Моя библиотека: документы

В те годы, когда вышло первое издание этой книги, нередко можно было слышать о близком «конце геометрии». Время полностью опровергло эти пессимистические прогнозы. Геометрия бурно развивается, но теперь, как и прежде, понятие связанности является одним из наиболее важных.

Понятие это, именно вследствие его важного значения, нельзя вводить походя, между прочим, как это делается в некоторых новых руководствах. Для своего усвоения оно нуждается в элементарном, но подробном и хорошо иллюстрированном примерами изложении, что и следует считать задачей этой книги.

Содержание книги и её план остались почти неизменными по сравнению с первым изданием. Изъяты только § 76 и § 77, касающиеся геометрических выражений небесной конки, термин которой, как нам представляется, до сих пор имеет слишком специальный интерес.

В 1893 году, к столетнему юбилею со дня рождения Лобачевского, Казанское физико-математическое общество выпустило в свет сборник «Об основаниях геометрии». Он содержал перевод шести важных работ, посвященных интерпретации геометрии Лобачевского и развитию его идей: две работы Бельтрами (об интерпретации неэвклидовой геометрии и о пространствах постоянной кривизны), работы Римана, Гельмгольца и Пуанкаре об основаниях геометрии и замечания Ли на работу Гельмгольца; к ним была приложена переписка Гаусса с Шумахером.

Сборник быстро разошелся и через два года вышел вторым изданием; в нем было дополнительно помещено знаменитый мемуар Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях». Оба издания давно стали библиографической редкостью; помещенные в них работы почти не издавались.

К столетию со дня смерти Лобачевского Государственное издательство технико-теоретической литературы повторяет инициативу Казанского общества и выпустило в свет сборник под тем же названием, но значительно расширенный. Сборник включает 22 классические работы по геометрии Лобачевского и развитию его идей.

Эти работы структурированы по трем отделам.

Настоящий курс построен в соответствии с программами механико-математических и физико-математических факультетов университетов и пединститутов. Различие этих программ нашло свое отражение в том, что ряд абзацев, параграфов и одна глава книги отмечены звездочкой. При использовании курса в пединститутах весь отмеченный таким образом материал может быть выпущен, что не отразится на цельности остального изложения.

От своего первого издания (Дифференциальная геометрия. Учпедгиз, 1948) книга отличается некоторой перестановкой материала, незначительными добавлениями, изменением некоторых обозначений и изменением принципов нумерации параграфов и формул. Кроме того, исправлены многочисленные ошибки и опечатки первого издания, за которые автор не несет ответственности, так как он был лишен возможности ознакомиться с корректурами этого издания.

Книга составлена из двух небольших и хорошо дополняющих одно другое сочинений известных американских ученых. Она может служить для первоначального ознакомления с новой математической дисциплиной, интерес к которой за последние годы очень возрос. Идеи дифференциальной топологии оказались чрезвычайно плодотворными в геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений, а также в различных приложениях математики. Авторы излагают начальные понятия этой дисциплины, иллюстрируя их большим количеством примеров.

Книгу следует рекомендовать всем, начинающим изучать современную математику. Она доступна для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов, но будет также интересна как специалистам, так и всем, кто желает получить представление о математике наших дней.

Теория абелевых многообразий — один из самых ярких и важных в приложениях разделов алгебраической геометрии. Ее классический аспект связан с именами Абеля, Римана, Пуанкаре, а фундамент абстрактной теории заложен А. Вейлем.

В этой книге впервые в мировой литературе изложены оба аспекта теории с единой точки зрения, с использованием новейших концепций и технических средств. Ее автор, молодой американский математик, известен советскому читателю по книге “Лекции о кривых на алгебраической поверхности” (“Мир”, 1968).

Книга предназначена для специалистов по алгебраической геометрии, теории аналитических пространств и теории чисел. Она доступна аспирантам и студентам-математикам старших курсов.

Монография известного ученого, вице-президента Академии наук Польской Народной Республики, иностранного члена АН СССР Казимира Куратовского — выдающееся явление в математической литературе. Она представляет собой наиболее полное и легко читаемое сочинение, охватывающее большинство разделов современной общей топологии. Монография выдержала три издания на французском языке.

В последние годы текст книги был значительно переработан автором. Перевод первого тома нового, исправленного и дополненного издания был выпущен в 1966 г. (изд-во «Мир») и получил высокую оценку советской научной общественности.

