Моя библиотека: документы

Первый том монографии Клода Шевалле по теории групп Ли был издан в США в 1946 г.; в 1951 г. во Франции вышел второй том, а в 1955 г. — третий. Перевод первого тома вышел в Издательстве иностранной литературы в 1948 г.; перевод третьего тома выйдет из печати вскоре после перевода второго тома.

Настоящий, второй, том посвящен изложению теории алгебраических групп (групп матриц, задаваемых алгебраическими соотношениями между коэффициентами), теории, развившейся за последние годы в значительной мере в работах самого автора. Это первое в мировой литературе систематическое изложение теории алгебраических групп.

Третий том посвящен теории алгебр Ли. Книга рассчитана на математиков — студентов старших курсов, аспирантов и научных работников.

Настоящая книга представляет собой перевод первого тома двухтомной “Теории групп Ли” К. Шевалле и посвящена основам этой теории.

Достоинством книги К. Шевалле является систематическое рассмотрение групп Ли в целом, в отличие от локальной точки зрения, проводившейся обычно в более старых руководствах. Впервые эта система изложений была осуществлена Л. С. Понтрягиным в его книге “Теория непрерывных групп” (Г.Т.Т.И. 1938), в которой, однако, собственно теории групп Ли посвящены лишь последние главы.

Книга К. Шевалле рассчитана на научных работников-математиков, студентов старших курсов и аспирантов. Для ее чтения необходимо владение основными понятиями комбинаторной и теоретико-множественной топологии и абстрактной теории групп.

Электронная версия свободно распространяется в сети Интернет, она бесплатна для персонального использования и учебных целей. Любое коммерческое использование без письменного согласия автора запрещено.

Книга рассчитана как учебное пособие по основному курсу многомерной геометрии и линейной алгебры. На математическом факультете Башкирского Государственного университета этот предмет изучается на первом курсе во втором семестре. Он входит в программу базового математического образования для физико-математических факультетов и изучается во всех университетах России.

Подготовка книги к изданию выполнена методом компьютерной верстки на базе пакета AMS-TeX от Американского Математического Общества. При этом были использованы кириллические шрифты семейства Lh, распространяемые Ассоциацией CyrTUG пользователей кириллического TeX’а.

Настоящая монография представляет обзор важнейших результатов, полученных в настоящее время по теории Галуа. Теория Галуа, как отдельный комплекс проблем и методов, выделяется в математической литературе, насколько мне известно, впервые (см. также мой обзорный доклад на Цюрихском конгрессе математиков, 1932 г.).

Наряду с классической теорией Галуа, посвященной решению уравнений в радикалах (которой посвящена глава II этой монографии), сюда включена проблема построения уравнений с заданной группой (глава III); — проблема, для решения которой привлечены теория идеалов, p-адическое числа, а также теория рациональных функций многих переменных (проблема Лиорота). Далее, глава IV посвящена проблеме резольвент — проблеме, поставленной первоначально Ф. Клейном в более узкой формулировке (проблема форм), а затем расширенной Д. Гильбертом (13-я проблема его доклада на Парижском конгрессе в 1900 г.).

Проблема резольвент потребовала привлечения теории непрерывных групп, теории, весьма далекой от алгебры по своему методу. Наконец, глава содержит ряд обобщений теории Галуа; с одной стороны, распространенных концепт. Галуа на поля более общего вида; а с другой стороны с привлечением решений не групповыми методами, но близких к теории Галуа по теме. Сюда относятся: теория абелевых и аналогичных интегралов, и модульные функции. Эти обобщения имеют разное значение, должны в будущем составить главы Науки о рациональном.

Появление в свет настоящей книжки вызвано желанием несколько восполнить пробел в нашей литературе по теории алгебраических функций. Это обширное направление, которое во второй половине прошлого века владело умами весьма многих, притом лучших, математиков, затем одно время как будто было забыто, теперь снова возрождается в модернизированном виде, и связано с новыми интересными проблемами.

У нас и раньше были специалисты, посвятившие себя теории алгебраических функций, как, например, Долина (интегрирование абелевых интегралов в конечном виде), Покровский (теория гиперэллиптических функций); у нас был довольно обстоятельный учебник Тихомандрицкого и краткий курс Ермакова, правда, не свободный от ошибок. Однако в последнее время теория и её способ изложения настолько изменили своё лицо, что перечисленные книги надо считать устаревшими.

