Научный архив: статьи

Актуальность и цели. Динамические системы, задаваемые разрывными кусочно-гладкими векторными полями на плоскости, являются естественными математическими моделями релейных систем теории автоматического управления. Периодические траектории описывают автоколебания. Хотя исследованию рождения периодических траекторий посвящено значительное число работ, описание типичных бифуркаций далеко от завершения. Целью настоящей работы является изучение бифуркаций периодических траекторий, аналогичных бифуркациям двойного и тройного циклов гладкой динамической системы.

Материалы и методы. Применяются метод точечных отображений и другие методы качественной теории дифференциальных уравнений.

Результаты. Рассматривается типичное двухпараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Предполагается, что при нулевых значениях параметров поле имеет периодическую траекторию Г, касающуюся линий переключения в двух особых точках типа «развилка» и не содержащую других особых точек. При этом обе компоненты, на которые Г разбивает плоскость, пересекаются с сепаратрисами развилок, не содержащимися в Г. Рассматриваются три случая. В первом случае Г устойчива и бифурцирует аналогично тройному циклу, во втором случае Г устойчива, но ее бифуркации состоят только в изменении числа участков скользящих движений на ней, а в третьем случае Г полуустойчива и бифурцирует аналогично двойному циклу.

Выводы. Указано несколько возможных сценариев рождения и перерождения периодических траекторий кусочно-гладкой динамической системы при изменении ее параметров.

Актуальность и цели. В настоящее время активно ведутся исследования, касающиеся свойств брахистохрон как линий с экстремальными свойствами. Актуальность настоящей работы обусловлена тем, что в ней впервые учтено влияние тепловых эффектов на форму брахистохроны. Главной целью исследования является аналитически строгое решение поставленной задачи.

Материалы и методы. Основным методом решения задачи является метод подвижного базиса, хорошо зарекомендовавший себя при решении множества задач, связанных с исследованием различных свойств брахистохрон.

Результаты. Приведено строгое аналитическое решение сформулированной задачи с учетом теплового эффекта, который был учтен с помощью введения диссипативной функции.

Выводы. Благодаря предложенному в статье алгоритму сформулирован общий методический подход, полезный при решении подобного рода задач, связанных с учетом тепловых свойств материалов.

Актуальность и цели. Симметрия играет важную роль в механике и теоретической физике. Основными моделями в этих науках служат дифференциальные уравнения и системы уравнений. Поэтому изучение симметрий дифференциальных уравнений имеет не только теоретический, но и практический смысл. Канонические дифференциальные уравнения второго порядка являются одним из основных уравнений математической физики.
В статье ставится задача описания операторов дифференциальной симметрии первого порядка канонических уравнений и образованных такими операторами алгебр Ли.

Материалы и методы. Приведен краткий обзор общей теории дифференциальных замен зависимых переменных. Такие замены порождают операторы дифференциальной симметрии, а операторы первого порядка, в частности, образуют алгебры Ли относительно коммутатора. В общем виде описаны используемые понятия, введены канонические уравнения и инварианты Лапласа.

Результаты. Сформулирована и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях, при выполнении которых линейный дифференциальный оператор первого порядка является оператором дифференциальной симметрии канонического уравнения. Показано, как теорема применяется для описания множества операторов дифференциальной симметрии уравнений Эйлера - Пуассона. Установлен общий вид коммутатора операторов дифференциальной симметрии первого порядка и доказывается, что алгебра Ли операторов дифференциальной симметрии первого порядка уравнений Эйлера - Пуассона изоморфна алгебре Ли матриц второго порядка. Найдены операторы дифференциальной симметрии канонических уравнений с постоянными коэффициентами, а также канонических уравнений вида. Алгебры Ли таких операторов оказываются разрешимыми четырехмерными алгебрами Ли с одномерным центром.

Выводы. Полученные результаты представляются достаточно значимыми. Но основным результатом является теорема 1, которая может быть использована для описания алгебр Ли дифференциальной симметрии операторов первого порядка в других, не затронутых в этой статье, интересных случаях.

