Моя библиотека: документы

Одним из впечатляющих достижений С. Ли (1842—1899) явилось открытие, что известные частные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, казавшиеся искусственными и лишенными внутренней связи, могут быть выведены единообразно при помощи теории групп.

Настоящая брошюра поможет читателю освоиться с совокупностью знаний и навыков по групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений. Она может служить в качестве краткого практического руководства для широкого круга научных работников, преподавателей и студентов.

Групповой анализ служит для описания свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп преобразований. Он дает практические методы понижения порядка или полного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и построения отдельных классов точных решений линейных и нелинейных уравнений математической физики.

Настоящая брошюра включает фрагменты курса лекций по групповому анализу, читаемого автором в Московском физико-техническом институте.

Спецкурс-2 продолжает изложение основ современного группового анализа и посвящен точечным группам преобразований (как непрерывным, так и дискретным), допускаемым обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. Этот материал отсутствует в основной программе физико-математических факультетов педагогических университетов.

Спецкурс-2 может быть прочитан студентам (начиная со второго семестра третьего курса, в том числе и студентам тьюторских групп), стажерам, аспирантам первого года обучения, слушателям ФПК, а также всем специалистам смежных и прикладных специальностей, интересующимся групповым анализом.

В монографии рассматриваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и вообще анализ и классификация решений дифференциальных уравнений. Здесь читатель найдет и новые методы исследования, и новые задачи, не встречающиеся в литературе.

В третьем издании расширена и использована при исследовании качественных вопросов глава «Теория подвижных особых точек в вещественной области», новации по методам и результатам и имеющая как теоретическое, так и прикладное значение. Шире рассматриваются в новом издании и вопросы качественной теории и методы обнаружения и построения периодических решений в области центральных и изолированных периодических решений. Добавлена и новая XIV глава «Фрагменты из элементарной конструктивной теории периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений».

Книга рассчитана на математиков, физиков и инженер-теоретиков. Она будет полезна и студентам старших курсов механико-математических и физических факультетов.

В настоящем спецкурсе (спецкурс-1) излагаются вводные понятия и теоремы, необходимые для изучения современного группового анализа, но отсутствующие в основной программе физических и математических факультетов педагогических университетов.

Спецкурс-1 может быть прочитан студентам (начиная с третьего курса, в том числе и студентам тьюторских групп), стажерам, аспирантам первого года обучения, слушателям ФПК, а также всем специалистам смежных и прикладных специальностей, интересующимся групповым анализом.

В работе показана роль метода Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений.

Развивается метод применения аппарата Лаппо-Данилевского и аналитической теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к теории систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими вещественными коэффициентами.

В этой книге рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений (частично и нелинейные) с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Даются методы доказательства существования и построения ограниченных, неограниченных и периодических решений таких систем дифференциальных уравнений.

Показана роль в этом аналитической теории линейных систем дифференциальных уравнений и методов, развитых Ляпуновым и Лаппо-Данилевским (теория функций от матриц). Используются многие идеи и методы А. М. Ляпунова.

Книга рассчитана на широкий круг математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов математических факультетов, а также физиков и инженеров.

Определение производной от данной функции составляет прямую задачу вычисления бесконечно-малых величин. Общий вопрос обратной задачи вычисления бесконечно-малых состоит в том, чтобы определить одну или несколько функций одного или нескольких переменных без данных соотношений между независимыми переменными, функциями и их производными.

Пусть имеется ряд независимых переменных: x₁, x₂, x₃, …, xₙ и ряд функций этих переменных: y₁, y₂, y₃, …, yₘ. Соотношения, о которых идет речь, имеют вид: P(x₁, x₂, …, xₙ, y₁, y₂, …, yₘ, ∂y₁/∂x₁, ∂²y₁/∂x₁², …, ∂²yₘ/∂xₙ², …, ∂yₘ/∂xₙ) = 0 и называются дифференциальными уравнениями; порядок наивысшей производной называется порядком уравнения.

Книга посвящена изучению интересного и сложного пути развития одной из важнейших отраслей математического анализа прошлого и начала настоящего века — аналитической теории дифференциальных уравнений.