В 144 томе J. f. r. u. a. Math. Громмер доказал, что достаточным условием вещественности корней трансцендентного уравнения является положительность всех вариантов Штурма — Борхардта (только здесь их будет бесчисленное множество). В своем доказательстве он пользуется разложением трансцендентных функций в непрерывные дроби, причем попутно затрагивает вопросы из мало исследованной области в теории множеств.

Это побудило меня попытаться достичь тех же результатов приемами элементарного характера. Именно, я воспользовался обобщением на трансцендентные уравнения способа Грефдера для приближенного вычисления корней (это обобщение уже опубликовано Поля в одном из послевоенных томов Ztschr. f. Math. i. Phys.). Здесь корни располагаются в порядке возрастающих модулей.

И вот оказалось, что положительность вещественных или комплексных корней, занимающих четные места, причем четность места, имеется четную зависимость, однако, оказалось, что знание характера конечного числа вариантов ничто не говорит о характере корней.

Николай Григорьевич Чеботарев был одним из крупнейших современных алгебраистов. Работы его о плотностях простых идеалов и о резольвентах принадлежат к числу наиболее выдающихся алгебраических работ последних десятилетий.

Николай Григорьевич родился 15 июня 1894 г. Еще в младших классах гимназии начали обнаруживаться его исключительные математические способности. В 1912 г. Н. Г. поступает в Киевский университет. Эти годы были годами расцвета алгебраической школы Д. А. Граве. Н. Г. посещает семинары Граве, изучает теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций и многое другое; в эти же годы он делает первую работу — доказывает свою “арифметическую теорему монодромии” о том, что композиции группы инерции образуют группу Галуа.

На 1915 и 1916 годы Киевский университет в связи с войной эвакуируется в Саратов; здесь, передал Граве, созревает Чеботарев. В своей “арифметической теореме монодромии” Чеботарев дал глубокое и плодотворное аналитическое истолкование к данному вопросу, что позднее прославило его имя.

Настоящая книга является продолжением части I «Основы теории Галуа», изданной ОНТИ в 1935 г., и посвящена исследованию свойств алгебраических чисел в связи с теорией Галуа. Она предназначена для научных работников и аспирантов-специалистов.

Настоящая книга не является первой в русской литературе, в которой излагается теория Галуа. Она изложена в курсах алгебры Ващенко-Захарченко, Граве, Сушкевича; ей посвящено несколько монографий на русском языке.

Теория Галуа вышла из рамок, которые были намечены ее творцом. Вопрос о решении уравнений в радикалах перестал быть центральным в алгебре, но теория Галуа продолжает играть в ней главную роль. Появилось немало других алгебраических вопросов, решаемых при помощи теории Галуа: связь между групповой и арифметической природой уравнений, проблема резольвент и т. п.

Я не говорю уже о том, что идеи Галуа глубоко проникли в другие отделы математики и частью создали, частью подвинули вперед такие математические дисциплины, как дифференциальные уравнения, автоморфные функции, комбинаторную топологию и т. п.

Известна фундаментальная роль, которую сыграли исследования Ньютона в развитии анализа бесконечно малых. Большинство его идей растворилось в работах позднейших авторов, часто не сохранив ни имени Ньютона, ни его способа обозначений.

Но в современной математике известно немало методов и результатов более частного характера, носящих имя Ньютона. Их значение было вскрыто лишь в гораздо более позднюю эпоху, когда общий прогресс математики дал возможность оценить важность того или иного результата Ньютона, записанного часто в виде небольшого замечания.

К числу такого рода результатов относится «многоугольник», или, как его часто называют, «параллелограм» Ньютона, который и будет служить предметом настоящего обзора.

Эта небольшая книжка издаётся по рукописи, оставшейся после безвременной кончины Николая Григорьевича Чеботарёва летом 1947 г.

Рукопись, по всей вероятности, должна была составить часть одной из глав давно задуманной Н. Г. Чеботарёвым третьей части его известной книги «Теория Галуа». Однако она представляет ценность и независимо от общего замысла книги, так как содержит достаточно законченный круг вопросов, а принятый автором способ изложения прельщает очень умеренными требованиями к первоначальной подготовке читателя: чтение почти всей книжки доступно уже при том небольшом знакомстве с теорией полей, которое предусмотрено программами первого курса университетов, и только заключительные параграфы требуют знания элементов теории Галуа.

Эта особенность книжки, можно надеяться, в значительной степени способствует освоению новейших систем, созданных в последние десятилетия.

