Моя библиотека: документы

Мы продолжаем формализованное описание математики. Основным объектом первой части курса было математическое доказательство; было показано, что его подходящим формальным аналогом является понятие вывода в языке, после чего самые интересные результаты утверждали невозможность осцлерательных математических утверждений (например, гипотезы континуума).

Основным объектом этой второй части курса будет детерминированный процесс вычисления, или переработки нечисловой информации, короче, алгоритм. Будет построено подходящее формальное описание алгоритмов (точнее, результаты их действий), и самые интересные результаты окажутся утверждением о несуществовании алгоритмов, вычисляющих содержательно описываемые функции.

Содержанием математической логики является изучение языка математики. Разумеется, забота о языке и постоянная его перестройка для приведения в соответствие с меняющимся состоянием знаний характерна для любой естественной науки (ср. судьбу “флогистона” и “мирового эфира” в физике).

Тем не менее, необходимая работа обычно осуществляется по ходу дела, и то пристальное критическое рассмотрение, которому математика подвергла самое себя и свои средства выражения, представляется уникальным.

Причина этого состоит, конечно, в том, что все остальные естественные науки имеют предмет, внешний им, и эволюция языка наук определяется постоянным сравнением научного описания с описываемой реальностью.

В наши дни широкого использования математических методов исследования во многих областях науки и искусства современная логика привлекает все большее внимание исследователей. Однако при этом на первый план зачастую выходит формальный аппарат логики, а не идейная ее сторона. Именно этим идейным аспектам логики, пока незаслуженно остающимся на втором плане, посвящены в основном «Заметки по логике».

Автор избрал внешне свободный стиль изложения и, не углубляясь в технические детали, очень ярко выявил основные идеи логики. Не приводя ни одного сложного и громоздкого доказательства, он тем не менее нигде не ограничился общими описаниями. Очень ценен для начинающего читателя набор задач, которые призваны привить вкус к самостоятельным исследованиям по логике.

Книгу с большим интересом прочтут и те, кто только начинает заниматься математикой (на первом курсе вузов или в старших классах средней школы), и специалисты.

Эта книга, посвященная проблемам математической логики, написана легко, увлекательно и остроумно в виде разговора учителя с учениками, разбирающими доказательства знаменитой теоремы Эйлера о многогранниках и получающихся при этом парадокcах. Ошибки, которые делают ученики, в действительности были допущены различными математиками XIX в., что раскрывается в подстрочных примечаниях, дающих полную историю вопроса. Книга может быть прочитана не только математиками, она вполне доступна школьникам старших классов.

Книга является самой обширной из имеющихся монографий по математической логике и теории рекурсивных функций. Она не предполагает со стороны читателя никаких специальных познаний и потому может считаться общедоступной.

Книга предназначена для глубокого изучения предмета и рассчитана как на специалистов по математической логике и теории рекурсивных функций, так и на лиц, желающих впервые, но серьезно, изучить эти науки.

Книга посвящена графическому аппарату математической логики — диаграммам Веннa, их истории и применению. Автор показывает, что диаграммы Веннa могут облегчать решение различных задач математической логики и задач, связанных с построением надежных автоматов из не вполне надежных элементов.

В книге разбирается ряд задач, сформулированных Булем, Джевонсом, Порецким и другими логиками, и показывается развитие метода диаграмм в связи с задачами логики высказываний и логики одноместных предикатов, а также в связи с проблемами теории нейронных схем.

В данной книге кратко и доступно для начинающих изучение логики излагаются основные законы, правила, методы и термины традиционной логики.

Поскольку в настоящее время в логике все более широко применяются математические методы и специальный аппарат математической логики, в книге даны статьи, разъясняющие исходные термины, символы, правила и законы этой науки.

В книгу включены также статьи о некоторых понятиях диалектико-материалистической теории познания и диалектической логики.

Настоящее пособие предназначено в первую очередь ученикам IX—X классов средней общеобразовательной школы, интересующимся математикой. Учителя математики также найдут в нем материал, который смогут использовать в своей работе.