Книга заинтересует всех математиков, начиная от студентов и кончая специалистами, так как топологические методы в настоящее время широко проникли во все отрасли математики.

Монография известного ученого, вице-президента Академии наук Польской Народной Республики, академика Казимира Куратовского — выдающееся явление в математической литературе. Она представляет собой наиболее полное и легко читаемое сочинение, охватывающее большинство разделов современной топологии.

Монография выдержала три издания на французском языке (третье издание — Варшава, 1961). Текст первого тома значительно переработан автором и подготовлен для одновременного издания на русском и английском языках. В настоящее время автор работает над рукописью второго тома.

Книга заинтересует всех математиков, начиная от студентов и кончая специалистами, так как в последние годы топологические методы проникли почти во все отрасли математики.

Монография посвящена общей, или теоретико-множественной, топологии. В ней собраны наиболее важные результаты из этой области математики. Большое внимание в книге уделено таким фундаментальным вопросам, как сходимость по направленному множеству, топологические произведения и фактор-пространства, метризационные теоремы, теория бикомпактных пространств, равномерная топология, теория функциональных пространств и др.

В прекрасно подобранных упражнениях излагается большой дополнительный материал, касающийся связей между общей топологией, функциональным анализом и алгеброй.

Книга предназначена для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов, а также для научных работников в различных областях математики, интересующихся методами общей топологии и их приложениями.

В монографии Р. Годемана дается единственное в мировой литературе систематическое изложение новой области современной топологии — теории пучков. Эта теория, разработанная в самое последнее время, является мощным аппаратом исследования в различных областях современной алгебры, геометрии и анализа.

Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов.

Книга написана представителями известной школы геометров Массачусетского технологического института (США) и представляет собой введение в современную дифференциальную геометрию. Авторы начинают с изложения основных понятий, переходя затем к изучению глобальной структуры римановых многообразий. Эта книга выделяется не только современным подходом и четким изложением, но также и своеобразным расположением материала, содержащего много удачно подобранных задач — от тривиальных до самых трудных.

Предназначенная для начинающих геометров, книга рассчитана и на интересующихся алгеброй, анализом, дифференциальными уравнениями, топологией, вариационным исчислением, группами Ли, механикой, а также их взаимосвязями.

Она будет полезна широкому кругу студентов старших курсов физико-математических специальностей. Ее с удовольствием прочитают и специалисты.

Книга вводит читателя в область топологии, известную под названием «теория размерности». Эта область посвящена нахождению и изучению достаточно простых и имеющих наглядный смысл закономерностей, связывающих весьма общие математические объекты — топологические пространства — с основными геометрическими образами — линиями, поверхностями, многообразиями трех и больше измерений.

Авторы не стремятся к изложению многочисленных, доказанных в последнее время теорем, относящихся к теории размерности; напротив, они выделяют из них те, которые являются достаточно общими, чтобы требовать применения теоретико-множественных методов, и достаточно содержательными, чтобы представлять общематематический интерес.

Книга начинается с изложения основных свойств топологических пространств, поэтому она может служить и введением в общую топологию; она вполне доступна студентам-математикам, начиная примерно со второго курса. Книга может быть полезна всем математикам, интересующимся общими вопросами топологии.

Книга Бальдассарри представляет собой по существу изложение наиболее важных аспектов абстрактной алгебраической геометрии. Эта интереснейшая отрасль современной математики, выросшая на стыке алгебры, топологии и дифференциальной геометрии, тесно связана как своими методами, так и результатами с многими математическими дисциплинами.

Отечественная литература по алгебраической геометрии до сих пор крайне бедна. Рассматриваемая монография заполняет поэтому важный пробел в научной литературе. Ее особенность — очень богатое содержание при сравнительно небольшом объеме.

Это достигается за счет того, что автор везде, где возможно, жертвует деталями, делая упор на основные идеи. Книга будет полезна математикам различных специальностей — как научным работникам, так и аспирантам и студентам университетов и пединститутов.

В 1921 году появилось сообщение о крупном исследовании в области алгебры логики, выполненном известным американским математиком Э. Постом. Однако только через 20 лет, в 1941 году, автору удалось оформить этот труд в виде монографии «Two-valued iterative systems»*. Основным результатом этой работы является построение всех подалгебр (замкнутых систем) алгебры логики.