По замыслу автора книга должна служить одновременно и учебником по теории групп, предназначенным для студентов и аспирантов, и монографией по некоторым избранным разделам этой дисциплины, находящимся в настоящее время в центре внимания специалистов.

Первые десять глав, снабженные упражнениями, представляют классический курс теории групп и могут быть использованы в качестве учебника. Последние десять глав носят более специальный характер и посвящены избранным вопросам теории групп.

Книга доступна студентам математических факультетов университетов и пединститутов; студенты-физики найдут в этой книге необходимые им элементы теории представлений групп; специалист же найдет в ней изложение результатов, опубликованных только в журнальной литературе.

Предлагаемая книга посвящена методу, называемому методом уравнений с некоммутативными коэффициентами. Этот метод применяется нами к исследованию достаточно широкого круга задач из различных разделов математики: дифференциальной и разностной алгебры, теории Пикара – Вессио, математического анализа, алгебраической теории линейных обыкновенных линейных дифференциальных (ОЛДУ) и разностных уравнений (ОЛРУ), функционально – дифференциальных уравнений (ЛФДУ), методов интегрирования ОЛДУ и ОЛРУ.

Рассматриваются следующие задачи: факторизация ОЛДУ, ОЛРУ и обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (ОНДУ), исследование на совместность систем ЛФДУ, отыскание лиувиллевских решений ОЛДУ, вычисление неопределенных интегралов в замкнутом виде, прямая и обратная задачи дифференциальной теории Галуа (построить по данному ОЛДУ его дифференциальную группу Галуа и, соответственно, по дифференциальной группе Галуа построить класс ОЛДУ, допускающий эту группу). Все эти задачи известны и для некоторых из них имеется решение.

Книга известного американского математика Херстейна является введением в теорию ассоциативных колец. Простотой изложения и удачным подбором материала она привлекает внимание как алгебраистов, так и математиков других специальностей.

Несмотря на элементарный в целом характер, книга затрагивает ряд довольно серьезных результатов, полученных в недавнее время. Большое внимание уделяется приложениям, особенно в теории представлений групп. Книга будет полезна студентам, аспирантам и преподавателям университетов и педвузов.

Книга профессора Будапештского университета Л. Фукса представляет собой первый в мировой литературе систематический обзор основных результатов исследований по теории упорядоченных и частично упорядоченных групп, колец и полугрупп. К русскому изданию автором сделаны большие добавления.

Книга будет интересным и ценным пособием для всех алгебраистов, начиная от студентов старших курсов и кончая преподавателями и научными работниками, а также для математиков других специальностей.

Второй том известной монографии Л. Фукса (т. 1 вышел в издательстве «Мир» в 1974 г.) содержит многочисленные результаты структурной теории абелевых групп, полученные в самые последние годы. В книге охвачен широкий круг вопросов, причем, как и в первом томе, изложение сопровождается значительным количеством упражнений.

Оба тома в совокупности представляют собой своего рода энциклопедию по абелевым группам — в основном тексте и в упражнениях можно найти почти все важные результаты этой теории. Интересен и приведенный автором список нерешенных проблем.

Книга полезна каждому математику, работающему в области теории групп, теории модулей и колец, топологии.

Известный математик Ласло Фукс уже знаком советскому читателю по русскому переводу его книги «Частично упорядоченные алгебраические системы» («Мир», 1965). Его новая двухтомная монография посвящена абелевым группам.

Первый том включает в себя все основополагающие результаты теории, а также ее гомологический аспект. В нем поставлено 50 нерешенных проблем. Книга заполняет существенный пробел в математической литературе по этому вопросу на русском языке. От читателя не требуется специальных знаний, что позволяет использовать книгу и для первого знакомства с общей алгеброй.

Книга полезна каждому математику, работающему в теории групп, теории модулей и колец, топологии, гомологической алгебре.

Настоящий сборник девяти ставших классическими работ Фробениуса по теории характеров и представлений групп предоставляет собой связное целое, — полное изложение относящихся к 1896 — 1901 годам исследований Фробениуса по названным вопросам, — исследований, являющихся в этих вопросах первоисточником.