Первоначальные сведения из математической логики используются автором для разъяснения таких важных для математики понятий, как взаимно-обратные и взаимно противоположные теоремы, необходимые и достаточные условия, математическая индукция.

Имя одного из крупнейших современных специалистов в области математической логики С. К. Клинк знакомо советскому читателю по русскому переводу его фундаментального труда “Введение в метаматематику” (ИЛ, 1957), ставшего настольной книгой для всех, кто занимается математической логикой, рекурсивными функциями и основаниями математики. Новая его книга представляет собой существенно усовершенствованный, расширенный и приближенный к нуждам университетского преподавания вариант чисто логической части этой всемирно известной монографии. Тщательно продуманные иллюстративные упражнения помогают читателю усвоить излагаемый материал.

Книга может быть использована как учебное пособие по курсу математической логики в университетах и пединститутах; таким образом, она адресована прежде всего преподавателям, аспирантам и студентам. Она привлекает также внимание всех занимающихся или интересующихся математической логикой.

Небольшая монография, посвященная теории классов моделей — области математической логики, интенсивно развивавшейся в течение последних 10–15 лет. Содержание монографии — обобщение теории моделей на случай произвольного пространства истинности.

Такого рода модели сейчас широко используются в математике. Для чтения книги требуются лишь знание основ топологии и теории множеств и элементарные сведения по математической логике. Изложение сопровождается упражнениями и задачами.

Книга будет полезна не только специалистам, но и тем, кто хочет начать работать в этом плодотворно развивающемся направлении математической логики или хотя бы получить первоначальное представление о нем.

Книга американского ученого посвящена детальному изучению основных понятий математической логики на современном этапе. Она содержит общую теорию формальных систем и исчислений. После детального обсуждения общеметодологических вопросов автор последовательно описывает исчисления, содержащие импликацию, отрицание и кванторы. Последняя глава знакомит читателя с некоторыми вопросами теории модальностей. Последовательный конструктивный подход характерен для всех доказательств и определений.

Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области математической логики, но она, безусловно, доступна всем, кто интересуется фундаментальными проблемами этого раздела математики.

Эта книга представляет собой сборник переводов (единственное исключение составляет статья Г. Е. Минца; см. ниже) статей по теории логического вывода. Возросший за последнее время интерес к этой области математической логики вызван бурным развитием «машинной логики», в частности, появлением многочисленных работ, посвящённых машинному доказательству теорем.

В сборнике представлены как работы, ставшие уже классическими, так и некоторые работы последних лет. Из многочисленных в настоящее время исследований по теории логического вывода в сборник отобраны работы, связаннные с наиболее интересными (с точки зрения составителей) этапами развития этой теории.

Читатель, не обладающий никакими специальными сведениями по области математической логики (но обладающий некоторой математической культурой), может использовать этот сборник и в качестве учебника для систематического изучения теории логического вывода. При таком использовании можно рекомендовать следующий порядок чтения.

Под логической физикой в книге понимается раздел логики, в котором исследуется терминология, относящаяся к пространству, времени, движению, причинности и т. д. В отличие от физики и философии, в которых формулируются совокупности утверждений о пространстве, времени и движении, сфера логической физики ограничивается исключительно логическими свойствами этой терминологии и содержащих ее утверждений.

Автор рассматривает термины, обозначающие пространственный и временной порядок предметов, а также понятия индивида, структуры, эмпирической связи, движений, причинности, возможности, необходимости, вероятности, закона и т. д.

При этом анализируются известные парадоксы движения и эмпирических связей, устанавливается различие логических следствий из определений терминов и физических допущений, предлагаются логические исчисления, дающие обоснование некоторым идеям современной физики и философии.

Предлагаемая читателю книга представляет собой введение в проблематику и методы теории нумераций - нового развивающегося раздела теории алгоритмов. Насколько известно автору, впервые идею о систематическом изучении нумерованных множеств высказал А. Н. Колмогоров в середине пятидесятых годов. Реализацией этой идеи для вычислимых нумераций в то время занялся В. А. Успенский.

