Моя библиотека: документы

Теория, излагаемая в книге, охватывает широкую область современной математики, в которой стираются традиционные грани между алгеброй, геометрией и анализом (в широком смысле слова). Основным во всей книге является введенное автором понятие «потока», которое включает в себя как частные случаи топологическое понятие цепи, понятие дифференциальной формы, являющееся одним из основных в современной дифференциальной геометрии, и понятие обобщенной функции, приобретающее все большее значение в функциональном анализе.

Книга рассчитана на широкий круг читателей-математиков студентов старших курсов, аспирантов и научных работников. Она написана ясно и доступно и предполагает от читателя, помимо знаний в пределах первых трех курсов университета, только знакомство с простейшими понятиями топологии и тензорного исчисления.

На протяжении нашего курса мы уже несколько раз встречались с вопросом об интегральных уравнениях (т. I, § 137; т. II, § 389; т. III, § 513, 533, 547). Эта новая ветвь анализа очень быстро приобрела важное значение после работ Вольтерра (Volterra) и Фредгольма (Fredholm).

Вольтерра занимался преимущественно изучением уравнений с переменными пределами; он рассматривал уравнение этого типа как предельный случай системы алгебраических уравнений, в которых число неизвестных неограниченно возрастает. Эта же идея была использована с очень большим успехом Фредгольмом в исследовании уравнений с постоянными пределами.

В настоящей главе мы сначала покажем, как можно очень просто получить результаты Вольтерра методом последовательных приближений. В случае постоянных пределов этот метод вообще не дает полного решения, но приводит к важным свойствам резольвенты. Те трудности, которые возникают при определении аналитического характера этой резольвенты, дают возможность оценить важность окончательного шага, сделанного Фредгольмом.

Изучение функций, определенных дифференциальным уравнением, во всей области их существования является задачей, полное разрешение которой невозможно при современном состоянии анализа. Однако, ограничившись изучением интегралов, бесконечно близких к уже известному интегралу, удалось получить чрезвычайно интересные результаты.

Именно таким путем А. Пуанкаре в своих замечательных работах, посвященных “Задаче о трех телах”, доказал существование бесконечного множества периодических решений и решений асимптотических к периодическим. Разыскание решений, бесконечно-близких к известному решению, привело его к системе линейных дифференциальных уравнений, которые он называет уравнениями в вариациях_; аналогичная система для уравнений с частными производными была ранее рассмотрена Г. Дарбу ** под названием _вспомогательной системы.

Результаты А. Пуанкаре были с тех пор использованы Пэнлеве *** и другими математиками при решении задачи чистого анализа, а именно при образовании дифференциальных уравнений с неподвижными критическими точками.

Из самого происхождения этого уравнения очевидно, что всякая функция, определяемая соотношением (1), удовлетворяет уравнению (3), каковы бы ни были значения, даваемые постоянным c. Соотношение (1) называется частным интегралом дифференциального уравнения (3). Совокупность этих частных интегралов называется общим интегралом того же уравнения.

Мнимым количеством, или комплексным количеством, называется всякое выражение вида a + bi, где a и b — какие-нибудь действительные числа, и i — особый символ, ввести который оказалось нужным, чтобы придать алгебре больше общности.

В сущности, на комплексное количество можно смотреть как на систему двух действительных количеств, взятых в определенном порядке. Хотя выражения вида a + bi и не имеют сами по себе никакого конкретного значения, тем не менее, условились применять к ним обыкновенные правила алгебраического вычисления при условии заменять повсюду выражение i² через -1.

Книга содержит элементарное изложение ряда методов, используемых в анализе для получения асимптотических формул. Изложение весьма своеобразное — каждая глава состоит из небольшого введения, объясняющего сущность данного метода, и некоторого количества удачно подобранных примеров (иногда довольно сложных), иллюстрирующих применение этого метода. В конце глав приводятся упражнения для самостоятельного решения.