Хотя теория характеров групп позднее (в 1905 г.) была весьма упрощена И. Шуром, и в распространённых в настоящее время учебниках по теории групп (О. Ю. Шмидта, А. Шпейзера) изложена именно эта упрощенная теория Шура, но первоисточники теории характеров — работы Фробениуса — далеко не утратили своего значения. Теория Фробениуса гораздо глубже и ознакомление с нею весьма ценно для всех, кто интересуется теорией групп. Поэтому издание перевода известных классических работ Фробениуса является весьма своевременным. Для облегчения чтения издаваемых работ в конце книги дан ряд примечаний, содержащих характеристики каждой из работ и разъяснения наиболее трудных мест; число этих примечаний невелико.

В самом конце книги указана (без претензии на полную) дальнейшая литература, относящаяся к теории характеров и представлений групп.

Основные числовые системы — арифметика натуральных чисел, кольцо целых рациональных чисел, кольцо полиномов, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел и др. — изучаются математиками с древних времён. Многие понятия и идеи, возникшие при изучении этих систем, породили новые направления в науке и сыграли важную роль в развитии математики и её приложений.

Теория числовых систем поэтому лежит в основе всех математических курсов, читаемых сейчас в высших учебных заведениях и входит в программу курсов алгебры, математического анализа, вычислительной математики. Каждый лектор при этом выбирает из обширного материала то, что ему кажется наиболее важным, излагает его с своей точки зрения, иллюстрируя на классическом материале нужные ему идеи и конструкции.

Естественно, что никакой целостной картины при этом, как правило, не возникает. И в литературе на русском языке нет полного изложении как этой теории, так и трудов многих выдающихся математиков, которые учитывались бы интересы широкого круга читателей. Этот пробел отчасти будет восполнен предлагаемым переводом книги Ферремана “Числовые системы”.

Предлагаемый сборник задач по высшей алгебре возник в результате преподавания в Ленинградском государственном университете и Педагогическом институте им. Герцена. Сборник предназначен для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов при прохождении ими основного курса высшей алгебры.

Задачи сборника довольно резко разделяются на два типа. С одной стороны, собрано большое количество численных примеров, предназначенных для выработки вычислительных навыков и иллюстрирующих основные положения теоретического курса. Количество примеров, по мнению авторов, вполне достаточно для аудиторной работы, работы на дому и для контрольных работ.

В основу настоящего сборника положен «Сборник задач по высшей алгебре» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, 2-е издание (1949 г.), в дальнейшем издававшееся стереотипно. Однако он существенно переработан. Включены два новых отдела — элементы теории чисел и элементы теории групп, сильно тематически расширены отделы, посвященные линейной алгебре. Во все главы включены примеры, связанные с полями и кольцами вычетов. Много задач исключено.

Изменена и планировка глав. По-прежнему сохранено два концепта в линейной алгебре: первый (главы III, IV) носит формально-калькулиативный характер, а второй (глава VIII) геометрический. Сокращены подробные решения. Для задач, снабженных указаниями (они отмечены звездочкой), текст решения часто является непосредственным продолжением текста указания.

Книга посвящена численным методам решения задач алгебры, в основном методам отыскания собственных значений матриц и соответствующих им собственных векторов. Однако в ней достаточно полно представлены методы решения и других задач алгебры, таких как решение систем линейных алгебраических уравнений, отыскание корней функций и т. д. Книга состоит из девяти глав.

В главах I, II излагается вспомогательный материал, содержащий основы теории линейной алгебры.

Главы III, IV, V содержат анализ ошибок округления простейших операций, некоторых линейных преобразований, методов решения систем линейных уравнений. Материал этих глав является фундаментом всех дальнейших исследований.

Главы VI, VII содержат описание и анализ ошибок метода приведения общей матрицы к матрице специального вида. Рассматриваются методы решения полного приведения собственных значений этих матриц.

В главах VIII, IX излагается обширный материал с анализом ошибок по решению полного привода собственных значений степенными методами.

В предлагаемом выпуске печатаются работы, относящиеся как непосредственно к теории решеток, так и к ее приложениям в различных областях алгебры.

Сборник может быть полезен научным работникам, аспирантам и студентам, занимающимся или интересующимся общей алгеброй.

В четвертом выпуске сборника помещаются работы, посвященные как непосредственно изучению упорядоченных множеств и решеток, так и исследованию свойств, связанных с упорядоченностями различных алгебраических систем.

Сборник представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов алгебраических специальностей.

В предлагаемоm выпуске сборника «Упорядоченные множества и решетки» помещается серия обзоров по теории решеток (структур). Эти обзоры составлены в основном по материалам реферативного журнала «Математика» за период с начала 1969 г. по июнь 1973 г. включительно. Они тесно связаны с предыдущими обзорами по теории решеток (структур), появившимися в серии «Итоги науки».

