов дифференциальной симметрии первого порядка и доказывается, что алгебра Ли операторов дифференциальной симметрии первого порядка уравнений Эйлера - Пуассона изоморфна алгебре Ли матриц второго порядка. Найдены операторы дифференциальной симметрии канонических уравнений с постоянными коэффициентами, а также канонических уравнений вида. Алгебры Ли таких операторов оказываются разрешимыми четырехмерными алгебрами Ли с одномерным центром.

Выводы. Полученные результаты представляются достаточно значимыми. Но основным результатом является теорема 1, которая может быть использована для описания алгебр Ли дифференциальной симметрии операторов первого порядка в других, не затронутых в этой статье, интересных случаях.