Это дало возможность сильно продвинуть разработку проблематики полноты. Здесь следует упомянуть установление для каждой замкнутой системы необходимых и достаточных условий полноты, позволяющих выяснять возможность порождения этой системы из данной ее подсистемы.

Оказалось, что каждая замкнутая система функций алгебры логики порождается некоторой своей конечной подсистемой. Эти результаты теперь кажутся еще интереснее, так как накопилось много фактов**, выявляющих существенное различие алгебры логики и многозначных логик.

Учебное пособие соответствует программе курса «Математическая логика» для пединститутов. Рассматривается теория алгебры высказываний, алгебры предикатов, исчисления высказываний и предикатов. Изложение сопровождается рядом примеров, способствующих усвоению логики математических методов. Включены задачи и упражнения по каждому из разделов.

Предназначается для студентов пединститутов.

В книге рассказывается о том, как можно формально описать свойства хорошо знакомых всем отношений, указанных в заглавни.

На этом примере выясняется, как происходит переход от привычных, но неточных понятий к строгим математическим определениям.

Необходимость строгого описания простейших отношений возникает в математической логике, кибернетике, математической лингвистике и т. п. Простейшим примерам из математической лингвистики посвящена последняя глава книги.

В настоящее время интерес к математической логике и теории алгоритмов непрерывно растет. Все большее число высших учебных заведений включает в обязательную программу обучения курсы математической логики, теории алгоритмов или их фрагменты. Специалисты в области ЭВМ начинают осознавать, что эти разделы математики являются фундаментом для построения настоятельно необходимой сейчас хорошей теории математического обеспечения и теории вычислений.

Многие специалисты далеких от математики разделов науки начинают сознательно знакомиться с достижениями математической логики. За последние годы вышли переводы многих хороших книг по математической логике и теории алгоритмов, однако ни эти переводы, ни довольно бедный ассортимент отечественных книг не могут полностью удовлетворить запросы читателей.

Предлагаемая вниманию читателей книга сочетает в себе (относительную) простоту изложения с почти энциклопедической полнотой содержания. Ее выход в русском переводе будет полезен широкому кругу советских читателей.

Предлагаемая вниманию читателей книга Дж. Шенфилда посвящена изложению основных результатов о степенях неразрешимости (тьюринговых степенях). Эти результаты традиционно считаются трудными, так как в их доказательствах используются различные формы так называемого «метода приоритета». Автор книги поставил перед собой цель изложить материал в максимально простой и интуитивно оправданной форме.

И нужно сказать, что это ему в основном удалось. Педагогическое мастерство автора, известного уже советскому читателю по переводу его книги «Математическая логика» («Наука», М., 1975), позволило ему создать небольшую книгу, которая содержит практически все принципиально важные результаты о рекурсивно перечислимых степенях и которая тем не менее доступна для широких кругов читателей — математиков, интересующихся современными достижениями теории алгоритмов. Стоит, однако, предупредить, что чтение книги потребует от читателя напряженного внимания.

Книга посвящена важнейшей проблеме психологии математического мышления — соотношению между процессом мышления и его продуктом, т. е. между психологическим и логическим. Описан многолетний психолого-педагогический эксперимент и предложена адекватная модель обучения. Для формализации процессов мышления и обучения использованы алгоритмы типа Ляпунова, направленные графы, операторные схемы. Обсуждаются вопросы нахождения учащимися обобщенной модели при решении задач.

Выявлены общие принципы переработки информации человеком — укрупненные действия, объединение логических элементов, в ходе которого образуются системы «вложенных» алгоритмов.

Полученные результаты имеют выход к проблемам логики, интуиции, эвристики в математическом мышлении. Книга адресуется психологам, математикам, педагогам, а также специалистам, занятым моделированием разумной деятельности и совершенствованием человека-машинных комплексов.

Всякий вычислительный процесс складывается из преобра- зований групп знаков, выполняемых в соответствии с некоторым алгоритмом. В математике вводятся в рассмотрение группы знаков разнообразных типов. В одних случаях они являются объектами изучения, в других случаях — техническими средствами, применяемыми для записи алгоритмов, понятий, суждений и т. п.

При этом определении групп знаков, относящихся к какому-либо конкретному типу, обычно осуществляется посредством задания тех или иных правил конструирования. Правила конструирования позволяют развертывать процессы построения вводимых в рассмотрение объектов, исходя из некоторых элементарных знаков. Объекты, определяемые этим методом, характеризуются как результаты развертывания порождающих процессов, основывающихся на заданных правилах конструирования.