Она состоит из двух основных частей, рассматривающих теорию нелинейных и линейных уравнений. Особое внимание в первой части уделено методу мажорантных функций, доказательству теоремы существования решений дифференциальных уравнений, классификации особых точек и исследованию уравнений с неподвижными и подвижными особыми точками; во второй — аналитическому выражению интегралов уравнений, их асимптотическому представлению, проблеме обобщения решений дифференциальных уравнений, определению дифференциального уравнения по заданным свойствам (проблема Римана), алгоритмическому методу решения основных проблем аналитической теории линейных дифференциальных уравнений.

Рассчитана на широкий круг математиков, преподавателей высшей и средней школы, аспирантов и студентов старших курсов высшей школы по математическим специальностям и всех любителей истории математики.

Второе издание «Лекций» в основном воспроизводит текст вышедшего в 1941 г. первого издания. Внесено несколько незначительных дополнений и исправлены замеченные опечатки.

Моим товарищам по научной и педагогической работе и моим слушателям приношу глубокую благодарность за ряд исправлений и уточнений в тексте, которые были ими указаны.

Систематически излагаются основы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые смежные вопросы.

В дополнении излагаются основы теории почти периодических функций и их приложения к дифференциальным уравнениям. Включены дополнительные сведения к втузовскому курсу высшей математики.

Проблемы устойчивости и стабилизации по отношению к части переменных — части координат фазового вектора динамических систем, а также управления по части переменных (включая игровые задачи управления по части переменных в условиях неопределенности или конфликта), являются междисциплинарными и естественным образом возникают в приложении. Теория и методы исследования таких задач за последние годы получили существенное развитие.

В книге сделана попытка систематизации проведенных исследований и осмысления накопленного в данной области научного потенциала. Значительное внимание уделяется приложениям теории к решению прикладных нелинейных задач устойчивости, стабилизации и управления по части переменных из различных областей науки и техники, а также к решению нелинейных задач устойчивости по всем переменным и построению робастных законов управления нелинейными системами в условиях неопределенности.

Книга написана в доступной, но в то же время достаточно строгой форме: приводится обширная библиография работ в рассматриваемой области. Потенциальный круг читателей достаточной широк: научные работники, преподаватели, инженеры, студенты и все, кто интересуется современной прикладной математикой.

В монографии рассмотрены методы нахождения полиномиальных и целых трансцендентных решений алгебраических дифференциальных уравнений.

Книга рассчитана на научных работников и аспирантов, занимающихся общей и аналитической теориями дифференциальных уравнений. Также может быть использована при чтении специальных курсов по дифференциальным уравнениям и их приложениям.

Книга посвящена актуальным вопросам теории нелинейных уравнений с аналитическими операторами, зависящими от числового или функционального параметра. В ней излагаются методы отыскания всех решений нелинейного уравнения, отвечающих от известного решения этого уравнения при изменении параметра. Такие математические задачи возникают при изучении различных вопросов механики и современной техники.

Методы, изложенные в книге, тесно связаны с давно известным в механике методом малого параметра, причем в наиболее важных для приложений случаях доказывается и сходимость этого метода.

Значительная часть книги посвящена вопросам, не излагавшимся до сих пор в монографиях.

Труды американского математика В. Вазова уже известны советскому читателю (Вазов В., Форсайт Д. “Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных”, ИЛ, 1963). Настоящая его книга посвящена методам асимптотических разложений для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы могут быть использованы во многих задачах механики, электроники, астрофизики и др.

Монография содержит много примеров и задач для самостоятельного решения, а также обширную библиографию.

Книга представляет интерес как для математиков, так и для физиков, механиков и инженеров-исследователей. Она может быть использована как учебное пособие для студентов старших курсов университетов и технических вузов.

Настоящее издание этой книги по сравнению с первым изданием, вышедшим в 1955 г. под тем же названием, имеет следующие отличия. - Систематизирован и облегчён ряд разделов, связанных с методом гармонического баланса. - Заново переработан параграф, посвящённый рассмотрению «резонансных» случаев. - Расширено содержание последней главы, посвящённой вопросам математического обоснования асимптотических методов.

Изложение книги дополнено новой главой, посвящённой рассмотрению одночастотных колебаний в системах со многими степенями свободы, а также более подробным изложением метода построения асимптотических параметров, который в настоящее время весьма широко используется в практике. Кроме того, в настоящее издание внесены различные более мелкие дополнения, уточнения и исправления, о которых мы не упомянули.