Важность излагаемых в книге методов, наглядность и доступность изложения делают эту книгу очень ценной для всех начинающих знакомиться с методами получения асимптотических формул (студентов старших курсов и аспирантов университетов и технических вузов, физиков, инженеров различных специальностей). Книга представляет несомненный интерес также для тех, кто уже знаком с этой областью анализа.

Общие замечания. Выше (§ 5) мы имели общие условия сходимости ряда. На практике, для того чтобы узнать, является ли данный ряд сходящимся или расходящимся, всего чаще пользуются признаками менее общими, но зато более удобными для применения. Мы приведем из них лишь наиболее употребительные, которые оказываются достаточными для большинства приложений.

Сначала мы сделаем несколько замечаний, которые непосредственно выводятся из самого определения сходимости:

1. Если мы умножаем все члены ряда на постоянное число a, отличное от нуля, то новый ряд сходится или расходится одновременно с первым; если первый ряд сходится и имеет суммой S, то сумма второго ряда равна aS.

Книга Э. Гурса “Курс математического анализа” уже приобрела у русских читателей заслуженную известность и признание. По объему это руководство является одним из наиболее полных в современной мировой математической литературе; в то же время излагаемые факты выбраны не по принципу энциклопедичности; выбор проникнут одной руководящей мыслью — дать необходимый материал, на котором основывается разработка наиболее важных проблем современной науки.

Книга уже принесла большую пользу нашей университеской учащейся молодежи как пособие для углубления обычного курса анализа и для самообразования; можно смело сказать, что она много способствовала повышению уровня нашей математической культуры.

Эта книга предназначается для аспирантов и студентов-математиков старших курсов. Я стремился сделать её доступной и полезной также и научным работникам по механике и физике. Математик найдёт в ней прежде всего теорию интегралов типа интеграла Стилтьеса как в их простейшей концепции интегралов функций одного действительного переменного, так и в современных обобщениях этой концепции.

Не считая возможным загромождать книгу изложением специальных определений интеграла, которые встречаются в современной литературе, как, например, интеграл Хеллингера в теории квадратичных форм или интеграл Риса в теории субгармонических функций, — я стремился, напротив, возможно выпуклее выяснить те основные принципы, на которых базируются такого рода определения, и выбрать только интегралы, определённые с наиболее широкой точки зрения.

Книга представляет собой большое собрание интегралов и формул (около 12000), относящихся к элементарным и специальным функциям. В четвертом издании значительно расширены разделы, посвященные неопределенным и определенным интегралам от элементарных функций и определенным интегралам от специальных функций. Включены интегралы от специальных функций, отсутствовавшие в предыдущих изданиях. В связи с этим главы, относящиеся к специальным функциям, дополнены необходимыми разделами.

Глава об интегральных преобразованиях, имевшаяся в третьем издании, исключена. Ее материал размещен в других частях книги и книги, предназначена для научно-исследовательских институтов, лабораторий, конструкторских бюро и научных работников в области математики, физики, техники.

Этот выпуск посвящен дальнейшему углублению и развитию теории обобщенных функций, в частности перенесению техники действий с обобщенными функциями, развитой в первом выпуске, на широкие классы пространств. Базой для этого является изложенная в гл. I теория счетно-нормированных пространств.

Пространства, которые строятся и изучаются в следующих главах, используются в третьем выпуске, посвященном некоторым приложениям теории обобщенных функций к дифференциальным уравнениям. Настоящий выпуск рассчитан в первую очередь на математиков, хотя могут читать его и те только математики. Для его чтения желательны знакомство с начальными главами изложенного анализа. Этот выпуск в основном можно читать независимо от первого.

Настоящий выпуск посвящен приложениям теории обобщенных функций к двум классическим задачам анализа: к задаче о разложении по собственным функциям дифференциальных операторов и к задаче Коши для уравнений в частных производных.

Выпуск рассчитан в основном на математиков, хотя его могут читать и специалисты в смежных науках. Для его чтения необходимо знакомство с определениями и результатами второго выпуска.

Теория обобщенных функций — оформившаяся в последние годы область функционального анализа; она возникла в связи с потребностями математической физики и позволила правильно поставить и разрешить ряд классических проблем прикладного значения. В настоящем выпуске рассматриваются главным образом основные понятия теории обобщенных функций, действия над обобщенными функциями и т. д.

