Моя библиотека: документы

В различных разделах математики, например, в теории проективных плоскостей, неассоциативных тел, в ряде вопросов комбинаторного анализа и теории функциональных уравнений и т. п., возникает необходимость изучения одного естественного обобщения понятия группы, а именно квазигруппы.

Толчком к развитию теории квазигрупп послужили работы Р. Муфанга (1935 г.) по незарубам проективным плоскостям, в которых выяснялась связь таких плоскостей с квазигруппами, точнее, лупами (т. е. квазигруппами с единицей), носящими теперь ее имя. За последние десятилетия теория квазигрупп и луп получила значительное развитие в работах различных математиков, причем в основном внимание акцентировалось на лупах. Р. Брак, ведущий специалист в этой области, посвятил исследованиям теории луп свой монографический «Обзор бинарных систем» (R. H. Bruck. A survey of binary systems. Springer Verlag, 1958).

Данное учебное пособие является частью курса лекций, которые автор на протяжении ряда лет читает на экономическом факультете Славянского университета РМ. Оно адресовано учащимся лицеев, колледжей и студентам нематематических факультетов университетов, изучающих линейную алгебру.

Подробное изложение рассматриваемого в пособии материала, детальное доказательство всех без исключения теорем, следствий и замечаний сопровождается большим количеством примеров, приводимых с решениями. Все это делает пособие доступным для понимания неподготовленным читателем. Для его чтения достаточно знания лишь элементарной математики.

Данное пособие предназначено для учащихся лицеев, колледжей и студентов нематематических факультетов университетов, изучающих линейную алгебру.

Подробное изложение рассматриваемого в пособии материала, детальное доказательство всех без исключения теорем, следствий и замечаний сопровождается большим количеством примеров, приводимых с решениями. Все это делает пособие доступным для понимания неподготовленным читателем. Для его чтения достаточно знания лишь элементарной математики.

Книга посвящена изложению теории матриц и ее приложениям к теории дифференциальных уравнений, математической экономике, теории вероятностей. Монография написана так, что ее может читать студент, не изучавший ранее линейную алгебру. В книге имеется более 600 задач; многие из них подводят читателя к самостоятельной научной деятельности в области теории матриц. Ценность книги увеличивают приводимые в конце каждой главы обзоры последних оригинальных работ в соответствующей области.

Книга рассчитана на студентов университетов и вузов, на инженеров, физиков, механиков, использующих матричный аппарат. Много привлекательного найдет в ней и математик, интересующийся собственно теорией матриц.

М. Атья — известный тополог и алгебраист, лауреат Филдсовской премии, знаком советскому читателю по русскому переводу его монографии «Лекции по K-теории» («Мир», 1967). «Введение в коммутативную алгебру», написанное им совместно с И. Макдональдом, также основано на курсе лекций.

Эта книга отличается исключительно удачным подбором материала, изложенного современно, лаконично и с предельной ясностью. Разобрав все доказательства и потренировавшись на многочисленных упражнениях, читатель овладеет основами коммутативной алгебры, равно необходимыми специалистам по топологии, теории чисел, функциональному анализу, алгебраической геометрии, теории функций комплексного переменного и многим другим.

Книга, несомненно, представляет интерес для математиков различных специальностей, от студентов до научных работников.

Напомним некоторые необходимые определения.
Определение 1.1. Множество G с бинарной операцией умножения xy называется группой, если

1. умножение ассоциативно, т.е. (xy)z = x(yz) для всех x, y, z ∈ G;
2. существует такой элемент 1 ∈ G, называемый единицей G, что x1 = 1x = x для всех x ∈ G;
3. для любого элемента x ∈ G найдётся такой элемент x⁻¹, называемый обратным к x, что xx⁻¹ = x⁻¹x = 1.

В учебном пособии излагаются все вопросы раздела «Линейная алгебра», предусмотренные программой курса «Высшая математика» для инженерно-технических специальностей вузов.

Содержится большое количество задач для самостоятельного решения. Пособие предназначено для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах).

При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь излагаемый материал представляет в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предъявляет от читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математического кружка.

Книга Уокера является введением в алгебраическую геометрию в той её части, которая связана с кривыми линиями. Две первые главы содержат все сведения из алгебры и проективной геометрии, необходимые для дальнейшего чтения книги, и делают её доступной студенту второго курса университета.