В ходе развития теории множеств, которая является основой построения большинства математических дисциплин, возникли чрезвычайно сложные проблемы непротиворечивости. Книга представляет собой наиболее полный из существующих обзор исследований, вызванных к жизни этой проблематикой; в ней описываются и сравниваются между собой все важнейшие системы аксиоматической теории множеств. Большое внимание уделено приложению идей и методов математической логики в различных направлениях исследований по основаниям математики (логизм, интуиционизм, формализм).

Книга, снабженная обширным списком литературы, представляет ценность для математиков, занимающихся основаниями математики и связанными с ними вопросами математической логики, а также для философов и представителей других специальностей, имеющих отношение к методологическим проблемам математики.

В основу учебника положен курс логики, читавшийся на философском факультете Ленинградского университета в течение ряда лет.

В нем освещаются вопросы, относящиеся к общей и символической логике. Учебник предназначен для студентов-философов и студентов других гуманитарных факультетов и педагогических вузов.

Эта монография принадлежит перу одного из самых известных современных специалистов в области математической логики. Она задумана автором в качестве учебника для студентов, а также в известной мере в качестве справочника.

Предполагая у читателя только общую математическую культуру, книга с первых же страниц вводит его в глубокую проблематику, связанную с основными понятиями математической логики. Изложенный в ней материал представляет ценность для всякого математика, в том числе и для специалиста по математической логике. В качестве справочника ею могут пользоваться также и нематематики.

Содержавшееся в этом томе Введение (стр. 15—63) по существу представляет собой самостоятельное литературное произведение, которое с интересом и пользой может читаться самым широким кругом научных работников, интересующихся вопросами математической логики.

Развитие современной науки все с большей необходимостью ставит вопрос о тесном союзе естествоиспытателей, математиков и философов.

Необходимость укрепления союза естествознания, математики, с одной стороны, и марксистской философии — с другой, еще более возрастает в связи с принятием XXII съездом КПСС новой программы строительства коммунизма в нашей стране.

Н. С. Хрущев в докладе «О программе Коммунистической партии Советского Союза» отмечает, что «коммунистическое общество будет иметь самую развитую технику, самое развитое и организованное производство, самые совершенные машины». В связи с этим в огромной мере возрастает значение комплексной механизации и автоматизации производства.

Новая Программа КПСС подчеркивает важное значение формирования передового научного коммунистического мировоззрения в условиях развернутого строительства коммунизма, что обусловливает повышение роли и ответственности наук, в том числе и марксистской философии.

Понятия алгоритма и вычислимой функции являются одними из центральных понятий современной математики. Их роль в математике середины XX в. можно, пожалуй, сравнить с ролью понятия множества в математике конца XIX в.

Настоящие «Лекции» посвящены изложению основ теории вычислимых функций (проводимому на базе принятого в настоящее время отождествления их — для случая функций с натуральными аргументами и значениями — с частично-рекурсивными функциями), а также некоторым приложениям этой теории.

В 1961 г. в Хаарлеме (Нидерланды) вышла небольшая книжка «Exacte logica» («Точная логика»). Автор ее профессор Х. Фрейденталь — известный голландский математик с весьма широкими интересами; развивая традиции отечественной школы интуиционистов, он еще в 30-е годы внес существенный вклад в построение интуиционистской топологии; в последние годы большую популярность завоевала книга Фрейденталя «Lincos» («Lingua cosmica»), описывающая предложенный им «космический язык».

«Exacte logica», впрочем, рассчитана на читателей, в большинстве своем не только ничего не слышавших ни про интуиционизм, ни про топологию, ни про математическую лингвистику (о космосе, правда, в наши дни говорят с детства…), но и о логике знающих лишь то, что это что-то средневековое…

Но за последнее время слово «логика» (да еще с эпитетом «математическая») нежиданно вошло в моду; журналисты, физики и лирики приучили своих читателей ассоциировать его с всевозможной кибернетикой. Совсем ничего не знать о логике в современном смысле этого слова становится уже как-то непривычно, старомодно, что ли. Но в школу логике не учат. Специальные учебники по логике для школ чем-то слишком трудны, чтобы считаться их «уроком образования».

Понятие модели возникло в математике еще в девятнадцатом веке. Вплотную к нему подошел Н. И. Лобачевский, но в полной мере оно появилось в работах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, посвященных непротиворечивости геометрии.