В связи с изменением объёма книги авторам пришлось изменить также принятую ранее нумерацию глав и параграфов. При подготовке второго издания авторы стремились учесть ценные замечания, сделанные им рядом лиц и организаций, которым они выражают свою признательность. Авторы также благодарят аспиранта О.Б. Линькова за помощь при подготовке к печати настоящего издания.

В книге представлены развитые автором методы факторизации, автономизации и точной линеаризации, которые в совокупности вместе с методами группового анализа и дифференциальной алгебры позволяют создать целостную картину для изучения и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Это дает возможность конструктивно исследовать нелинейные и нестационарные задачи естествознания и, прежде всего, задачи механики и физики.

Она может представить интерес для специалистов по дифференциальным уравнениям и математической физике, по групповому анализу, вычислительной и прикладной математике, математическому моделированию и компьютерной алгебре, теоретической и небесной механике, а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей.

Изложен курс лекций по методу функций Ляпунова, прочитанный в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени университете им. В. И. Ленина. Основное внимание уделено методам построения функций Ляпунова для нелинейных систем. Приводятся методы оценки области притяжения, оценки решений, времени регулирования, интегральных критериев качества регулирования.

Излагаются достаточные критерии асимптотической устойчивости в целом, критерии абсолютной устойчивости. Приведено большое количество функций Ляпунова для нелинейных систем второго и третьего порядков. Рассмотрен случай, когда нелинейности зависят от двух координат точек фазового пространства. Исследуется также проблема построения векторных функций Ляпунова для сложных систем.

Для понимания материала необходимо знать курс математики в объеме вузовской программы.

Книга может быть рекомендована всем интересующимся конкретными приложениями теории устойчивости.

В этой работе описаны основные принципы, задачи и методы классической механики. Основное внимание уделено математической стороне предмета. Хотя физическая основа рассматриваемых моделей, а также прикладные аспекты изучаемых явлений затронуты в значительно меньшей степени, авторы стремились изложить в первую очередь “рабочий” аппарат классической механики.

Этот аппарат содержится, в основном, в главах 1, 3, 4 и 5. - Глава 1 посвящена основным математическим моделям классической механики, которые обычно используются для описания движения реальных механических систем.

Особое внимание уделено изучению движения со связями, а также вопросам реализации связей в динамике. - Глава 3 обсуждает группы симметрий механических систем и отвечающие законам сохранения. Там же изложены иные аспекты теории инвариантности порядка систем с симметриями, часто использующиеся в приложениях.

Выпускаемая в русском переводе книга Айнса (E. L. Ince) представляет ценный вклад в нашу математическую литературу. Книга состоит из 21 главы и разделена на две части.

• В первой части рассматриваются дифференциальные уравнения в вещественной области,
• Во второй — в комплексной области. Начинается книга с рассмотрения элементарных методов интегрирования, после чего следуют две главы о существовании и природе решений и непрерывных группах преобразований. Далее, после изложения общей теории линейных дифференциальных уравнений, автор переходит к алгебраической теории линейных дифференциальных систем, теории Штурма-Лиувилля и связанной с ними общей теории граничных проблем.

Настоящая книга была начата в 1949 году А. А. Андроновым совместно с Е. А. Леонтович и А. Г. Майером и после смерти А. А. Андронова (в 1952 г.) и А. Г. Майера (в 1951 г.) дописана Е. А. Леонтович и И. И. Гордонoм. Окончательный вариант принадлежит Е. А. Леонтович.

Книга содержит, во-первых, классические результаты по качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости, в основном принадлежащие Пуанкаре и Бендиксону, и, во-вторых, некоторые новые результаты, непосредственно по своему содержанию примыкающие к этим классическим результатам (см. гл. VII - XI).

Книга является, с одной стороны, законченным цельным, а с другой, может рассматриваться как реализация первого тома задуманной А. А. Андроновым монографии по динамическим системам второго порядка и их приложениям.

В эту монографию кроме материала, содержащегося в настоящей книге, должны были войти: теория грубых динамических систем, работы А. А. Андронова по теории бифуркаций динамических систем и приложения методов теории бифуркаций к различным задачам теории колебаний.