Сборник представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов, которые занимаются современной алгеброй.

Настоящая монография представляет собой, быть может, первое по времени, связное изложение теории всех типов обобщенных групп. Сюда вошли как мои собственные исследования, изложенные частью в моей диссертации,¹ частью в отдельных моих работах, помещенных в разных математических журналах, так и исследования других математиков, посвященные обобщенным группам.

Несмотря на мои старания охватить предмет как можно полнее, я, конечно, не могу претендовать на исчерпывающую полноту; могу только сказать, что использовал всю доступную мне литературу, относящуюся к обобщенным группам, и считал необходимым дать читателю хотя бы небольшое представление о всех известных мне типах обобщенных групп.

В настоящей книге изложены классические результаты о строении нормальных делителей полной линейной группы над телом, теоремы Бернсайда и Шура о периодических линейных группах, теорема о нормальном строении SL(n, Z) при n > 2. Кроме того, здесь содержится теория разрешимых, нильпотентных и локально нильпотентных линейных групп. Более полное представление о содержании дает следующий обзор ее глав.

В первой главе речь идет о группах подстановок (конечных и бесконечных). После изложения начальных сведений устанавливается связь теории примитивных разрешимых групп подстановок (не обязательно конечной степени) с теорией разрешимых линейных групп над простыми полями. Здесь же изучаются нильпотентные и локально нильпотентные группы подстановок.

Дано, например, полное описание максимальных нильпотентных подгрупп симметрической группы конечной степени. Доказана, например, теорема о сопряженности максимальных транзитивных нильпотентных подгрупп конечной симметрической группы.

Книга М. Судзуки посвящена вопросу, возникшему из двух больших разделов математики: теории групп и теории структур. В ней рассматривается структура, которую образуют все подгруппы группы, и изучаются взаимодействия свойств этой структуры со свойствами самой группы. Она содержит обзор основных достижений в указанной области и может служить хорошим дополнением к имеющейся алгебраической литературе.

Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов, интересующихся современной алгеброй, особенно теорией групп, теорией структур и их приложениями.

Книга известного американского математика, содержащая весьма полное и последовательное изложение идей, методов и результатов современной алгебраической топологи, включая теорию гомотопий, гомологий, теорию препятствий и т. д. После каждой главы приводятся упражнения, удачно дополняющие основной текст. От читателя не требуется почти никаких предварительных знаний в этой области.

Книга может служить как учебником, так и справочником по алгебраической топологии и будет полезна весьма широкому кругу математиков, начиная со студентов младших курсов.

Книга написана на основе лекций американского математика Р. Стейнберга, прочитанных им в Йельском университете (США). Хотя объем книги невелик, в ней дано, по-видимому, наиболее полное из существующих изложение теории групп Шевалле — одного из важных разделов математики, объединяющего идеи алгебры, анализа и теории чисел.

Она будет интересна широкому кругу математиков. Написанная одним из ведущих специалистов, она вполне доступна студентам университетов и педагогических институтов.

Предлагаемая книга представляет собой монографию, посвященную теории многомерных матриц и детерминантов и ее различным приложениям. В ней обобщаются основные результаты обычного матричного исчисления на случай пространства трех и большого числа измерений и рассматриваются вопросы, еще мало освещенные в русской математической литературе.

Основной текст сопровождается упражнениями, значительно расширяющими его содержание. Книга рассчитана на научных работников в области математики и ее приложений.

Настоящее руководство адресовано тем математикам, которые хотят ознакомиться с основами теории структур, хотя еще (или уже!) не избрали эту ветвь алгебры своей специальностью. Поэтому при отборе результатов предпочтение отдавалось тем из них, которые или способствуют выработке теоретико-структурного мышления, или находят применение в других областях математики. Для более полного знакомства с теорией структур следует обратиться к монографиям Биркгофа и Сикорского.

Последние достижения теории структур освещены в соответствующих статьях сборника «Итоги науки». Необходимые библиографические указания имеются в конце книги. Там же перечислены известные автору учебники по теории структур. Некоторые из них сопровождаются обширными списками журнальной литературы. Автор не чувствовал себя ограниченным указанным автором некоторых из включенных в него результатов.

«Все в связи и взаимодействии». Нахождение частных проявлений этого общего закона, т. е. установление связей между различными явлениями, — одна из основных задач всякой науки. Поэтому всегда приятно, когда обнаруживаются глубокие связи между, на первый взгляд, совершенно разнородными математическими объектами.