В третьей главе рассматриваются вопросы, связанные с особыми точками и точками пересечения алгебраических кривых. В последнем параграфе этой главы доказывается, что любая алгебраическая кривая квадратическими преобразованиями может быть обращена в кривую, имеющую лишь кратные точки с различными касательными. Четвёртая глава посвящена степенным рядам и их приложениям.

Здесь полностью решается вопрос об определении кратности точек пересечения алгебраических кривых, доказывается в полном объёме теорема Безу о числе точек пересечения двух кривых. Заканчивается эта глава теоремой Нётер о кривой, проходящей через все точки пересечения двух данных кривых.

Пятая глава содержит изложение вопросов, связанных с рациональными и бирациональными преобразованиями. В этой же главе рассматриваются проективные кривые, определяемые дробно-рациональными функциями, теоремы о функциональной группе кривой. Завершается глава темой о круге идей, связанных с бирациональными инвариантами кривой.

Целью этого тома является изложение современных алгебраических методов, полезных при исследованиях в области бирациональной геометрии алгебраических многообразий. Подобное изложение уже опубликовано Вейлем в его книге 9. Когда будут опубликованы лекции Зарисского, прочитанные в Коллоквиуме Американского математического общества в 1947 г., станет доступным еще одно полное изложение этой области геометрии.

Оправданием появления третьей работы, посвященной тому же предмету, служит то, что этот том предназначен для другой категории читателей. Он предназначен для читателя, хорошо знакомого с классическими методами алгебраической геометрии, желающего овладеть новыми мощными методами, которые дает современная алгебра, и в то же время выяснить, что представляют собой эти методы с точки зрения привычных ему понятий. Таким образом, данное издание в первую очередь посвящено методам, а не получению оригинальных результатов и не изложению единой теории многообразий.

В этом томе излагаются основные методы теории алгебраических многообразий в n-мерном пространстве. В нем даются также приложения этих методов к некоторым из наиболее важных многообразий, используемых в проективной геометрии.

Первоначально мы предполагали изложить также арифметическую теорию многообразий и основы бирациональной геометрии, но оказалось более удобным оставить эти разделы для третьего тома. Поэтому теория алгебраических многообразий, развитая в этом томе, является в основном теорией многообразий в проективном пространстве.

Геометрия алгебраических многообразий высших размерностей является естественным развитием теории алгебраических кривых и поверхностей. Ее можно рассматривать также как геометрическую теорию систем алгебраических уравнений или как геометрический аспект теории алгебраических функций. Ввиду такой многогранности предмета изучения, алгебраическая геометрия чрезвычайно богата связями с самыми различными отраслями математики, причем связи эти возникают как в постановках вопросов, так и в используемых методах.

История алгебраической геометрии своеобразна в том отношении, что в ней накопление фактического материала намного опережало «наведение порядка» в смысле достижений надлежащей строгости. Разрыв здесь настолько значителен, что до сих пор не исчезли сомнения в правильности многих утверждений и не прекратились дебаты о том, достаточно ли или нет имеющихся доказательств. Все это, конечно, крайне затрудняет изучение алгебраической геометрии по имеющейся литературе.

Настоящая книга предназначена в качестве учебника по аналитической геометрии для студентов механико-математических, физических и физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов. Наличие в книге задач с решениями и задач для самостоятельного решения (с ответами) позволяет использовать заочниками эту часть книги как материал семинарских занятий.

Помимо традиционного материала по аналитической геометрии в книге дано понятие о линейном пространстве и линейном многообразии. Линейное отображение определяется как коллинеация, при которой сохраняется простое отношение и положение собственных векторов. Дана метрическая теория инвариантов в аффинной системе. Рассмотрены кривые и плоские сечения поверхностей второго порядка. Проективные координаты и теоремы Дезарга, Паскаля и Брианшона даны в дополнении. В основном тексте — только однородные координаты.

Работы выдающегося французского математика Ж.-П. Серра хорошо знакомы советскому читателю по русскому переводу его книг: «Алгебраические группы и поля классов», «Когомологии Галуа» («Мир», 1968), «Алгебры Ли и группы Ли» («Мир», 1969), «Линейные представления конечных групп» («Мир», 1970), «Курс арифметики» («Мир», 1972).