В настоящий сборник включены работы зарубежных математиков по теории гладких динамических систем. Они дают хорошее представление о развитии этой области математики после 1970 г.

Работы охватывают следующие направления: проблему типичных свойств, связь между динамическими и гомологическими инвариантами гладких отображений, классификацию U-систем, некоторые аспекты теории систем с инвариантами. Обзорные статьи содержат значительную информацию о работах по данной тематике, не вошедших в сборник.

Книга представляет интерес как для математиков — научных работников, занимающихся дифференциальными уравнениями и динамическими системами, так и для студентов старших курсов, аспирантов и преподавателей математических специальностей университетов.

This free edition is made available in the hope that it will be useful as a textbook or reference. Reproduction is permitted for any valid noncommercial educational, mathematical, or scientific purpose. It may be posted on faculty web pages for convenience of student downloads. However, sale or charges for profit beyond reasonable printing costs are prohibited.

A complete instructor’s solution manual is available by email to wtrench@trinity.edu, subject to verification of the requestor’s faculty status.

Эрмит является одним из знаменитейших математиков XIX столетия как по своему творчеству, так и по своей педагогической деятельности. В конце 1860 г. он читал курс Анализа в Политехнической школе. Тогда же был напечатан первый том этого курса, заключающий основы дифференциального и интегрального исчислений; вторая же часть курса, заключающая учение об определенных интегралах, теорию функций комплексного переменного, теорию эллиптических функций и учение об интегрировании дифференциальных уравнений, напечатана не была, имеется лишь в литографированном виде и составляет библиографическую редкость.

В Политехнической школе Эрмит читал курс Анализа в продолжение двух или четырех лет, главная же педагогическая деятельность его (свыше сорока лет) протекала в Парижском университете (Сорбонна).

Долгие годы Эрмит читал здесь свой знаменитый курс, хотя и названный им Cours d’Analyse, но в сущности представляющий курс Теории функций, на основах учения Вейерштраса, с присущую Эрмиту ясностью и оригинальностью изложения.

Пусть P dx + Q dy + R dz = 0 — уравнение, выражающее соотношение между дифференциалами dx, dy и dz, где P, Q и R — какие угодно функции переменных x, y и z. Прежде всего необходимо, чтобы это уравнение получалось из некоторого конечного уравнения между этими переменными путем дифференцирования и деления полученного дифференциала на некоторое количество. Итак, пусть задан некоторый множитель, положим M, после умножения на который выражение: P dx + Q dy + R dz

Общая характеристика «Интегрального исчисления» Леонарда Эйлера дана в предисловии М. Я. Выгодского к первому тому. Там же указаны те основные положения, которыми руководились в своей работе переводчики. Поэтому нет, казалось бы, нужды в отдельном предисловии к настоящему тому. Однако читатель этого издания «Интегрального исчисления» будет пользоваться им не так, как современные автора или читатель девятнадцатого века.

Как правило, он не будет изучать классический труд Эйлера «от доски до доски», а, познакомившись с ним в общих чертах, он будет на выборку, в соответствии со своим интересом, внимательно читать отдельные главы и разделы. Можно быть уверенным, что со временем он перечитает весь материал или почти весь трёхтомный трактат Эйлера, так как это сочинение и сейчас может заразить своим живым, творческим духом, дать пищу для размышлений историку, исследователю, методисту.

Этот вид для размышлений источника заключён, возможно, не в богатстве материала и некотором наборе теоретического материала, а в эмоциональности и в том, что каждое единственное доказательство заключается в понятии.

В 1755 г. Петербургская Академия Наук выпустила в свет одно из самых замечательных произведений математической литературы — «Дифференциальное исчисление», принадлежащее перу члена Петербургской Академии Леонарда Эйлера. Как и большинство научных трудов в эту эпоху, оно было написано на латинском языке. Русский его перевод появляется сейчас впервые. Но это произведение в течение целого столетия училось математиками всего мира; особенное сильное влияние оказало оно на преподавание и развитие математики в России¹).

И хотя в наше время труд Эйлера уже не может служить учебником дифференциального исчисления, он до сих пор не утратил большого интереса. Богатство содержания, изумительное мастерство приёмов, гениальная изобретательность в решении труднейших вопросов, величайшая простота изложения и неисправимые педагогические достоинства — всё это делает «Дифференциальное исчисление» чрезвычайно поучительным и вместе с тем увлекательным для учащегося и для педагога, для математика и для историка науки.