Первые две главы представляют собой элементарное введение в эту теорию. Третья глава несколько труднее для чтения и содержит более специальный материал. Выпуск рассчитан на научных работников в различных областях математики, физики и смежных наук, на аспирантов и студентов (математиков и физиков) старших курсов университетов. Он будет также интересен и полезен для инженеров.

В предлагаемой книге излагается теория коммутативных нормированных колец с ее применениями к анализу и топологии. В конце книги в виде приложения воспроизведена статья И. М. Гельфанда и М. А. Неймарка «Нормированные кольца с инволюцией и их представления», могущая служить введением в теорию некоммутативных нормированных колец с инволюцией.

Книга рассчитана на математиков (студентов старших курсов, аспирантов и научных работников), занимающихся функциональным анализом и его приложениями.

Теория представлений групп позволила по-новому понять классические результаты теории автоморфных функций, шире поставить задачи этой теории и получить ряд новых важных результатов. Важную роль играет также язык теории аделей - недавно возникшего раздела математики.

В книге имеется много новых понятий и результатов, с которыми до сих пор можно было ознакомиться лишь по журнальной литературе. Поэтому книга представляет интерес для разных кругов читателей, интересующихся современной математикой. Книга может быть рекомендована студентам старших курсов, аспирантам и научным работникам в области математики.

Знания материала предыдущих выпусков от читателя не требуется.

Этот выпуск можно рассматривать как введение в новую область функционального анализа - интегральную геометрию и связанные с ней вопросы теории представлений. В нем разобран ряд задач интегральной геометрии в аффинном пространстве, в пространстве Лобачевского и в некоторых других, родственных ему пространствах. Методы интегральной геометрии применяются затем к построению гармонического анализа на группе Лоренца и в однородных пространcтвах, где действует эта группа.

Этот выпуск, как и предыдущие, основывается лишь на материале первого выпуска и не зависит от остальных. Книга рассчитана на студентов-математиков старших курсов, аспирантов и научных работников.

Этот выпуск посвящен двум вопросам - изучению наиболее важного класса линейных топологических пространств, ядерных пространств и оснащенных гильбертовых пространств, и изучению гармонического анализа в евклидовых и бесконечномерных линейных пространствах. Рассматриваются приложения к спектральному анализу линейных операторов, к теории меры в линейных топологических пространствах, коммутационным соотношениям в квантовой теории поля, обобщенным случайным процессам и т.д.

Гармонический анализ на группе Лоренца и связанные с этим вопросы интегральной геометрии будут изложены в пятом выпуске. От читателя предполагается знакомство с первыми двумя главами вып. 1. Необходимые сведения из второго выпуска кратко изложены в этой книге. Книга рассчитана на студентов-математиков старших курсов, аспирантов и научных работников.

В книге рассматриваются многочисленные примеры из математического анализа и теории функций действительного переменного, цель которых — обратить внимание на ряд “опасных” вопросов, на которые неопытный читатель может дать неправильные ответы. Такие контрпримеры систематически подобраны авторами, и поэтому книга может служить очень хорошим дополнением к обычным учебным курсам.

Часто авторы не дают подробных доказательств, ограничиваясь лишь основными идеями построения соответствующих примеров. Это позволит читателю активно включиться в изучение материала.

Книга будет полезна студентам университетов, пединститутов и вузов, изучающим математический анализ и теорию функций.

Настоящая книжка посвящена так называемому “неопределенному интегрированию” или “нахождению функции по заданной производной”. Так как, однако, эти описательные определения чересчур расплывчаты, то, прежде чем идти дальше, нам придется более точно сформулировать сущность нашей проблемы.

Пусть f(x) — вещественная непрерывная функция действительного переменного x. Мы хотим определить функцию y, производной которой является заданная функция f(x), иными словами, решить уравнение.