Актуальность и цели. Обратные задачи электромагнитного зондирования, направленные на определение внутренних параметров объекта по внешним измерениям электромагнитного поля, являются некорректно поставленными и сложными в вычислительном плане. Нелинейность и неустойчивость решений требуют применения специальных методов регуляризации. Разработка эффективных неитерационных методов решения таких задач, особенно для трехмерных объектов, остается актуальной задачей для различных областей, таких как медицинская визуализация, геофизика и неразрушающий контроль. Целью является разработка и анализ неитерационного метода решения обратной задачи электромагнитного рассеяния для определения диэлектрической проницаемости ограниченного трехмерного объекта по измерениям ближнего поля.

Материалы и методы. Работа основана на решении прямой задачи дифракции монохроматической электромагнитной волны на ограниченном объемном рассеивателе с использованием сингулярного интегро-дифференциального уравнения электрического поля. Для решения обратной задачи предлагается двухшаговый неитерационный метод. Он основан на измерении ближнего поля, рассеянного объектом, и применяется для решений в конечномерных пространствах кусочно-постоянных функций.

Результаты. Реализован метод решения обратной задачи электромагнитного рассеяния. Представлены результаты решения прямой и обратной задач. Получено сравнение коэффициентов прохождения для нескольких экспериментов.

Выводы. Разработанный неитерационный метод решения обратной задачи электромагнитного рассеяния обеспечивает определение диэлектрической проницаемости ограниченного трехмерного объекта по измерениям ближнего поля. Метод демонстрирует эффективность и может быть применен в различных областях, требующих неинвазивного определения параметров объекта.

Актуальность и цели. Актуальность темы обусловлена потребностью в доклиническом исследовании пар трения эндопротезов тазобедренного сустава, направленном на оптимизацию лечебно-диагностических процессов эндопротезирования тазобедренного сустава человека. Целью работы является разработка и апробация методики исследования медико-биологических процессов функционирования эндопротезов тазобедренного сустава, позволяющая оценить прочность и износостойкость пар трения.

Материалы и методы. В методике исследования использовано регрессионное математическое моделирование напряжений узла подвижности эндопротеза тазобедренного сустава на основе медико-биологических процессов функционирования тазобедренного сустава и сравнительное испытание объемного износа пар трения.

Результаты. Разработанные имитационные и математические модели медико-биологических процессов функционирования тазобедренного сустава позволили оценить надежность конструкций пар трения из углеситалла. Оценка полученных данных напряжений выявила высокую надежность узла подвижности с парой трения из углеситалла. Объемный износ пары трения из углеситалла меньше, чем у керамической пары трения, на 31,8 %.

Выводы. Математические и имитационные модели позволяют определять параметры нагружения узлов подвижности эндопротезов тазобедренного сустава. В результате исследования запас прочности пары трения из углеситалла составил 4,5, что говорит о высокой надежности конструкции. Определение объемного износа позволяет установить возможность новых пар трения снижать риск развития послеоперационных осложнений. Объемный износ пары трения из углеситалла меньше, чем пары трения из керамики, на 31,8 %. Полученные в результате исследования данные позволят оптимизировать лечебно-диагностический процесс эндопротезирования тазобедренного сустава человека за счет предоставления данных о прочности и износостойкости эндопротезов на предоперационном этапе.

Статья посвящена проблемам математического образования в школах России. Авторами отмечается, что в настоящее время теория вероятностей из стен высших и специальных учебных заведений переходит во все наши средние школы. Изложение элементов учения о теории вероятностей в общеобразовательных школах не требует введения так называемой «высшей» математики. Школьники могут легко усвоить два правила комбинаторики (правило суммы и правило произведения) и логически применять их при решении вероятностных задач, не запоминая специальных формул. Простыми комбинаторными методами могут решаться трудные задачи, имеющие занимательную формулировку и неожиданные ответы. Приводятся интересные классические задачи из «старых» книг. В данной статье сделана попытка показать также логическую аналогию теории множеств и теории вероятностей, используя геометрическое понятие вероятности события и диаграммы Эйлера-Венна. При решении задач сделан основной акцент на материалы ОГЭ и ЕГЭ, поскольку именно они отражают требования к прохождению государственной итоговой аттестации. Отмечается неверное решение некоторых комбинаторных задач в сборнике «ЕГЭ Тематический тренажер, Математика. Профильный уровень. Теория вероятностей и элементы статистики» авторы А. Р. Рязановский, Д. Г. Мухин.