Его новая книга, посвященная арифметике алгебраических (в особенности абелевых) многообразий в тех её аспектах, которые связаны с дзета-функциями, автоморфными функциями и теорией Галуа, написана с присущим этому автору мастерством. Она, несомненно, представляет интерес для математиков, и в первую очередь для специалистов по теории чисел, алгебре и топологии.

Цель этого пособия состоит в том, чтобы помочь студентам первого курса математического и физического факультетов при изучении раздела “Векторная алгебра” курсов “Аналитическая геометрия”, “Геометрия”, “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”.

Вместе с предельно кратким изложением теоретического материала пособие содержит приемы решения типовых задач, знание которых является необходимым условием понимания курса. В стандартных учебниках этим приемам не уделяется должного внимания. Часть задач снабжена решениями, часть — ответами.

Римана — Роха. С одной стороны, она позволяет продемонстрировать технику вычислений с когерентными пучками, не требуя слишком детального изучения локальных свойств морфизмов или проблем представимости функторов (на что у меня не было времени). С другой стороны, она наиболее близка к классической проблематике и явно открыта для дальнейшего прогресса.

Будучи фундаментом “численных методов” в алгебраической геометрии и теории схем, K-теория доставляет необходимый аппарат для исследования структуры колец Чжоу, задач об алгебраических циклах или проблем бирациональной геометрии.

Эта теория представлена в предлагаемых записях лекций второго года. Читатель, для которого лекции 2 окажутся недоступными, сможет понять эти записи, ознакомившись с литературой, указанной в п. а) (см. в особенности 3, 4).

В 1986-1988 гг. автор прочел на механико-математическом факультете МГУ двухгодовой курс лекций по алгебраической геометрии. Материал первого года был размножен на ротапринте 2, материал второго года был опубликован в “Успехах математических наук” 5. Оба эти издания сохранили отпечаток лекционного курса, с его преимуществами и недостатками.

Предлагаемая книга отличается небольшим и стольным силу трудовой главой задуманного учебника по алгебраической геометрии. Она уже включает для обозрения материал многих лекций 2, значительно расширенных и переработанных.

Предлагаемая книжка содержит прежде всего краткий, но очень ощупчивый очерк основных понятий теории схем и техники когомологий когерентных пучков на них. Далее, эта техника применяется к теории кривых и поверхностей, для которых строятся схемы Пикара и доказывается ряд фундаментальных алгебро-геометрических фактов.

Книга трудна, но написана очень живо и на редкость содержательно. В немногочисленной монографической литературе по современной алгебраической геометрии она занимает особое место: по ней можно изучать содержательные результаты, хотя предварительные требования к читателю достаточно высоки.

Вопросы векторной алгебры составляют обязательный раздел курса аналитической геометрии, читаемого студентам физико-математических факультетов пединститутов. Важность этого раздела определяется тем, что многие вопросы аналитической геометрии успешно описываются средствами векторной алгебры, а также и тем, что на базе векторной алгебры строится векторный анализ, широко применяемый в курсах дифференциальной геометрии, общей и теоретической физики, теоретической механики.

Кроме приложений к обязательным курсам, векторная алгебра с успехом может быть использована при решении различных задач элементарной геометрии. Последнее обстоятельство усиливает роль векторной алгебры при подготовке учителя математики и физики средней школы.

Исходя из этого, была предпринята попытка выделить векторную алгебру из курса аналитической геометрии при составлении задачника-практикума по этому курсу. Мы надеялись, что такая методика изучения векторного анализа улучшит теоретическую и профессиональную подготовку студентов.

Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые автор читал в начале нулевых годов на радио-физическом факультете Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина.

Автор хотел написать учебник «как лучше», и ему трудно судить, удалось ли это. Зато с уверенностью можно сказать, что получилось не «как всегда», хотя рассматриваемые темы вполне традиционные: векторные и евклидовы пространства, линейные отображения и матрицы, определители, системы линейных уравнений и аналитическая геометрия.

Есть, по крайней мере, два важных отличия этого учебника от большинства подобных курсов. Во-первых, автор стремился получить все результаты в многомерном случае, хотя всегда подробно обсуждаются двух- и трехмерные случаи. Особенно это относится к аналитической геометрии.

В теории классовых групп, которая ведет начало от классических работ Ф. Клейна и А. Пуанкаре, в последнее время достигнут значительный прогресс. Однако на русском языке нет книг, посвященных изложению современного состояния этой теории.