Это издание отличается от предшествующих двух немногим, но существенными дополнениями и изменениями, обещанными мною в предисловии ко второму изданию. При этом мною были учтены и те замечания, которые мне были сделаны рядом товарищей и за которые я приношу им благодарность.

Однако, должен оговориться, далеко не со всеми указаниями мог я согласиться и, разумеется, только те из них, которые казались мне справедливыми, были учтены мною. Я не оставил, впрочем, без внимания и тех возражений, которые я считал несостоятельными. На некоторые из них я ответил в примечаниях к соответствующим местам текста; я старался по возможности точнее сформулировать эти возражения и противопоставить им свою точку зрения.

Хочу надеяться, что приведённые мною аргументы смогут повлиять, по крайней мере, на часть моих оппонентов. Надеюсь также, что при этом будет учтён и почти двухгодичный опыт использования этой книги в качестве учебного пособия в руках десятков тысяч учащихся.

Эта книга составляет продолжение Справочника по элементарной математике того же автора и включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших технических учебных заведений (механико-машиностроительных, строительных, авиационных, транспортных, электротехнических, энергетических и горнометаллургических).

Книга имеет двойное назначение.

Во-первых, она дает фактическую справку: что такое векторное произведение, как найти поверхность тела вращения, как разложить функцию в тригонометрический ряд и т. п. Соответствующие определения, теоремы, правила и формулы, сопровождаемые примерами и практическими указаниями, находятся быстро; этой цели служат детальная рубрикация и подробный алфавитный указатель.

Книга содержит изложение основ теории меры и интеграла (преимущественно — интеграла Лебега).

Второе издание отличается от первого прежде всего развернутым изложением неопределенного интеграла Лебега и теоремы Радона — Никодима, а также схемой построения меры. Кроме того, введено понятие равиостепенной абсолютной непрерывности семейства интегралов, более подробно изучены пространство измеримых функций и интеграл Радона.

Книга может быть использована как при изучении теории функций вещественной переменной в виде отдельной дисциплины, так и при прохождении теории меры и интеграла Лебега внутри общего университетского курса математического анализа.

Книга содержит элементарное изложение основ функционального анализа. В первых двух главах изучается конечно-мерное евклидово пространство, и на этом примере читатель подготавливается к введению в последующих главах общих абстрактных понятий функционального анализа. Далее рассматриваются метрические пространства и непрерывные операторы в них. Вводится основной класс пространств, изучаемых в книге, — нормированные пространства. Отдельная глава посвящена гильбертову пространству, которое вводится как частный случай нормированного пространства.

Даются обе классические реализации бесконечно-мерного сепарабельного гильбертова пространства — координатная и функциональная. Попутно указываются два подхода к построению функциональной реализации гильбертова пространства: обычная конструкция идентификации элементов пространства с квадратом, и построение пространства элементов непрерывной промежуточной нормы, задаваемых своими средними значениями.

В книге изучаются также линейные непрерывные функционалы в указанных пространствах, проводится детальное исследование спектральных задач, в частности, вполне непрерывных операторов. Конечная часть книги посвящена введению в теорию обобщённых функций и распределений. Дается краткое представление о задачах функционального анализа в приложении к современным направлениям полуупорядоченных пространств. Приводятся многочисленные примеры из алгебры, анализа, теории функций, дифференциальных и интегральных уравнений.

Данная часть задачника содержит задачи и примеры по следующим разделам математического анализа: ряды, дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных, дифференциальные уравнения, ряды Фурье и некоторые уравнения математической физики.

Пособие предназначено для студентов пединститутов.

Предлагаемый вниманию читателей «Задачник по курсу математического анализа» предназначен в основном для студентов педагогических институтов (хотя большая часть задачника может быть использована и студентами других учебных заведений — университетов, вузов с расширенным курсом математики и т. д.).

Это определило в значительной степени подбор задач. При отборе материала авторы руководствовались действующей программой по математическому анализу для пединститутов. Лишь в нескольких местах они вышли за рамки этой программы (отдельные вопросы теории дифференциальных уравнений, тройных интегралов и т. д.). Разумеется, изучение основного материала не опирается на эти добавления.

