Этот курс дифференциальных уравнений представляет собой один из томов моего курса математики. Он подготовлен к печати в течение летних месяцев этого года, и появился в итоге моего довольно продолжительного изучения теории интегрирования дифференциальных уравнений, попыток ее дальнейшей разработки и стремления применить и известные, и полученные мною результаты к решению некоторых задач из области чистой и прикладной математики, а также из области инженерно-технических наук.
Только некоторые первые параграфы из первых глав этой книги представляют собой обработанный для печати материал из моих лекций студентам различных технических институтов, так как я меньше всего занимался преподаванием как раз именно теории дифференциальных уравнений; некоторые главы из середины книги отчасти являются переработкой того, что излагалось мною на лекциях аспирантам Научно-исследовательской кафедры математики в Киеве в 1928–1930 годах и аспирантам при Артиллерийской Академии РККА в Ленинграде в 1933 г.
Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости).
Предложены выводы нелинейных математических моделей, интенсивно изучаемых в последнее время. Представлены алгоритмы анализа особых точек решений дифференциальных уравнений. Обсуждаются свойства точно решаемых нелинейных уравнений. Дано обобщение аналитической теории на случай нелинейных уравнений в частных производных. Представлены методы нахождения аналитических решений нелинейных уравнений. Применение методов проиллюстрировано многочисленными примерами.
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией уравнений Пейнлеве и их высших аналогов.
Книга Крускала посвящена вопросу о сохранении адиабатических инвариантов во всех порядках асимптотического разложения. Рассматривается случай, когда адиабатический инвариант связан с системой уравнений Гамильтона, все решения которых приблизительно периодичны.
Такие уравнения возникают при изучении движения заряженных частиц в магнитном поле, что имеет большое значение для теории магнитных ловушек и космической физики. Доказанные Крускалом теоремы позволяют устанавливать адиабатическую инвариантность во всех порядках, не проводя при этом никаких вычислений в высших порядках.
Книга Крускала полезна для физиков и математиков, занимающихся вопросами, связанными с дифференциальными уравнениями с быстро колеблющимися решениями.
В настоящей работе рассматриваются некоторые задачи теории устойчивости решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из основных методов решения таких задач является метод функции Ляпунова.
Этот метод, данный А. М. Ляпуновым в его работе «Общая задача об устойчивости движения», получил в последнее время широкое развитие в приложении ко многим новым задачам устойчивости. Достаточно полно были решены задачи обоснования метода, выяснены вопросы существования функций Ляпунова, в ряде работ была доказана возможность приложения метода для исследования систем, описываемых аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложение этих вопросов и составляет содержание данной работы.
В книге решаются главным образом общие теоретические вопросы о возможности метода Ляпунова и некоторых других приемов приложения метода к исследованию конкретных задач устойчивости. В первой части (главы I—V) рассматриваются задачи устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В главе I приводится общий обзор метода Ляпунова и обсуждаются приложенные к этим теориям вопросы, в т. ч. задачи построения функций Ляпунова. В главах II—III рассматриваются возможные модификации метода.
Книга посвящена систематическому изложению различных методов теории возмущений, ставших в последнее время основными аналитическими методами решения физических и технических задач. В книге отражены и систематизированы основные идеи и результаты, полученные в этой области советскими и зарубежными учеными.
Автору удалось дать общий подход к решению многих прикладных задач. Наряду с широко известными методами сворачивания асимптотических разложений излагается весьма перспективный метод разномасштабных разложений. Представляет интерес большое количество примеров построения решений для различных систем уравнений.
Книгу можно рекомендовать механикам, физикам, инженерам-исследователям и математикам, интересующимся применением методов теории возмущений для решения прикладных задач. Она также может быть использована как учебное пособие для студентов старших курсов университетов и технических вузов.
Автор книги Лотар Коллатц является известным специалистом в области прикладной математики, относящейся главным образом к задачам технической механики. В данной книге рассматриваются задачи на собственные значения, связанные с проблемой потери устойчивости, упругими колебаниями и др. При этом акцент делается не на физическое, а на математическое содержание задач; особое внимание уделяется вычислительным методам.
Рассмотрение общей теории (функции Грина, интегральные уравнения, теорема разложения, вариационные принципы) проведено в простой форме и содержит ряд оригинальных черт.
Значительное внимание уделяется развитому автором методу последовательных приближений, численной реализации вариационных принципов, задачам для матриц. Излагаются конечно-разностные и другие методы, представляющие интерес для лиц, занимающихся задачами на собственные значения.
В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Представлены следующие разделы: теоремы существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре — Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе.
Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и инженерам, так или иначе соприкасающимся с дифференциальными уравнениями.
Задачу об интегрировании дифференциальных уравнений можно ставить двойным образом: можно, во-первых, выбрав одно какое угодно, но определенное решение рассматриваемого уравнения, искать способы, которые позволили бы вычислить с какой угодно точностью значение этого решения при каком угодно значении независимой переменной, или же, во-вторых, можно поставить себе целью точное отыскание всех возможных решений заданного уравнения при помощи конечного числа уже известных действий или же действий, хотя и новых, но предварительно изученных.
Решая задачу об интегрировании первым из двух указанных способов, мы получаем интегрирование заданного уравнения по приближению; решая вторым способом — приходим к интегрированию в замкнутой форме.
Книга посвящена активно развивающемуся направлению классической механики — теории интегрирования уравнений Гамильтона. Впервые излагается систематический анализ причин неинтегрируемого поведения гамильтоновых систем: сложное строение пространства положений, малые знаменатели, расслоение асимптотических поверхностей, рождение изолированных периодических решений, ветвление решений в плоскости комплексного времени, квазислучайные режимы колебаний.
Изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты обрели характер промышленно значимых примеров из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики.
Для специалистов в области механики и математики, занимающихся теорией динамических систем, студентов и аспирантов университетов.
Те, кому приходилось применять методы математической физики к решению определенных практических задач, вероятно согласятся со мною, что требование довести задачу до числового решения производит своего рода переоценку ценностей.
Методы, которых красота и глубина вызывали прежде справедливое удивление, оказываются бессильными, потому что требуют невыполнимых выкладок. Наоборот, методы, казавшиеся грубыми и тяжелыми, неожиданно оказываются способными дать удовлетворительное решение задачи. Формирование и развитие особого рода методов в борьбе с подобными трудностями дает не редкий пример того, как ограничение односторонности создает отступление. Достаточно упомянуть работы Карла Густава Якоба Якоби.