Перевод работы американского математика Ирвина Кра восполняет указанный пробел. Наряду с новыми достижениями в книге изложены и многие классические результаты теории римановых поверхностей. Книга хорошо написана, доступна для начинающих и требует от читателей лишь знакомства с основным курсом комплексного анализа и элементами топологии.

Настоящее пособие имеет своей целью дать изучающим его, главным образом студентам вузов и втузов, необходимые сведения по векторному исчислению для того, чтобы можно было в дальнейшем изучать векторным способом другие дисциплины, как, например, теоретическую механику, гидромеханику, теорию электричества.

Курс снабжен большим количеством задач геометрического и элементарно-механического характера, помогающих лучшему усвоению понятий и методов векторного исчисления.

В настоящее издание включена новая глава VII, посвященная пространствам Минковского и основам специальной теории относительности.

Эта глава в известной мере примыкает к главам V и VI, где излагаются проективная геометрия и теоретико-групповые вопросы, но по существу ее изложение построено независимо от остального материала книги (в ней используются лишь готовые результаты главы V для доказательства линейности преобразований Лоренца). Что касается других разделов, то они, в основном, остались без изменений, если не считать местных исправлений и улучшений (которых, однако, довольно много).

Автор выражает благодарность Нгуен Кан Тоану (Вьетнам), И. А. Вайнштейну и А. М. Заморзаеву за полезные замечания и рекомендации к четвертому изданию.

В настоящем издании произведены следующие изменения:

1. Значительно сокращена глава 6, посвященная общему уравнению линии второго порядка. Дело в том, что приведение к каноническому виду такого уравнения само по себе является вполне простой задачей; кроме того, эта задача не настолько часто встречается, чтобы имело смысл запоминать для нее готовые формулы. Поэтому здесь достаточно разъяснить сущность метода, что и сделано.

2. В конце главы 8 добавлены два небольших пункта о разложении вектора по косому базису.

3. Несколько упрощено изложение отдельных мест главы 13.

4. Исключен материал, содержащийся в §§ 77—81 предыдущего издания (приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка).

Геометрическая теория инвариантов — одна из наиболее популярных и интенсивно развивавшихся областей математики XIX в. Ее достижения связаны с именами таких математиков, как Якоби, Клебш, Кази Гильберт. Забытая надолго, эта теория возродилась в наше время на новом уровне в связи с бурным развитием алгебраической геометрии.

Ведущая роль здесь принадлежит известному американскому математику Д. Мамфорду. Предлагаемая вниманию читателей книга состоит из перевода лекций одного из крупнейших французских математиков Ж. Дьевдоне (оформленных по записям сотрудников Ж. Керрнона), содержащих обзор классической теории инвариантов и краткое введение в теорию Д. Мамфорда, а также перевода части книги Д. Мамфорда по геометрической теории инвариантов, с приложением полного доказательства его результатов.

Книга представляет несомненный интерес для специалистов по алгебраической геометрии, теории инвариантов и теории групп Ли, а ее первая часть доступна более широкому кругу читателей, включая студентов-математиков и физиков старших курсов.

Книга известного немецкого геометра В. Клингенберга и его учеников Д. Громола и В. Мейера посвящена основным вопросам римановой геометрии в целом. Написанная на современном уровне, книга тем не менее читается легко и может служить учебным пособием по римановой геометрии, что особенно ценно ввиду отсутствия соответствующей литературы. Вместе с добавлением В. А. Топоногова она дает обзор последних достижений и проблем этой области математики.

Большое число задач помогает глубже усвоить материал и облегчает самостоятельное изучение предмета. Книга представляет интерес для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников математических специальностей.

Эта книга представляет собой учебник аналитической геометрии В ее традиционном понимании, написанный на основании лекций, которые я в течение многих лет читал в Московском университете и которые пополнены, как это и сказано в заглавии, необходимыми сведениями из алгебры.

Книгу эту, предназначенную для университетских студентов-первокурсников, я старался писать так, чтобы она была доступна каждому студенту — при единственном условии, что он вообще склонен к математике и желает серьезно заниматься ею.