Второй том Курса анализа бесконечно малых de la Vallée Poussin’a сейчас впервые появляется на русском языке. Первый том, уже однажды издававшийся (Научным книгоиздательством в 1922 г.), вскоре будет переиздан.

Перевод, в основном, сделан со второго французского издания; последующие издания не содержат уже изложения теории и приложений интегралов Лебега, столь важных для современного анализа, и это заставило нас предпочесть более старое издание. Вместе с тем мы восстановили и теорию эйлеровых интегралов (которыми автор пожертвовал для того, чтобы освободить место для интегралов Лебега), взяв ее из первого французского издания.

Текст этого третьего издания был просмотрен с большой тщательностью, и мы внесли в него значительное число улучшений. Здесь мы укажем лишь важнейшие изменения.

Что касается до элементарной части курса (напечатанной крупным шрифтом), то мы отказались от прежнего определения полного дифференциала и приняли определение Штольца. Преимущества этого определения особенно выяснены работами S. Pierpont’a, M. Fréchet и особенно W. H. Young’a.

Они неоспоримы; благодаря этому, теоремы вытекают из основных положений более непосредственно, теория дифференцирования явных и неявных функций становится более сжатой и, каким-то образом, более удовлетворительной. Отметим еще, что мы придали большую точность доказательствам, относящимся к геометрическим приложениям, выводам о непрерывности или дифференцируемости только в меру необходимости.

Уже при беглом взгляде на первые главы какого-нибудь курса классического анализа нам неизменно бросается в глаза одно обстоятельство. Основные понятия сначала вводятся посредством определений весьма общего характера; но непосредственно вслед за этим приводятся ограничения, суживающие область исследования; и только благодаря этим ограничениям становится возможным продвинуться сколько-нибудь далеко в построении различных теорий, составляющих математическую науку.

Но в таком случае является законным попытаться, возвращаясь к первоначальным определениям, извлечь из них все возможные интересные следствия, сохраняя за этими определениями, насколько возможно, их общий характер.

Таким образом, мы можем поставить себе задачу построить, наряду с известной классической наукой, новую науку, которая, разумеется, будет существенно отличаться от классической не количеством полученных результатов, но взамен того будет создавать предположения большей общности.

Группа французских математиков, объединенная под псевдонимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат по современной математике. Многие выпуски этого трактата уже вышли во Франции, вызвав большой интерес математиков всего мира.

Настоящая книга посвящена функциям одного действительного переменного.

Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов.

Приблизительно в это же время Даниил Бернулли, в связи с задачей о колебании струны, впервые высказывает уверенность в возможности аналитического выражения «любой линии» на отрезке 0, 2π рядом из синусов и косинусов кратных дуг.

Однако положение здесь в значительной степени оставалось невыясненным вплоть до 1805 года, когда Жан Батист Жозеф Фурье в статье о распространении тепла внутри твердых тел представил формулы для коэффициентов разложения функции в ряд по синусам и косинусам кратных дуг. Именно с его именем стали связывать следующие формулы для вычисления «коэффициентов Фурье»

Кратные, криволинейные и несобственные интегралы, теория поля, степенные и тригонометрические ряды — это те разделы математики, с которыми каждому физику приходится встречаться достаточно часто. Им и посвящена эта книга. Такие важные для читателя-физика вопросы, как, например, теория поля, ряды и интегралы Фурье, изложены здесь несколько шире, чем это делается обычно в общих курсах анализа.

Кроме того, в книге излагаются элементы дифференциальной геометрии, а также сведения о тензорах, об асимптотических разложениях и о вычислительных машинах, что обычно не входит в традиционные руководства по анализу.

Эта книга представляет собой второй выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики». Вместе с первым выпуском она соответствует программе курса анализа для физических и физико-математических факультетов.

Четвёртое издание «Краткого курса математического анализа для втузов» выпускается в значительно переработанном виде. Главная цель переработки заключалась в том, чтобы привести «Курс» в соответствие с программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей, утверждённой Министерством высшего и среднего специального образования СССР в 1964 г.