Одна из таких связей — связь между дедекиндовыми структурами с дополнениями и регулярными кольцами — вскрылась на стыке алгебры, геометрии и функционального анализа. Более подготовленный читатель может познакомиться с этой идеей подробнее, прочитав следующее ниже введение. Менее подготовленному придется начинать с основного текста, чтение которого формально не требует никакой предварительной подготовки.

Все используемые понятия, кроме идеала кольца и частично упорядоченного множества, определяются. Доказательства, особенно на первых порах, проводятся весьма подробно. Ряд интересных результатов, не вошедших в основную линию изложения, упомянут в последнем параграфе. Там же формулируются некоторые проблемы.

Автор — выдающийся французский математик, знакомый советскому читателю по русскому переводу его монографий «Алгебраические группы и поля классов», «Когомологии Галуа» («Мир», 1968) и «Группы Ли и алгебры Ли» («Мир», 1969). С присущим ему мастерством он излагает классическую теорию представлений конечных групп над полем комплексных чисел и теорию Брауэра (теорию модулярных характеров).

Книга представляет интерес для математиков различных специальностей, в первую очередь для специалистов по алгебре и функциональному анализу. Основная ее часть доступна студентам и аспирантам-математикам, а также физикам и химикам-теоретикам.

Современный университетский учебник повышенного типа по теории чисел. Сжатое, но весьма содержательное изложение ведется с позиции современной алгебры; развиваются теория конечных полей, теория p-адических чисел, локальная теория квадратичных форм, начальные сведения из теории L-рядов с теоремой Дирихле о прогрессии, элементы теории модулярных форм.

Автор — выдающийся французский математик; вышедшие в русском переводе его книги: «Алгебраические группы и поля классов», «Когомологии Галуа» («Мир», 1968), «Алгебры Ли и группы Ли» («Мир», 1969), «Линейные представления конечных групп» («Мир», 1970) получили высокую оценку советских ученых. Новый труд Ж.-П. Серра, несомненно, будет пользоваться еще большей популярностью. Он заинтересует математиков различных специальностей и окажется полезным преподавателям, аспирантам и студентам университетов и пединститутов.

Книга известного французского математика, уже знакомого нашему читателю по переводам его книг “Алгебраические группы и поля классов” и “Когомологии Галуа” (изд-во “Мир”, 1968), содержит изложение основ теории алгебр Ли и групп Ли, а также теорию комплексных полупростых алгебр Ли.

Наряду с классическими случаями вещественных и комплексных групп Ли она охватывает случай p-адических групп Ли и является единственной в мировой литературе книгой, содержащей подробное изложение теории p-групп с точки зрения классических методов теории групп Ли.

Книга рассчитана на студентов старших курсов и аспирантов. Может быть полезна математикам различных специальностей.

За последние годы в содержание обязательных алгебраических курсов, читаемых на механико-математическом факультете Московского университета, внесены значительные изменения. С 1964 года на втором семестре читается курс «Линейная алгебра и геометрия», в котором изучаются n-мерное аффинное (точечно-векторное) пространство, тензорная алгебра и другие вопросы, не входившие ранее в курс высшей алгебры.

С другой стороны, в курсе высшей алгебры на первом семестре рассматриваются понятия идеала, фактор-кольца и связанные с ними свойства полей и многочленов, а на третьем семестре одним из основных стало понятие модуля над кольцом.

В связи с этим в третье издание этого задачника внесены дополнения. Расширен параграф о кольцах и полях и добавлены пять новых параграфов, содержащих дополнительный материал о линейных пространствах, линейных и билинейных функциях, модулях, аффинных пространствах и тензорах.

Книга известного французского математика Ж. Серра стала одной из классических книг по алгебраической геометрии. Она не требует больших предварительных знаний и вводит читателя в круг современных вопросов.

С большим педагогическим мастерством в ней излагается ряд основных понятий алгебраической геометрии (алгебраические кривые и поверхности, теорема Римана — Роха, якобиевы многообразия кривых и т. д.).

Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и педагогических институтов.

Настоящий перевод трудов семинара “Софус Ли” содержит систематическое и полное изложение теории алгебр Ли и некоторых вопросов топологии групп Ли. Целый ряд содержащихся здесь фактов можно найти лишь в разрозненных журнальных статьях.