Актуализируется необходимость интеграции и цифровизации в области математического образования при обучении бакалавров педагогических направлений подготовки в период перехода от SPOD-мира к VUCA-миру. Представлены направления модернизации и интеграции в обучении модулям и дисциплинам математического и информационного циклов в условиях цифровизации математического образования. Эти направления открывают новые возможности в подготовке будущих учителей математики, востребованных на рынке труда. Авторы предприняли попытку анализа потенциала дисциплин математического и информационного циклов в контексте междисциплинарной интеграции в области математического образования. Предложены три направления модернизации обучения основам теории массового обслуживания (целевой аспект, организационные процессы, содержательный аспект передачи знаний), которые включают в себя обновление целей математического образования бакалавров педагогических направлений подготовки, создание организационной инфраструктуры для обеспечения цифровизации и информатизации математического образования, актуализация его содержательного аспекта алгоритмами решения задач с применением инструментов программ общего и специального назначения. Представлен зарубежный опыт обучения теории массового обслуживания, в том числе посредством внедрения VR-технологий, веб-квестов в образовательный процесс, а также использования программных продуктов AnyLogic, Wolfram Alpha и др

Аннотация Введение. Оптимальное проектирование строительных конструкций невозможно без их расчета. Грамотный расчет возможен только при понимании и глубоких знаниях теоретических основ. Теория расчета связана с математикой, физикой и механикой. Методы расчета, которыми пользовались инженеры в СССР требовали больших математических знаний, теперь математика расчета, его основа, практически выведена за пределы. Практика проектирования говорит об обратном, о необходимости владения математической основой расчета. Современный специалист, выполняющий расчет строительных конструкций, должен обладать не только навыками программирования, инженерными знаниями, но и понимать, что стоит за расчетом строительных конструкций. Только знание базы расчета позволит инженеру контролировать весь процесс расчета и повернуть его в нужном направлении на оптимизацию конструкции и увеличение ее срока службы. Цель работы состоит в сравнительном анализе расчета конструкции моста аналитическим и численными методами, при обосновании их взаимозаменяемости. В данном случае в работе представлены только методики выполненных расчетов, обоснованная их база и результаты анализа с заключительными выводами. Материалы и методы. В качестве методов исследования в работе использованы, прежде всего: анализ архивных данных, проектной документации, книг и иных нормативных и технических источников, справочников, а также численных и математических моделей и связанных с ними документов. К методам исследования, использованным в данной статье также, можно отнести теоретические методы как: моделирование, анализ, синтез, индукция, дедукция, сопоставительный анализ и контент-анализ; аналитические методы: создание прототипов и формирование гипотезы; научные методы: численный эксперимент и анализ его результатов. Результаты исследования. Дана математическая формулировка и обоснование теоретической базы для расчета строительных конструкций любой формы при любых типах нагружения в произвольной постановке задачи, которая в последствии может быть использована для программирования сложных расчетов и работы строительных конструкций в реальном времени, а также для проведения численных экспериментов с помощью программирования. Выполнен анализ различных методов и методик с заключительными выводами об их комплементарности. Обсуждения и заключение. Проведенное исследование позволило оценить различные методы и методики расчёта строительных конструкций, разобраться в том, что все они имеют свои ограничения, плюсы и минусы и прийти к заключению о том, что накопленная теоретическая база, результаты экспериментов и, в том числе, исследование, проделанное в этой работе, позволяют внедрять и использовать новую методику, основанную на программировании с применением математической теории. Подобная практика позволит повысить точность расчета, спрогнозировать поведение конструкций, а также сэкономить на испытаниях и выявить уязвимые зоны [35, 36, 37, 38, 39, 40]. Ключевые слова: математика проектирования, строительная математика, математический расчет строительных конструкций.