Трёхтомное «Интегральное исчисление» Эйлера завершает грандиозный курс математического анализа и его геометрических приложений; первым звеном этого курса является двухтомное «Введение в анализ бесконечно малых» (1748, 1749), вторым — «Дифференциальное исчисление» (1755)¹. К работе над «Интегральным исчислением» Эйлер приступил в октябре 1759 г.

Через четыре года, в декабре 1763 г., Эйлер сообщил (в письме к Х. Гольдбаху), что рукопись «Интегрального исчисления» завершена полностью. Но, по-видимому, в течение ряда лет, протекших до печатания «Интегрального исчисления» (первый том вышел в 1768 г., второй — в 1769 г., третий — в 1770 г.), Эйлер внёс в рукопись существенные дополнения; так, в главе VI второго раздела первого тома он излагает «не так давно найденные результаты» относительно интегрирования (в алгебраическом виде) уравнения.

Не будет преувеличением сказать, что за последние годы в области «эйлероведения» сделано больше, чем за весь XIX век. При этом подверглись основательному пересмотру многие оценки и взгляды, которые приобрели силу традиции. Но изучению геометрического наследия Эйлера уделялось мало внимания.

Аналитический гений Эйлера прославляли все, кто о нем писал, и прославляли по заслугам. Зато в тени оставалось многое другое. Он перестал вычитать и жить — так говорит о его кончине Кондорсе. Как обычно в XVIII веке, Кондорсе называет Эйлера геометром — слово математик было тогда в ходу — но меньше всего он имеет при этом в виду геометрическое зрение, геометрическую изобретательность в нашем понимании.

Через полтора века после Кондорсе и Фуса — авторов первых объемных характеристик Эйлера-ученого — его знаток и почитатель Н. Н. Лузин находит яркие краски для портрета Эйлера, но именно Эйлера — виртуоза аналитической выкладки, чувствующего себя как дома в неслыханных прежде широтах числа. Такая односторонность казалась неизбежной.

В этой книге впервые затрагиваются вопросы о том гимнастическом типе ума, об Эйлере-геометре, для кого фигура в поле зрения не менее нужна, нежели логическая цепь символов. Для такого анализа конечно, нужно много сделать, и многое уже привлечь внимание. Такой портрет нетрудно продолжить.

«Введение в анализ бесконечных» Леонарда Эйлера в настоящем двухтомном издании впервые станет полностью доступным для нашего читателя: первое русское издание 1936 г. осталось незаконченным, вышел только первый том. Существует мнение, что второй том «Введения» (геометрический) уступает первому (аналитическому) по богатству оригинальными результатами, однако и он занимает почетное место среди классических произведений математической литературы, и математику ознакомление с «Введением в анализ» Эйлера в полном объеме даст очень много.

Когда Эйлер писал эту книгу, прошло уже целое столетие с тех пор, как Декарт (и Ферма) ввел в геометрию координатный метод. За это же столетие в науке вошло в обиход понятие функции, был накоплен обширный материал в итоге изучения как отдельных видов функций, так и ряда их общих свойств, был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Но только Эйлер смог связать все эти результаты воедино и, присоединив к ним свои многочисленные открытия, дал во «Введении» первые и образцовые курсы сразу двух дисциплин: собственно введения в анализ бесконечных (аналитическое) и аналитической геометрии (воспринятой как алгебраическое).

Содержание и значение этой творческой идеи анализируются во вступительной статье редакции, где даются обзор содержания и новизны каждого из двух томов «Введения». Все это — содержательная часть самого «Введения», выполненного на лучших традициях классической математики, с учетом как уровня развития математической науки того времени, так и уровня, доступного для среднего математика. В книге действительно собрано немало материала для размышлений и применения.

Данное учебное пособие предназначено для студентов вечерних факультетов вузов и заводов-втузов. Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный обязательной программой.

Достаточное количество решенных примеров и задач способствует лучшему усвоению теоретического материала.

Эту книгу следует рассматривать как вторую часть книги Г. Е. Шилова и Б. Л. Гуревича «Интеграл, мера и производная», впервые изданной в 1964 г. и ныне выходящей вторым изданием с подзаголовком «Общая часть».