Из вещей, не входящих в программу средних классов общеобразовательной школы, эти «Лекции» предполагают лишь знание комплексных чисел, так что книга может служить и целям самообразования; я думаю, что она доступна всем тем учащимся старших классов средней школы, которые любят математику, интересуются ею и готовы шаг за шагом ее изучать, не стремясь во что бы то ни стало начинать это изучение с постижения так называемых «последних слов науки».

Книга входит в серию “Математика. Новое в зарубежной науке” Выпуск которой начинается издательством “Мир”. Она представляет собой перевод статьи из журнала “Акта математика”, излагающей последние достижения Ф. Гриффитса и его учеников по многомерной теории распределения значений.

Геометрический подход и удачное использование современной техники потоков позволили авторам освободиться от громоздких выкладок, характерных для прежних попыток построения многомерных аналогов невзаимнолинейной теории мероморфных функций. Это привело их к красивой содержательной теории.

В книге кратко описаны применяемые методы, и ее можно читать независимо от других работ на эту тему. Она интересна математикам различных специальностей — аналитикам, геометрам, алгебраистам — и доступна студентам старших курсов математических факультетов.

О содержании и целях книги. Настоящая книга не имеет целью охватить всё учение о выпуклых многогранниках. Она посвящена в основном вопросу о том, какие данные и в какой степени могут определять выпуклый многогранник.

Для всяких данных, относящихся к многограннику, как длины рёбер, площади граней и т. п., указанный вопрос распадается на два.

Во-первых, мы спрашиваем, определяют ли эти данные многогранник однозначно с точностью до движения или иного тривиального преобразования (отражения, параллельного переноса, подобия), подобно тому как длины сторон определяют треугольник с точностью до движения, а углы — с точностью до подобия.

На такой вопрос отвечают общие теоремы о единственности выпуклого многогранника с теми или иными данными, единственности с точностью до движения или иного тривиального преобразования.

В этой книге описан математический аппарат Позволяющий оцифровывать перемещения твердых тел в трехмерном пространстве и на этой основе решать задачи формообразования и механического расчета криволинейных пространственных конструкций. Объектами описанного математического аппарата являются кватернионы и бикватернионы, но по ряду причин не нашедшие достойного применения при решении технических задач.

Это отчасти объясняется тем, что кватернионы и бикватернионы не изучаются в технических вузах и трактуются как гиперкомплексные числа, не понятные инженеру. Автор попытался в книге изложить материал языком, привычным для инженера, даже не упоминая о гиперкомплексных числах. Книга построена как расширенное справочное пособие по векторам, кватернионам и бикватернионам, с полным доказательством приведенных утверждений и выводов, а также пояснений, необходимых для понимания.

Приводятся примеры применения кватернионов и бикватернионов в кинематике твердого тела, сферической геометрии, механике гибких валов, расчете изделий из первоначально мягкого проволочного, в общем, пространственных криволинейных стержней. Книга предназначена для студентов, инженеров и научных работников, желающих по-новому подойти к формообразованию и расчету пространственных конструкций с сложной криволинейной геометрией, а также специалистов, занимающихся программированием трехмерной графики и компьютерной анимацией.

Геометрические знания составили основу всей точной науки, а самобытность геометрии Лобачевского — зарю самостоятельного развития наук в России.

Посев научный взойдет для жатвы народной.

Настоящая книга является переводом существенно переработанного Ф. Лёшем издания широко известного во всем мире справочника Е. Янке и Ф. Эмде. Она является совершенно особой энциклопедией по специальным функциям: содержит их определения и множество формул, 73 таблицы и 210 оригинальных чертежей и графиков, представляющих особую ценность.

Таблицы дают достаточную для многих прикладных вопросов точность и удобны в обращении, а чертежи ярко иллюстрируют качественную сторону поведения функций (как в действительной, так и в комплексной областях). Обилие материала и тщательность его обработки делают книгу необходимым подручным пособием для специалистов в области механики, физики, техники. Она будет очень полезна студентам вычислительных специальностей и инженерно-техническим работникам, встречающимся в своей практической деятельности с многочисленными расчетами.

В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы. Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений.

Приведены точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в различных областях механики и физики. Приложения содержат таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также таблицы интегральных преобразований Лапласа, Меллина и др.

Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.

Справочник содержит более 2100 интегральных уравнений с решениями. Особое внимание уделено уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных функций или содержат много свободных параметров. Приведено много новых точных решений линейных и нелинейных уравнений.