В дальнейшем понятие модели развивается и уточняется в связи с развитием формальных теорий и становится одним из основных понятий семантики символических языков.

Современная формулировка понятия модели и других понятий семантики (например, понятия истинности формулы узкого исчисления предикатов, понятия теории классов алгебраических систем и др.) сложилась в конце двадцатых и в начале тридцатых годов в работах Д. Гильберта и А. Тарского.

Книга известного польского математика и логика А. Тарского, представляющая собой популярное введение в математическую логику и методологию дедуктивных наук, заслуживает внимания советского читателя.

Вышедшая в 1936 г. на польском языке, она появилась в 1937 г. в немецком переводе, но была выпущена известным немецким книгоиздательством Шпрингера не в Германии, а в Вене. Правда, это не помогло издательству: часть издания, которую оно не успело распространить до “аншлюса”, так и осталась лежать на его складах… по соображениям расового порядка. В 1941 г. просмотренное и дополненное издание книги вышло на английском языке в Нью-Йорке. С этого издания и выполнен русский перевод.

Проблема взаимоотношения формальной логики и философии, возникающая вместе с возникновением формальной логики, и сейчас привлекает к себе внимание как советских, так и зарубежных философов и логиков.

Интерес к этой проблеме определяется рядом обстоятельств, среди которых в первую очередь должно быть отмечено возникновение диалектической логики.

С возникновением диалектической логики по-новому встал вопрос об отношении формальной логики к философии. Как бы ни трактовать вопрос о предмете диалектической логики, несомненным является тот факт, что она, будучи логикой, занимается исследованием философских вопросов. Отсюда следует, что логика (или часть логики, какой-то вид логики) есть вместе с тем и философия либо, по крайней мере, часть философии. Спрашивается: является ли формальная логика частью логики диалектической или нет?

Если формальная логика есть часть диалектической логики, то, очевидно, она должна быть частью философии. Если же формальная логика не является частью диалектической логики (если она изучает совершенно иные проблемы), чем логика диалектическая, то она в определенном смысле выходит, уходит за границы диалектической логики, приобретает право на самостоятельное существование, т. е. может быть наукой без своего особого предмета исследования.

Философские вопросы есть, конечно, во всякой науке. Однако известно, что специалисты разных областей знания старательно избегают вопросов этого рода. «Для того, чтобы заниматься математикой, мне совсем не требуется знать, что такое математика, — говорит иногда такой специалист-математик, — ведь этот термин не фигурирует ни в каких математических теоремах или определениях, и мне им не приходится пользоваться».

Философские взгляды ученого поэтому нередко содержатся в его работах лишь неявно. Но и в кругах философов часто заметно желание отгородиться от необходимости более специально ознакомиться с конкретными вопросами другой науки, предпочитая дело так, будто специальные вопросы других областей знания никак не могут интересовать философов.

Предлагаемая вниманию читателя книга Р. Р. Столла может быть рекомендована в качестве первоначального пособия — помимо тех категорий читателей, которые указывает в своем предисловии автор, — каждому, кто хочет ознакомиться с основными понятиями, идеями, методами и результатами математической логики и теории множеств; элементарному изложению этих вопросов посвящены первые две главы книги.

Несколько более трудна (по степени абстракции и сложности излагаемых в ней концепций) третья глава, в которой разъясняются важнейшие установки аксиоматического метода, затрагиваются проблематика оснований математики и взаимоотношения между формализованными логико-математическими теориями, их метатеориями и интерпретациями; изложение этих вопросов носит более эскизный характер, нежели в первых двух главах. Заключительная, четвертая глава иллюстрирует содержание предыдущих глав примерами и разнообразно детализирует теорию в алгебре; некоторые из аксиоматических рассмотрений этой главы, быть может, окажутся небезынтересными и для математиков.

Предлагаемое «Логическое введение в математику» предназначается для студентов первого года обучения математических специальностей педагогических институтов. Оно содержит элементы теории множеств, математической логики и их применение в математике, иллюстрированные известным из школьного курса элементарным математическим материалом. Это содержание еще не является установившимся, оно не зафиксировано в каких-либо официальных программах и может служить предметом обсуждения.

Однако предлагаемое содержание представляет собой то общее, что встречается во многих проектах такого вводного курса, целесообразность которого уже является в настоящее время общепризнанной.

Необходимость в таком логическом введении возникает потому, что средняя школа не обеспечивает (пока) своих выпускников достаточно точным пониманием логического компонента (логики) математики и способов математического мышления.