В книге рассматриваются проблемы теории меры и интегрирования на бесконечномерных пространствах, составляющие промежуточную область между математическим анализом и теорией вероятностей. Изучаются измеримые линейные и квадратичные функционалы, линейные измеримые преобразования, указываются формулы для вычисления некоторых классов интегралов.

Книга рассчитана на научных работников в области математики и физики, а также на студентов старших курсов и аспирантов университетов, пединститутов и вузов.

В книге излагаются в современном виде общая теория интеграла для числовых функций и весь круг проблем, связывающих интеграл, меру и производную.

В основу изложения теории интеграла положена схема Даниэля. В §1 излагается общая теория n-кратного интеграла Римана как предела нижних интегральных сумм, или, что то же, как предела интегралов возрастающей последовательности некоторых ступенчатых функций. Такое определение интеграла допускает широкое обобщение путем аксиоматизации некоторых свойств интегралов от ступенчатых функций.

В §2 исходным объектом является совокупность элементарных функций на произвольном множестве с интегралом, подчиненных некоторым аксиомам. При расширении совокупности элементарных функций путем монотонных предельных переходов и образования разности получается пространство суммируемых функций, полное относительно нормы, связанной с интегралом.

Как и предыдущие книги того же автора — «Математический анализ (конечномерные линейные пространства)» (М., 1969) и «Математический анализ (функции одного переменного)» (ч. 1—2—М., 1969, ч. 3—М., 1970), — эта книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса; она рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания.

В гл. 1 строится теория дифференцирования для функций от конечного или даже бесконечного множества независимых переменных. В гл. 2 рассматриваются высшие производные. В гл. 3 строится теория интегрирования для функций нескольких переменных. На основе построенного аппарата в гл. 4 излагается классический векторный анализ, в гл. 5 — классическая дифференциальная геометрия, которая развивается в гл. 6 в риманову геометрию. В гл. 7 излагаются избранные вопросы анализа на дифференцируемых многообразиях, в частности теория дифференциальных антисимметричных форм с соответствующими интегральными теоремами.

Второй специальный курс математического анализа содержит основы теории обобщенных функций и ее применения к общей теории уравнений с частными производными. Под названием «Анализ-4» этот курс несколько раз был прочитан автором на механико-математическом факультете МГУ.

В первой части книги излагаются начала теории обобщенных функций. За основу принято определение Соболева — Шварца (обобщенные функции = линейные непрерывные функционалы на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций). Отбор фактов из теории обобщенных функций определяется в основном требованиями второй части.

Общая теория уравнений с частными производными, которой посвящена вторая часть, нагляднее сейчас уже большое количество серьезных разработок. Мы выбрали для изложения в курсе два ее раздела теория фундаментальных функций (и связанную с ней теорию гипотимонических Л. Хёрманда) и вопросы корректных задач в полном пространстве. Один из существенно основан на выборе уравнения поразительно вполне возможных использования сравнительно элементарного аналитического аппарата.

Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания.

• В главе 1 дается аксиоматическое построение теории вещественных чисел.
• В главе 2 излагаются элементы теории множеств и теории математических структур.
• Глава 3 посвящена метрическим пространствам.
• В главе 4 строится общая теория пределов, используя упрощенную схему фильтров Картана.
• В главе 5 рассматриваются понятия непрерывности и изучаются элементарные трансцендентные функции.
• В главе 6 излагается теория рядов—числовых и функциональных.
• Главы 7–8 посвящены собственно дифференциальному исчислению, а глава 9—интегральному исчислению.
• Глава 10 вводит читателя в теорию аналитических функций; её методы используются, в частности, в главе 11 о несобственных интегралах.

Первые две части книги были изданы ранее. Содержание третьей части:

• глава 12 «Основные структуры математического анализа» (линейные, метрические, нормированные пространства, нормированные алгебры, гильбертовы пространства),
• глава 13 «Дифференциальные уравнения» (для функций со значениями в нормированном пространстве),
• глава 14 «Ортогональные разложения» (геометрическая теория и вопросы сходимости рядов Фурье),
• глава 15 «Преобразование Фурье» с выходом в комплексную область, и, в частности, с преобразованием Лапласа,
• глава 16 «Пространственные кривые», где излагается теория кривизны для многомерных кривых.