В процессе изложения авторы используют методы и результаты различных разделов современной математики, в частности гомологической алгебры и алгебраической геометрии. Книга будет с интересом прочитана студентами старших курсов математических факультетов, аспирантами и научными работниками, интересующимися теорией алгебр и групп Ли и смежными вопросами.

Монография видного индийского математика посвящена интенсивно развивающемуся разделу теории групп — дискретным подгруппам групп Ли. Наряду с современным изложением данных, ставших уже классическими, книга включает ряд глубоких результатов, полученных в последнее время. Она объединяет богатый фактический материал по теории дискретных подгрупп, накопленный за последние 15 лет и известный ранее лишь по журнальным публикациям.

Книга представляет интерес для математиков различных специальностей и вполне доступна студентам-математикам старших курсов университетов и пединститутов.

Книга содержит переводы лекций, прочитанных выдающимися специалистами в летней школе, посвященной алгебраическим группам и дискретным подгруппам, которая была организована Американским математическим обществом в Колорадо в 1965 г., а также статьи А. Сельберга и Р. Годемана о теории Ленглендса.

Книга в целом дает представление о современном состоянии ряда важных разделов теории автоморфных функций. Освещенный в ней материал связан с самыми различными разделами современной математики, в том числе алгеброй, анализом и геометрией.

Книга предназначена в первую очередь для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области алгебры и функционального анализа, однако она будет полезна и математикам других специальностей.

Эта книга представляет собой переработанный и значительно расширенный вариант книги автора «Основы теории Галуа», выпущенной в свет Физматгизом в 1960 г. При переработке автор стремился сохранить элементарный характер книги, так что от читателя по-прежнему требуется владение лишь основами высшей алгебры в объеме действующей программы первого курса университетов. К сожалению, автор был лишен возможности пополнить книгу упражнениями. Как и в «Основах теории Галуа», задачи, включенные в текст книги, совершенно тривиальны и предназначены исключительно для самоконтроля читателя. ъ

Теория Галуа по-прежнему излагается для полей, принадлежащих некоторому единому «универсальному» алгебраически замкнутому полю характеристики 0 (для определенности — полю комплексных чисел). Это позволяет избежать труднодоступных для начинающего абстракций теорем о существовании и единственности (с точностью до изоморфизма) поля разложения данного многочлена. С другой стороны, при таком изложении фактически потеря общего не происходит, поскольку любое поле, как известно, вложимо в алгебраически замкнутое.

Под алгебраической системой, или структурой, в настоящей книге мы понимаем, как это сейчас принято, множество с некоторым набором алгебраических операций и отношений, определенных на этом множестве. В последнее время все более возрастает интерес к различным новым типам алгебраических систем, и теперь уже группы, так же как и кольца, — это только частные представители общего семейства таких систем. Вместе с тем группы все еще продолжают находиться на «особом» положении.

Причины здесь ясны. Во-первых, группы пришли в математику раньше других абстрактных алгебраических систем и к настоящему времени достигли наибольшей степени зрелости. Во-вторых, структура группы является одной из составных частей многих важных алгебраических систем, охватываемых, например, общим понятием мультиоператорной группы. И, наконец, что для нас особенно важно, группы — всякая автоматно-ка адзко индивидуальной алгебраикой, в вообще математической, структуры есть группа.

Настоящая книга предназначается в качестве учебника для физико-математических факультетов педагогических институтов по разделу «Алгебра» специального курса элементарной математики. Книга содержит весь учебный материал, предусмотренный программой указанного раздела.

Работа студента педвуза над элементарной математикой (как одной из профилирующих дисциплин) не ограничивается изучением курса, предусмотренного программой. Успешное прохождение методики преподавания математики и педагогической практики, занятия в спецсеминарах, а также выполнение курсовых работ немыслимы в отрыве от углубленного изучения элементарной математики. Это понятно, так как от будущего учителя требуется безупречное знание тех дисциплин, которые он станет преподавать по окончании института.

С точки зрения чисто логической, непрерывная или, что то же самое, топологическая группа представляет собой простое соединение двух основных математических понятий: группы и топологического пространства, именно, элементы одного и того же множества составляют группу и в то же время топологическое пространство.

Ясно, что такое объединение не имело бы никакого смысла, если бы алгебраические и топологические операции, определенные на одном и том же множестве, не были связаны между собой. Связь эта существует и заключается в том, что групповые операции умножения и взятия обратного элемента непрерывны в смысле заданной топологии.