Параграфы и пункты, относящиеся к той части программы, которая может не изучаться во втузах с уменьшенным объёмом курса математики (это относится главным образом к специальностям технологического профиля), отмечены звёздочками; читатель может выпустить эти пункты без всякого ущерба для понимания остального текста. Звёздочками отмечены также относящиеся к этим пунктам вопросы для самопроверки, помещённые в конце каждой главы.

Книга отличается экономностью изложения и естественностью определений, которые достигаются отделкой доказательств и специальным построением теории. Изложение ведется на конкретном материале и прививает навыки самостоятельного обращения с изучаемыми объектами.

Главы «Теория множеств» и «Действительные числа» могут предшествовать серьезному курсу математического анализа. Дальнейшие главы книги излагают материал, обычно входящий в курс теории функций или дополнительных глав анализа.

Книга предназначена для студентов и аспирантов математических отделений (университетов, пединститутов и вузов с математическими специальностями).

Автор уже известен советскому читателю по переводу его «Основ классической теории потенциала» («Мир», 1964).

В книге дано сжатое и замкнутое изложение ряда вопросов, относящихся к тонкой топологии и пространствам Мартина и ранее не освещённых в монографиях.

Книга представляет интерес для математиков и физиков, занимающихся теорией потенциала, теорией функций и теорией вероятностей. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов.

Понятие функции. Способы задания функций. Определение. Одна величина называется функцией двух пе-ременных величин, если каждой рассматриваемой паре значений этих величин соответствует одно или несколько определённых значений первой величины.

Те две переменные, которые изменяются произвольно (значения которых мы назначаем по нашему выбору), называются независимыми переменными.

Опыт преподавания в течение двух лет по предыдущему изданию «Курса» (издания 1950, 1951 гг.), а также критика со стороны лиц, пользующихся «Курсом» как учебником для студентов высших технических учебных заведений, позволили выявить некоторые его дефекты. Цель переработки и заключалась в устранении этих дефектов. Прежде всего из книги исключено всё, что более или менее значительно выходило за пределы программы по высшей математике для вузов и что нельзя было рассматривать как необходимое углубление программного материала.

Во многих местах книга подверглась большому сокращению за счёт удаления сведений и рассуждений, хотя и уточняющих какие-нибудь положения с чисто математической точки зрения, но затрудняющих усвоение главного предмета.

В ряде пунктов упрощена конструкция изложения, доказательства заменены более простыми и чёткими (см. пункты об асимптотах, о формулах Лагранжа и Коши, о формуле Тейлора, о независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования и др.).

Настоящий труд является введением в теорию непрерывных функций, рассматриваемых как предел полиномов данной системы, например, алгебраических многочленов или тригонометрических сумм. В основе этой теории, объединяющей анализ с алгеброй, лежат идеи Чебышева о наилучшем приближении.

Ныне выпускаемая первая часть посвящена систематическому изложению общих теорем о полиномах наименьшего уклонения и решению основных алгебраических экстремальных задач, существенных для последующих аналитических приложений. Далее, исследуется наилучшее приближение аналитических функций в зависимости его асимптотического значения для функций, имеющих заданные особые точки (алгебраические и логарифмические, а также существенные).

Наконец, в последней главе рассматриваются приближения непрерывных функций всей действительной оси при помощи многочленов и рациональных дробей, причем - приравненные свойствам данных функций соответствующим образом распространяются на определенные классы целых трансцендентных функций.

Небольшая книжка известных американских ученых и крупных авторитетов в области прикладной математики Эдвина Беккенбаха и Ричарда Беллмана входит в серию “Новая математическая библиотека”, издаваемую так называемой “Исследовательской группой по школьной математике” Американского математического общества и рассчитанную на самую широкую читательскую аудиторию, начиная со школьников средних классов.

Новые разделы прикладной математики развивались при интенсивном участии Э. Беккенбаха и Р. Беллмана; это вызвало у авторов настоящей книги глубокий интерес и к чисто математическим вопросам теории неравенств, выражением которого явилась их серьезная математическая монография [2*] на эту тему, переведенная ныне и на русский язык.