В целом в справочнике описано на порядок больше конкретных интегральных уравнений, чем в существующих книгах других авторов. Рассмотрен ряд интегральных уравнений, которые встречаются в различных областях механики и теоретической физики (теории упругости, теории пластичности, теории массo- и теплопереноса, аэро- и гидродинамике, теории колебаний, электродинамике и др.).

Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях математики, механики, физики, химии и биологии.

Неопределенные интегралы — наиболее употребительные формулы высшей математики. Самые разнообразные вопросы математики и ее приложений к технике, естествознанию, экономике, статистике и т. д. приводят к вычислению того или иного интеграла.

Комплект готовых интегралов нужен инженерам, техникам, экономистам, научным и практическим работникам самых разнообразных специальностей. Он необходим и студентам вузов и техникумов.

Справочник М. Л. Смолянского содержит около 1300 интегралов, выпускается небольшим форматом и приспособлен для быстрого отыскания нужной формулы. Во втором издании изменено расположение таблиц и выправлены замеченные опечатки.

Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Г. Корн, Т. Корн. «Справочник» содержит сведения по следующим разделам: высшая алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, математический анализ (включая интегралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные координаты, функции комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление, абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы и теория представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и математическая статистика, численные методы анализа, специальные функции.

В настоящем издании заново написаны главы 11, 20 и значительная часть глав 13 и 18. Книга пополнилась значительным количеством новых разделов.

В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы.

Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений. Приведены некоторые точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в приложениях (в механике и физике).

Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.

«Справочник по обычным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890—1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе.

Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют более точно решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими.

В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее, возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, — около 1650 уравнений с решениями — сохраняет большое значение и сейчас.

Книга Э. Камке является единственным в мировой литературе справочником по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для одной неизвестной функции. В ней дается конспективное изложение важнейших разделов теории и собрано около 500 уравнений с решениями.

Книга предназначена для широкого круга научных работников и инженеров, сталкивающихся в своей практической деятельности с дифференциальными уравнениями. Значение этого справочника особенно велико в связи с тем, что в настоящее время на русском языке нет книги, в которой бы всесторонне и полно освещалась теория вопроса.

Книга представляет собой большое собрание интегралов и формул (около 12 000), относящихся к элементарным и специальным функциям. В четвертом издании значительно расширены разделы, посвященные неопределенным и определенным интегралам от элементарных функций и определенным интегралам от специальных функций.

Включены интегралы от специальных функций, отсутствовавшие в предыдущем издании. В связи с этим главы, относящиеся к специальным функциям, дополнены необходимыми разделами. Глава об интегральных преобразованиях, имевшаяся в третьем издании, исключена. Ее материал размещен в других частях книги.

Книга предназначена для научно-исследовательских институтов, лабораторий, конструкторских бюро и научных работников в области математики, физики, техники.

Настоящий выпуск серии «Справочная математическая библиотека» посвящен интегральным преобразованиям и операционному исчислению. В первой части изложены основы теории интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Меллина, Бесселя, Ханкеля, Мейера, Конторовича — Лебедева и др.

Особое внимание уделено преобразованию Лапласа и его применению к математическому анализу. Операционное исчисление излагается на основе теории Микулинского с некоторыми её видоизменениями. Указывается, как оно связано с преобразованием Лапласа, и приводятся примеры реализации конкретных операторов.

Вторую часть составляют таблицы интегральных преобразований (косинус- и синус-преобразования Фурье, преобразования Лапласа, Меллина, Ханкеля, Конторовича — Лебедева и Мейера — Фока). Представленные таблицы были использованы в справочных руководствах и работах, опубликованных в периодической литературе. Некоторые результаты публикуются впервые. Книга предназначена для математиков, физиков, инженеров, интересующихся вопросами прикладной математики.

Книга содержит весьма подробные таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также большое число других математических формул: разложения в ряды, тригонометрические и другие тождества, справочный материал по специальным функциям.

В настоящем издании учтены все дополнения и исправления, внесенные в четвертое американское издание, и исправлены замеченные опечатки.

Эта книга составляет продолжение Справочника по элементарной математике того же автора и включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших технических учебных заведений (механико-машиностроительных, строительных, авиационных, транспортных, электротехнических, энергетических и горнометаллургических).

Книга имеет двоякое назначение.