Бурное развитие математической логики во многом определяет основные тенденции научного прогресса наших дней. Ее принципы применяются не только в математике, но и в логических элементах вычислительных устройств, при машинном переводе с одного языка на другой, в сложных кибернетических системах и в других многочисленных областях и практиках.

Нынешний расцвет математической логики был подготовлен веками длительной и многообразной эволюции логических теорий и учений. Автор описывает узловые вехи в становлении и развитии наиболее ценных, с современной точки зрения, логических концепций: от материальной импликации мегарцев и стоиков до семиотики Г. Фреге и Ч. Пирса, от древнеиндийских предвосхищений вероятностной логики до идеографии Д. Пеано, от силлогистики Аристотеля до Г. Лейбница и алгебро-логических концепций XIX—XX вв.

Книга рассчитана на математиков, философов, логиков, на работников, связанных с автоматикой, моделированием, с работой счетно-решающих устройств в области физики, важных для биологов, лингвистов и др., на преподавателей и студентов разных специальностей, желающих ознакомиться с методами математической логики и историей ее формирования.

Книга предназначена для студентов и преподавателей педагогических вузов.

Она может быть использована как учебное пособие по курсу методики математики и в семинарах, посвященных актуальным проблемам преподавания математики в средней школе, с целью привлечения студентов к научно-исследовательской работе в области педагогики математики.

Исследование рассматриваемых в этой книге проблем может служить темой курсовых и дипломных работ студентов, а также материалом для проведения ими педагогических экспериментов.

Книга может быть использована и учителями в их практической работе.

Изучение принципов творческой деятельности, закономерностей эвристических процессов мышления составляет одно из важных требований, выдвинутых современной наукой. Осуществление этого требования трудно представить без совместных усилий ученых, работающих в области методологии и логики научного познания, в кибернетике, психологии, педагогике и многих других отраслях науки.

Современные достижения формальной логики также открывают интересные перспективы применения точных методов в изучении определенных аспектов эвристической деятельности. Тем не менее нередко можно встретить противопоставление строго научно построенной доказательств эвристическим принципам, которые используются в отыскании формулировок будущих теорем, в выработке ideas доказательства и т. п.

Книга, принадлежащая перу известных польских логиков, посвящена изложению основ современной формальной (математической или теоретической, или символической) логики и теории множеств для читателей гуманитарного профиля.

В ней содержится систематическое изложение широкого круга вопросов из различных разделов математической логики, разъясняются основные теоретико-множественные понятия и аппарат, а также освещаются некоторые важнейшие методологические аспекты математической логики и оснований математики.

Книга Е. Слупецкого и Л. Борковского является хорошей основой для дальнейшего изучения более трудных и обстоятельных работ по современной логике и основаниям математики.

Книга выдающегося польского математика Р. Сикорского посвящена одному из важнейших разделов современной математики — теории булевых алгебр. Это наиболее полное изложение теории булевых алгебр с теоретико-множественной точки зрения. В книге, по-видимому, впервые систематически изучаются булевы алгебры с бесконечными операциями.

Последний раздел (дополнение) содержит многочисленные применения булевых алгебр к другим областям математики. Книга написана очень просто и подробно. Она вполне доступна и полезна широким кругам математиков, а также физикам и инженерам.

Новая область математики — теория моделей получила интенсивное развитие в последние двадцать лет. В книге известного математика Дж. Сакса содержится тщательное изложение и классических, и новейших результатов теории; большой интерес представляют результаты о рангах формул и типов, о простых моделях, о насыщенных и однородных системах. Эта теория позволила решить многие задачи, казавшиеся ранее неприступными.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических факультетов университетов, а также высших учебных заведений, готовящих специалистов по прикладной математике.

Название этой книги — вовсе не каламбур, как это может показаться на первый взгляд.

Математика — это теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория — это, грубо говоря, множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, и множество некоторых простых операций, производимых над этими последовательностями.

Формулы и термы, получаемые с помощью нескольких простых правил, служат заменой для предложений и функций интуитивной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам интуитивной теории, играют особую роль — они являются аксиомами формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам теории.

Роль науки в наши дни существенно отличается от той, которую она играла сто или двести лет назад. Отличие это заключается в том, что 1) наука превратилась в особую, широко разветвлённую отрасль общественного производства, массового производства знаний; 2) объём научных исследований возрастает с необычайной, всё время увеличивающейся скоростью.