Книга написана как учебник по специальному курсу математического анализа для студентов математических факультетов университетов. Вопросы теории функций действительного переменного, вариационного исчисления и интегральных уравнений освещаются в книге с единой точки зрения теории линейных пространств.

От читателя требуется владение общим курсом математического анализа в объеме университетской программы.

Учебное пособие предназначается студентам и преподавателям 1-го и 2-го курсов математических факультетов университетов. В основе лежит курс лекций, читаемый автором в Новосибирском государственном университете.

Пособие содержит все определения, формулировки и доказательства теорем, поясняющие примеры и упражнения. У читателя предполагается наличие некоторого опыта изучения теории функций одной переменной.

Учебное пособие предназначено студентам 1@-го курса математических факультетов университетов, а также всем желающим углубить свои познания в математическом анализе и несколько расширить свой кругозор.

Во втором томе «Теории чисел» Лежандр предлагает формулу для приблизительного определения числа простых чисел, меньших данного числа. Свою формулу Лежандр проверяет таблицей простых чисел от 10 000 до 1 000 000 и потом предлагает ее к решению некоторых вопросов теории чисел.

Несмотря на видимое согласие формулы Лежандра с таблицей простых чисел, мы не можем не изъявить сомнения насчет строгости ее и вследствие того не можем признать верными выводы, на ней основанные.

К такому заключению приводит нас одна теорема относительно свойств функции, определяющей число простых чисел, меньших данного числа, теорема, из которой могут быть выведены многие любопытные предложения. Мы займемся теперь изложением этой теоремы, а потом покажем некоторые из ее предложений.

При обработке второй части учебника Чезаро мы изменили систему, которой придерживались в первой части, а именно Westminster, чтобы выделять наши примечания и дополнения в особые отделы в конце каждой книги, мы помещаем здесь эти примечания и дополнения непосредственно за теми местами текста, к которым они относятся, отмечая их прямыми скобками []. Кроме того, некоторые §§ оригинала, в которых слишком сжатое изложение могло бы привести к недоразумениям, изложены нами в измененной и более подробной редакции.

Наибольшему изменению в этом отношении подвергся § 714, трактующий об условиях интергируемости функций, а §§ 708 и 736 вставлены целиком для пояснения следующих за ними статей.

Важнейшею ветвью математических наук, без сомнения, можно считать ту, которая, пользуясь возможностью увеличивать и уменьшать по произволу числа, и принимая во внимание существующие между ними зависимости, устанавливает систему аналитических приемов, применяемых, как в геометрических исследованиях, так и при изучении явлений природы. Эта ветвь носит название Анализа бесконечно-малых.

В настоящей книге (предназначавшейся первоначально исключительно для моих учеников) она и излагается элементарным способом на твердой основе Алгебраического Анализа, начала которого я спешу сообщить, опираясь на параллельно читаемый курс Аналитической Геометрии.

Третье издание отличается от первого лишь немногочисленными изменениями. Самое существенное из них состоит в том, что я вычеркнул «принцип индукции» из числа основных лемм, вследствие чего все опиравшиеся на этот принцип доказательства пришлось заменить другими. Я надеюсь, что для большинства читателей я этим облегчил усвоение книги, так как мне представляется, что этот принцип и опиравшиеся на него рассуждения предъявляли читателю в отношении логической культуры требования несколько более высокие, чем это вообще принято в настоящей книге.

Из других изменений заслуживают быть отмеченными только новая трактовка формулы Тейлора и параграфа о функциях с ограниченным изменением.

Цель настоящего пособия — помочь студенту-заочнику педагогического института овладеть приемами и методами решения задач при самостоятельном изучении курса математического анализа (разделов «Ряды» и «Дифференциальные уравнения»).

Пособие написано в соответствии с программой специальности «математика», однако им могут воспользоваться и студенты специальности «физика» (в разделе «Ряды» для них написан параграф «Ряды Фурье»).

Книга содержит больше ста решенных типовых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения.