Книга посвящена точным решениям математических уравнений различных типов (алгебраических, тригонометрических, обыкновенных дифференциальных, с частными производными первого порядка, математической физики, интегральных, функциональных, дифференциальных с запаздыванием, функционально-дифференциальных и др.).

Особое внимание уделяется уравнениям, которые встречаются в различных областях естественных и инженерных наук (в теории тепло- и массообмена, теории волн, гидродинамике, газовой динамике, теории горения, теории упругости, общей механике, теоретической физике, нелинейной оптике, биологии, химической технологии, экологии и др.) и уравнениям достаточно общего вида, которые зависят от свободных параметров или произвольных функций. Рассматриваются также уравнения, которые изучаются в университетах и технических вузах.

Точные решения уравнений играют важную роль стандартных «математических эталонов», которые широко используются для оценки точности и разработки различных честных, аналитических и приближенных аналитических методов.

Книга не имеет аналогов в мировой литературе и содержит много нового материала, который ранее не публиковался. Изложение ведется в соответствии с принципом «от простого к сложному».

В книге излагаются основы теории нормированных колец и их обобщений и приложения этой теории к анализу, теории приближений функций в комплексной области, теории представлений групп, гармоническому анализу на коммутативной группе и др. вопросам.

Краткое содержание книги:

Глава I — основные сведения из топологии, функционального анализа и теории интегрирования в форме, удобной для использования в остальных частях книги.
Глава II — основные сведения из теории нормированных колец.
Глава III — теоремы коммутатных нормированных колец.
Глава IV — теория представлений симметричных колец.
Глава V — теория различных классов колец.
Глава VI — групповые кольца, теория унитарных представлений топологических групп.
Глава VII — слабо замкнутые кольца.
Глава VIII — разложение кольца операторов в гильбертовом пространстве на неприводимые кольца и применение к разложению унитарного представления группы на неприводимые представления (написана заново).

Книга написана в соответствии с программой курса «Числовые системы» для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов. Важный вопрос школьного курса математики — построение основных числовых систем рассматривается в ней с позиций современной науки.

В этой книге глубокие математические идеи, с которыми студенты знакомятся в курсах математического анализа, алгебры и теории чисел, применяются для последовательного построения основных числовых систем — натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных, а также р-адических чисел и кватернионов.

Книга построена с учетом выделения части материала для самостоятельного изучения студентами и для проработки на семинарских занятиях. Этому способствуют вводки, сопутствующие каждому параграфу. Некоторые из них затрагивают дополнительный материал, который может служить основой курсовых работ.

Автор признателен всем лицам — и особенно Л. Л. Степановой, высказавшим свои замечания по рукописи этой книги.

Книга, написанная одним из ведущих специалистов в теории групп, Ханной Нейман, посвящена молодой и бурно развивающейся области алгебры — многообразиям групп. В ней также освещены вопросы, связанные с относительно свободными группами и тождественными соотношениями в группах.

Монография представляет собой интерес прежде всего для алгебраистов, но ее будут читать и математики других специальностей. Она вполне доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.

Известно, что основной теоремой алгебры называется теорема, доказывающая, что заданное алгебраическое уравнение степени m имеет ровно m корней. Однако данная теорема не определяет формул для нахождения этих корней, поэтому задача нахождения корней алгебраического уравнения степени m является, по сути, основной задачей алгебры (во всяком случае, она являлась таковой с XVI по XIX век 1).

Так как все достижения в этом направлении, за более чем пятьсот лет интенсивного развития алгебры, характеризуются только тем, что получены (в рамках) формулы для корней алгебраических уравнений выше четвертой степени, то это означает, что данная проблема продолжает оставаться актуальной.

Несмотря на то что Абель, а затем и Галуа доказали, что формул в радикалах для алгебраических уравнений степени выше чем четыре установить нельзя, тем не менее задача нахождения таких формул продолжала оставаться нерешенной, и до сих пор не удалось. Безуспешные усилия в этом направлении привели к тому, что выдающимися математиками прошлого (Ньютон, Лейбниц, Коши, Эйлер, Лобачевский и др.) была решена гораздо более простая задача построена теория вычисления корней алгебраических уравнений степени n 1, физикатеории которой лишь одна точка, т. е. при конкретных числовых значениях коэффициентов этого уравнения.

Поскольку вычисления составляют основу арифметики, то теория вычисления корней алгебраических уравнений является, по сути, высшим достижением арифметики.