Совсем иной характер имеет эта небольшая книжка, в которой авторы ограничиваются минимальными материалами, подобранными, с большим вкусом и способными заинтересовать начинающего читателя.

Задачник-практикум предназначен для студентов-математиков заочных отделений педагогических институтов. Он составлен в соответствии с действующей программой курса “Математический анализ и теория функций” и охватывает раздел “Теория аналитических функций”.

Значительно большее внимание по сравнению с другими сборниками подобного рода здесь уделено упражнениям, которые могут быть использованы на факультативных занятиях в школе, и упражнениям, позволяющим учителю более глубоко осмыслить отдельные вопросы школьного курса математики.

В начале каждого параграфа указана литература, в которой читатель найдет необходимый минимум теоретических сведений. Студенту-заочнику достаточно воспользоваться одной (любой) из трех книг [1] — [3].

Проблема моментов связана с многими вопросами математического анализа и теории функций: квадратурными формулами, непрерывными дробями, ортогональными полиномами, интерполяционными задачами теории функций комплексного переменного, квазианалитическими классами и абсолютно монотонными функциями, спектральной теорией операторов и мн. др.

Настоящая книга предназначена широкому кругу читателей, начиная со студентов старших курсов и аспирантов физико-математических специальностей университетов и пединститутов, преподавателям математических факультетов университетов и пединститутов, а также научно-исследовательским работникам в областях анализа, теории функций, теории вероятностей и др.

Предметом настоящей книги являются некоторые специальные вопросы, относящиеся к так называемой проблеме моментов, которые по тем или иным причинам попали в поле интересов авторов.

Книга разбита на отдельные статьи, которые в основном читаются независимо одна от другой; однако, не следует думать, что эти статьи не связаны между собой, наоборот, между ними есть тесная связь и статьи расположены в известной логической последовательности.

Основная статья (L — проблема моментов) своим отправным пунктом имеет некоторые (мало известные) идеи и проблемы, выдвинутые покойным академиком А. А. Марковым [13 b, c, d]*. В ряде работ авторы [1 a — l] завершили и обобщили результаты А. А. Маркова, связав их с современными теориями, которые А. А. Маркову, по-видимому, были неизвестны.

Следующие три статьи трактуют в свете функционального анализа некоторые из вопросов, решенных или затронутых в первой статье.

Венгерский академик Г. Алекcич является признанным специалистом в теории функций действительного переменного. Предлагаемая вниманию читателя его монография освещает современное состояние теории суммируемости и сходимости ортогональных рядов. Наряду с известным материалом книга содержит новейшие результаты из указанной теории.

Последовательное и подробное изложение делает книгу доступной для первоначального чтения. Предполагается лишь, что читатель знаком с основами теорий интегралов Лебега и Лебега — Стиэлтьеса. Вместе с тем имеющийся в книге свежий материал, а также постановка ряда проблем представляет большой интерес и для специалистов — математиков.

Книга представляет собой существенно переработанный вариант книги того же автора “Введение в теорию линейных пространств” (Гостехиздат, 1952 и 1956). Издание соответствует в основном программе университетского курса линейной алгебры и рассчитано в первую очередь на студентов математических, физических и других естественнонаучных специальностей.

Для ее чтения необходимо, как правило, владение лишь элементарной математикой; в отдельных случаях используются сведения из математического анализа с соответствующими отсылками.

В главе 1 излагается теория определителей. В главах 2—7 рассматривается аффинная теория линейных пространств (над произвольным числовым полем), в главах 8—10 — теория евклидовых и унитарных пространств. В главе 11 описываются алгебры линейных операторов в конечномерных пространствах и в главе 12 — соответствующие категории.

В третьем томе книги Клода Шевалле “Теория групп Ли” излагается общая теория алгебр Ли. До сих пор на русском языке не было монографий, посвященных специально этой теории.

Этот том, как и предыдущие, рассчитан на математиков — студентов старших курсов, аспирантов и научных работников.