Прежде чем приступать к самостоятельному решению задач, необходимо по одному из учебников изучить соответствующий теоретический материал (в начале каждого параграфа настоящего пособия даются такие указания со ссылкой на главу, параграф и пункт учебника). Затем следует внимательно (с карандашом в руках) разобрать примеры решения типовых задач, после чего выписать все задачи, предназначенные для самостоятельного решения.

Краткий курс математического анализа должен, по замыслу автора, служить студентам механико-математических и физико-математических факультетов наших университетов (а в известной мере и пединститутов) основным руководством при изучении той научной дисциплины, которая в учебных планах именуется «математическим анализом».

Он содержит в себе теорию пределов и бесконечных рядов, элементы дифференциального и интегрального исчислений, а также простейшие приложения этих учений. Необходимость в таком руководстве вызвана тем, что существующие у нас сейчас учебники математического анализа в большом количестве не всегда полностью отвечают указанному назначению. Многие из них, доступные рядовому студенту, либо устарели, либо базируются на недостаточном для специалиста-математика научном фундаменте.

В то же время те учебники, которые основаны на современном уровне, зачастую представляют собой громоздкие работы, чья структура и объем выходят за рамки доступного для обычного студента I–II курсов материала. Задача курса – восполнить этот пробел, обеспечивая компактное изложение с учетом действующих образовательных стандартов.

Настоящая книга представляет собой монографию, посвящённую суммированию расходящихся рядов. Она содержит обширный исторический обзор вопроса, краткое введение в общую теорию суммирования рядов и подробное исследование ряда конкретных методов суммирования (методов Чезаро, Абеля, Вороного, Эйлера и др.).

Кроме того, здесь рассматриваются — приложения теории к задаче перемножения рядов, к исследованию формулы суммирования Эйлера-Маклорена, к аналитическому продолжению функций, к суммированию рядов Фурье и к нахождению значений определенных интегралов.

Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов — и требует для своего чтения знания теории функций действительного и комплексного переменного. В некоторых своих разделах она может быть также полезна для тех инженеров, которые встречаются с расходящимися рядами.

Высшая математика в среде студентов традиционно считается одной из наиболее трудных для усвоения дисциплин. Сложность, в основном, связана с использованием математического аппарата, методов исследования, приемов решения задач, которые значительно выходят за рамки описаний, принятых и применяющихся в привычной, «нематематизированной», жизни.

Особенно трудно приходится тем, которые, обучаясь в средней школе, по каким-либо причинам упустили основы используемых там понятий элементарной математики. Насыщенная программа вузовского обучения практически оставляет очень мало времени на восстановление имеющихся пробелов.

Времени обычно не хватает даже на осмысление вновь проходимого материала: лекции, практические занятия, контрольные, зачёты, экзамены – гонка, завершающаяся только на третьем курсе, когда математика уже “пройдена”.

«Курс чистой математики» профессора Кембриджского университета Г. Харди представляет интерес в первую очередь для лиц, ведущих преподавание математического анализа в высшей школе. Книга эта написана понятным и ясным языком и не содержит большого и сложного теоретического материала. В ней разобраны лишь, но зато с исчерпывающей полнотой и тщательностью, основные положения математического анализа, не выходящие за рамки довольно элементарных понятий.

Автор не ставил своей задачей систематическое изложение всего университетского курса математического анализа. Поэтому он умышленно обходит такие понятия, как равномерная сходимость, кратные ряды, интегрирование и дифференцирование рядов и т. п. Однако те вопросы, которые включены в книгу, рассматриваются со всей необходимой математической строгостью.

Цель, поставленная мною в этой книге, — изучить линейные операторы на конечномерных векторных пространствах методами более общих теорий. Идея заключается в выдвижении на первый план простых геометрических понятий, общих для многих разделов математики и ее применений, притом на языке, выдающем профессиональные секреты и показывающем читателю действительный ход мыслей тех, кто доказывает теоремы об интегральных уравнениях и гильбертовых пространствах.

Однако мое субъективное освещение вопроса отнюдь не должно разделяться читателем. Если не считать редких ссылок на курс математики для высшей школы, книга представляет собой самостоятельное целое и может быть прочитана любым, кто стремится глубже ознакомиться с линейными проблемами, от рассмотрения которых курс высшей алгебры. Алгебраические бесконечные методы не теряют силы и изящности при ограничении к конечномерным случаям и, на мой взгляд, столь же элементарны, как классический координатный метод.