Количество научных результатов, получаемых в течение одного года, значительно превосходит количество результатов, получавшихся ранее в течение десятилетия, вследствие чего влияние науки на развитие материального производства и различные социальные процессы непрерывно возрастает 3) наука в социалистическом обществе становится составной частью государственного и партийного руководства обществом, всеми сторонами его духовной и материальной жизни.

Работа проф. А. И. Попова является первой советской книгой, в которой дается общий очерк математической логики. В книге дан краткий исторический обзор возникновения математической логики, популярно излагаются основные направления современной математической логики, особое внимание уделяется вопросу о соотношении математической и классической (формальной) логики, рассматривается место математической логики в системе научного познания.

В работе указываются практические приложения математической логики как основы для конструирования и работы разнообразных «умных» и «думающих» машин.

Книга рассчитана на научных работников, аспирантов, студентов и учителей средней школы, а также на широкий круг читателей, интересующихся философией, логикой и математикой.

Интенсивное развитие математической логики в последнее время сопровождается увеличением её роли в математике.

Одной из основных задач математической логики остаётся анализ оснований математики. Но в настоящее время она уже вышла из рамок этой задачи и оказала существенное влияние на развитие самой математики.

Из её идей возникло точное определение понятия алгоритма, что позволило решить многие вопросы, которые без этого остались бы в принципе неразрешимыми. Возникший в математической логике аппарат нашёл применение в вопросах конструкции вычислительных машин и автоматических устройств.

Курс «Элементы математической логики и теории множеств» впервые был прочитан для студентов 1-го курса механико-математического факультета Саратовского университета в 1961 году профессором В. В. Вагнером. С тех пор он читается ежегодно с сохранением в основном первоначальной программы.

С 1963 года этот курс введен в учебные планы мехматов университетов. Настоящая книга является обработкой лекций, которые автор читал в Саратовском университете в 1962—66 гг. В § 1 вводятся основные понятия теории множеств. В § 2 и § 3 излагаются элементы содержательного исчисления высказываний и предикатов. Содержательное исчисление предикатов представляет наибольшие трудности, этот раздел занимает в книге значительное место. Формальное исчисление высказываний и предикатов не затрагивается.

В § 4 и § 5 логика предикатов применяется для построения начал алгебры и теории бинарных отношений. В § 6 на основе теории бинарных отношений излагаются начальные понятия по теории отображений и объединений множеств. Каждый параграф заканчивается упражнениями, которые построены по принципу прогрессии трудности. В конце книги приведен список литературы, включающей основное пособие и рядом классик с математической логики и теории множеств.

Автор этой книги, выдающийся советский математик, академик Петр Сергеевич Новиков, родился в августе 1901 года.

Свою научную деятельность П. С. Новиков начал в двадцатые годы в области дескриптивной теории множеств. Петру Сергеевичу принадлежат глубокие научные результаты в области теории множеств, математической логики, теории алгоритмов и теории групп. Исключительная роль П. С. Новикова в развитии этих областей математики в СССР определяется также его многолетней педагогической деятельностью в МГПИ им. В. И. Ленина и в МГУ им. М. В. Ломоносова. П. С. Новиков создал большую научную школу в области математической логики и теории алгоритмов.

Его книга «Элементы математической логики», являющаяся первым отечественным курсом математической логики, пользуется большой популярностью как в нашей стране, так и за рубежом. Она переведена на английский, французский, итальянский и другие языки. В 1973 году вышло второе русское издание этой книги.

В дореволюционной гимназии (а одно время — и в советской школе) преподавали логику. Логику часто определяют как «науку о законах правильного мышления». Предполагалось, очевидно, что неотъемлемым атрибутом зрелости, по достижении которой человеку выдается аттестат, является умение мыслить (и к тому же — правильно мыслить).

Против самого замысла возразить что-либо трудно, но на деле чаще всего получалось, что умение (или неумение) мыслить — само по себе, а «предмет», именуемый логикой, — сам по себе. Величайшее достижение античной науки — формальная логика Аристотеля оказывалась “если и можно называть, слишком классической, чтобы ее можно было легко приспособить к нуждам быстро развивающихся естественных наук, не говоря уже о чисто практических приложениях.”