Во-первых, она дает фактическую справку: что такое векторное произведение, как найти поверхность тела вращения, как разложить функцию в тригонометрический ряд и т. п. Соответствующие определения, теоремы, правила и формулы, сопровождаемые примерами и практическими указаниями, находятся быстро; этой цели служат детальная рубрикация и подробный алфавитный указатель.

Этот справочник имеет двоякое назначение.

Во-первых, здесь можно навести «моментальную» справку: что такое общий наибольший делитель, что такое тангенс и т. п., как вычислить процент, как построить правильный пятиугольник и т. п.; каковы формулы для корней квадратного уравнения, для объема усеченного конуса и т. п. Все определения, правила, формулы и теоремы сопровождаются примерами; при этом особое внимание уделяется примерам практического характера. Всюду, где это требуется, указывается, в каких случаях и как надо применять то или иное правило, каких ошибок надо избегать и т. п.

Во-вторых, этот справочник, по замыслу автора, мог бы служить общедоступным пособием для повторения курса элементарной математики и даже для первого ознакомления с ее практическими применениями.

В указатель вошли названия всех статей «Математической энциклопедии» (они набраны жирным шрифтом), понятия (термины), определения которых приведены в статьях, а также упоминаемые в статьях наиболее важные результаты. Следом за термином даны указания на номер тома (также набранный жирным шрифтом) и номер столбца.

Указатель составлен строго по алфавиту, первые повторяемые термины заменены знаком тире. Названия статей и термины даны, как правило, в единственном числе и лишь некоторые из них во множественном. Так как от этого зависит место статьи (термина) в алфавите, следует иметь в виду оба варианта.

Составитель указателя Н. Г. Дрожжина.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Одно из основных понятий теории вероятностей. Роль понятий случайной величины (С. В.) и ее математического ожидания впервые ясно оценил П. Л. Чебышев (1867, см. 1). Понимание того факта, что понятие С. В. есть частный случай общего понятия функции, пришло значительно позже. Полное и свободное от всяких излишних ограничений изложение основ теории вероятностей на основе теории меры дано А. Н. Колмогоровым (1933, см. 2); оно сделало совершенно очевидным, что С. В. есть ни что иное, как измеримая функция на каком-либо вероятностном пространстве. Это обстоятельство весьма важно учитывать даже при первоначальном изложении теории вероятностей.

В учебной литературе эта точка зрения, последовательно проведенная впервые У. Феллером (см. предисловие к 3), где изложение строится на понятии пространства элементарных событий и подчеркивается, что лишь в этом случае представление о С. В. становится содержательным.

ОКА ТЕОРЕМЫ - Теоремы о классических проблемах теории функций многих комплексных переменных, впервые доказанные К. Ока в 1930–1950 гг. 1) Ока теорема о Кузена проблемах: - Первая проблема Кузена разрешима в любой области голоморфности в Сⁿ; - Вторая проблема Кузена разрешима в любой области голоморфности D ⊆ Сⁿ, гомеоморфной D₁ × … × Dₙ, где все области Dᵥ ⊆ С, кроме, возможно, одной, односвязны.

Числа, величины, по которым находится (определяется) положение какого-либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве M), например, на плоскости, поверхности, в пространстве, на многообразии.

В ряде разделов математики и физики координаты именуются по-другому, например, координаты элемента (вектора) векторного пространства называются его компонентами, координаты в произведении множеств — проекциями на один из его множителей, в теории относительности системы координат — это системы отсчета и т. п.

Часто встречается ситуация, когда ввести достаточно разумные и удобные координаты глобально на всем множестве невозможно (например, точка сферы в отличие от плоскости нельзя взаимно однозначно и непрерывно связать с парами чисел), и тогда вводят понятие локальных координат. Таково, например, положение в теории многообразий.

Д’АЛАМБЕРА ОПЕРАТОР Волновой оператор, даламбертин — дифференциальный оператор второго порядка, имеющий в декартовых координатах вид…

АБАК - 1) Счетная доска, применявшаяся для арифметических вычислений в Древней Греции, Риме, затем в Западной Европе — до XVIII века. Доска разделялась на полосы, счет осуществлялся передвижением находящихся в полосах счетных марок (костяшек, камней и т. п.). В странах Дальнего Востока распространен китайский аналог абака — суан-пан, в России — счеты. 2) В номографии — особый чертеж (т. н. счетная номограмма).