В данной статье предложен систематический подход к разработке алгоритмов комбинаторной генерации для множеств дискретных структур, мощность которых задается коэффициентами алгебраических производящих функций и их степеней. Исследование базируется на наличии связи между операциями над производящими функциями и комбинаторными множествами. В качестве основы использован математический аппарат деревьев И/ИЛИ, который позволяет комбинировать алгоритмы комбинаторной генерации для простых подструктур в сложные комбинаторные объекты. При этом основным теоретическим результатом работы является вывод новых эффективных рекуррентных формул для вычисления значений коэффициентов алгебраических производящих функций и их степеней с полиномиальной вычислительной сложностью O ((n1 + … + nm + m) n2)по времени и O( n2) по памяти. На основе доказанных теорем о рекуррентных формулах, предложенный подход позволяет строить алгоритмы с полиномиальной оценкой вычислительной сложности, что делает их применимыми для решения практических задач в области прикладной дискретной математики и теоретической информатики. Кроме того, использование коэффициентов степеней производящих функций расширяет возможности генерации, так как это позволяет строить не только объекты исходного комбинаторного множества, связанного с производящей функцией, но и кортежи таких объектов. Апробация предложенного подхода показана на примерах получения рекуррентных формул и алгоритмов генерации на их основе для классических числовых последовательностей, таких как числа Фибоначчи, Пелля, Каталана, Моцкина и Шредера. Предложенный подход открывает новые возможности для решения задач оптимизации, моделирования и кодирования сложных дискретных структур, например, в таких областях как биоинформатика и криптография.

При моделировании социальных процессов и явлений зачастую приходится обрабатывать данные, относящиеся к категоризованным признакам, выявлять причинно-следственные связи между такими данными, выделять наиболее существенные показатели. Исследование существующих подходов к анализу зависимостей между категоризованными переменными выявило ряд проблем при применении этих методов для многомерных категоризованных данных (тензоров). Поэтому в статье предлагается подход для изучения зависимостей между такими переменными с использованием многомерного компонентного анализа. Данный подход предполагает применение матриц развертки тензора, полученных для каждой его оси (категоризованного признака). Метод позволяет построить интегральные характеристики (компоненты) по элементам исходного тензора, сформировать матрицы компонентных нагрузок и рассчитать ядро тензора, имеющего меньшее число градаций категоризованных признаков (меньшее число измерений на осях тензора), чем исходный тензор. В статье предложен метод ранжирования градаций категоризованных переменных по степени совокупного влияния на них компонентных нагрузок, основанный на вычислении векторных норм. Изложенный подход к изучению зависимостей между многомерными категоризованными переменными продемонстрирован на примере трехмерного тензора с формой (4;10;10) и категоризованными признаками: группа нозологии, сфера деятельности, группа профессионально значимых качеств. Рассмотренный в статье алгоритм изучения многомерных категоризованных данных с применением многомерного компонентного анализа предполагается включить как аналитический инструмент информационно-аналитического регионального портала «ПЕРСПЕКТИВА-PRO», который может быть использован для разработки траекторий цифрового сопровождения лиц с инвалидностью и лиц с ОВЗ с учетом их личностных и вариативных характеристик.

В статье рассматривается аналоговая схема (аналоговый компьютер), в которой динамика изменения напряжений описывается системой Чуа. Найдены начальные состояния (установка начальных напряжений), которые выводят схему на предельный режим работы — скрытый аттрактор — устойчивый предельный цикл с частотой примерно 0,5 Гц. При этом получаемые сигналы имеют форму, близкую к гармоническому сигналу. Разработанная схема-генератор колебаний содержит семь операционных усилителей, не имеет мемристора, что дает значительное удешевление стоимости сборки; не имеет катушек индуктивности, что устраняет проблемы их изготовления, и гираторов. Определены значения номиналов сопротивлений и емкостей, соответствующих рассматриваемым параметрам системы. Один из инверторов схемы на базе операционного усилителя моделирует нелинейность типа упора, присутствующую в системе Чуа, периодически входя в состояния насыщения. После сборки устройства выходные сигналы схемы, соответствующие фазовым координатам системы Чуа, записаны в текстовый файл через шаг по времени с помощью цифрового осциллографа. Уточнены (идентифицированы) параметры математической модели в разработанной автором компьютерной программе, проверена адекватность модели по коэффициенту детерминации и критерию Фишера. Также численно исследуя устойчивость по Пуассону найденного режима в системе Чуа, определен период и частота полученного цикла, проведено сравнение с частотой, которую дает цифровой осциллограф.

Рассматривается важное в математической экологии логистическое уравнение с запаздыванием и диффузией. Предполагается, что граничные условия на одном из концов отрезка [0,1] содержат параметр. Исследован вопрос о локальной — в окрестности состояния равновесия — динамике соответствующей краевой задачи при всех значениях параметров граничных условий. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия и построены нормальные формы — скалярные комплексные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Их нелокальная динамика определят поведение решений исходной задачи в малой окрестности состояния равновесия.