Настоящие «Очерки» написаны преимущественно для преподавателей математики средних школ и студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. Их содержание не исчерпывает того, что теперь связывают со словом «введение», когда обращаются к вопросам обоснования математики. На первом месте стоят те вопросы обоснования математики, знание которых может оказаться полезным преподавателям математики средних школ.

Глава о математической логике написана Л. Е. Майстровым и Т. Л. Майстровой. Благодарим члена-корреспондента АН СССР П. С. Новикова, действительного члена АН УССР Б. В. Гнеденко и профессоров Э. Кольмана, К. А. Рыбникова и И. Я. Депмана, дружеские советы которых были учтены нами при окончательном редактировании «Очерков».

Будем также благодарны читателям за относящиеся к «Очеркам» замечания и пожелания, которые просим направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учебно-педагогическое издательство, редакция математики.

Книга включает перевод двух статей из «Справочника по математической психологии», изданного в США. В статьях обсуждаются проблемы измерений в экспериментальной психологии, приводится богатый материал по конкретным типам шкал и анализируются соотношения между физическими параметрами эксперимента и определяемыми ими психологическими параметрами.

Книга будет, несомненно, интересна как специалистам, работающим в области экспериментальной психологии, так и широкому кругу читателей, интересующихся применением математических методов к описанию явлений в других науках.

В книге Э. Мендельсона «Введение в математическую логику» дается доступное для начинающего читателя и достаточно полное изложение основных разделов современной математической логики и многих ее приложений.

Наряду с такими разделами, как логика высказываний, исчисление предикатов, формальная арифметика и теория алгоритмов, в ней освещены также теория моделей и аксиоматическая теория множеств, отсутствующие в книге С. К. Клини «Введение в метаматематику», которая до настоящего времени служила наиболее полным пособием по математической логике. Следует, однако, отметить, что в отличие от книги С. К. Клини в этой книге по существу не затрагиваются интуиционистское и конструктивное направления математической логики.

Изложение материала в книге ясное и лаконичное. Основной текст перемежается с большим числом примеров и упражнений. В упражнения автор вынес также некоторые результаты, используемые затем в основном тексте. Это, наряду с лаконичностью изложения, способствовало сокращению размеров книги при весьма обширном содержании.

Человек тратит многие годы на учение и повседневную практику, прежде чем его начинают называть настоящим мастером своего дела. И лишь незначительную часть накопленных знаний и опыта удается ему использовать в новой области, если почему-либо приходится круто изменять специализацию.

Причины такого положения достаточно очевидны. Много ли общего, например, в работе электромонтера и учительницы, физиолога и чекиста? Можно ли сопоставить действия математика, слушающего доказательство новой теоремы, и искателя, готовящегося к очередному таежному путешествию, работника министерства, читающего сводки с предприятий, и радиотехника, ремонтирующего телевизор?

Тем не менее во всех перечисленных примерах разнообразных видов человеческой деятельности (число таких примеров можно было бы увеличивать до бесконечности) есть существенно общие черты. Это общность заключается в первую очередь в необходимости увязывать причины со следствиями, воздействуя с результатами, одни действия с другими действиями.

Эта книга представляет собой введение в конструктивную математику и рассчитана на математиков, желающих уточнить свои интуитивные представления о конструктивности; она позволяет без особых технических усилий ознакомиться с точными результатами в этой области. В книге излагается найденный автором конструктивный вариант некоторых первоначальных идей Брауэра из области конструктивизации математического анализа.

Книга доступна математикам всех специальностей, начиная со студентов младших курсов. Она представляет интерес также для всех лиц, интересующихся основаниями математики.

Предлагаемая вниманию читателей книга польского логика Яна Лукасевича (1878—1956) «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики» является одним из выдающихся его трудов.

До опубликования этой работы Лукасевич уже был известен и в Польше и за рубежом как представитель школы математической логики. Еще в 1921 году он издает труд по многозначной логике («Logica dwuwartościowa», Варшава). В 1929 году в печати появляется работа Лукасевича «Elementy logiki matematycznej» («Элементы математической логики»), где уже намечается позднейшее его истолкование силлогистики Аристотеля.

Вслед за тем он совместно с Тарским выпускает «Untersuchungen über das Aussagenkalkül» («Исследования по исчислению высказываний»), 1930. После этого он публикует работы: «Zur Geschichte der Aussagenlogik» («К истории логики высказываний»), 1935 (в № 2—3 V тома журнала «Erkenntniss»); «Die Logik und Grundlagenproblem» («Логика и проблема обоснования»), 1938.