Основные его результаты изложены в статье 63 и в книге 10, вышедшей в 1960 году. Параллельно ряд зарубежных математиков (Райс, Деккер, Майхилл, Фридберг, Лахлан, Лакомб, Пур-Эль и др.) также занимались изучением различных вопросов, связанных с вычислимыми нумерациями. Независимо были осуществлены попытки изучения нумерованных алгебр (Фрелих — Шепердсон, Рабин), которые также обнаружили интересные специфические «нумерационные» особенности.

Предлагаемый сборник задач составлен в соответствии с программой университетского курса «Элементы математической логики и алгебры множеств».

Первые четыре параграфа посвящены двоичной булевой алгебре и ее применению в теории релейно-контактных схем, а также исчислению высказываний и предикатов. Большая часть задач двух последних параграфов связана с бинарными отношениями, которые получают все большее применение в различных областях математики.

Задачник снабжен ответами и указаниями, каждому разделу предпослано небольшое теоретическое введение.

Сборник может быть использован как пособие для учащихся юношеских математических школ и всех самостоятельно изучающих соответствующие разделы математики.

В предлагаемой вниманию читателей книге по формальной логике глава 1 написана Д. П. Горским, глава 2 — В. Ф. Асмусом, глава 3 — Д. П. Горским, главы 4—7 — П. В. Таванцом, глава 8 — Д. П. Горским, глава 9 — В. И. Степенковской и П. В. Таванцом, главы 10 и 11 — В. Ф. Глаголевым, главы 12—15 — В. Ф. Асмусом, глава 16 — Д. П. Горским.

Научно-организационная работа по подготовке книги выполнена Е. И. Басовой.

Книга не претендует на исчерпывающее изложение формальной логики. Не все проблемы формальной логики охвачены в книге, не все поставленные в ней вопросы изложены с одинаковой полнотой.

Авторы будут признательны всем товарищам, которые, ознакомившись с содержанием книги, пришлют свои критические замечания и пожелания по адресу: Москва, Волхонка, 14, Институт философии АН СССР.

Научно-популярная литература по математической логике очень обширна и рассчитана на самые различные категории читателей. Школьники или взрослые, читающие популярную литературу в свободное от работы время, могут найти в ней большое число забавных логических задач. Читатель, желающий пополнить свой математический багаж, в надежде, что это поможет в его практической деятельности, найдет в ней подробные описания практических (часто — псевдопрактических) приложений логики.

Большое число популярных книг по логике порождено надеждой, что благодаря алгебре логики все школьники наконец-таки начнут разбираться в необходимых и достаточных условиях и прочих логических вопросах школьного курса математики.

Пристрастие преподавателей математического анализа к вопросам о последовательностях, не имеющих предела, неравномерно непрерывные функции и т. д. породило руководство, содержащие основы на квантовроз рецепты автома тического (без размышлений!) построения определений логических понятий. Мы, конечно, не сможем перечислить все то, что читатель может получить в существующих книгах по математической логике.

Историю излагаемой в этой книге теоретической или математической, как правильнее ее называть, логики начинают обычно с «универсальной характеристики» Лейбница, после чего переходят к работам А. де Моргана, Буля, Джевонса, Шрёдера, Пирса, принадлежащим XIX в. И хотя это в известной мере правильно, все же, в основном, математическая логика должна быть отнесена к числу новейших научных дисциплин, характерных именно для науки XX в.

Прежде всего, в XX в. математическая логика, по существу, стала частью математики. Существует ряд соображений, в силу которых её следует называть именно математической логикой. Её рост обусловливается, в первую очередь, потребностями математики.

Создание неевклидовых геометрий, в истории которых основное место принадлежит именам соотечественников Н. И. Лобачевского, и возникновение метода множественных математических построений вывело на первый план новые принципы двоякого рода: теоретико-множественные и метод математической технологии. Наука, с одной стороны, шла к новой ведущей роли.

Предлагаемая вниманию читателя работа Л. Генкина “О математической индукции” относится к основаниям арифметики.

Все знают о математике, что это — очень важная и очень сложная наука, но даже специалисты не всегда ясно представляют себе пути ее развития. И, к сожалению, до сих пор лишь немногим известно, что развитие математики вызвало к жизни новую науку — науку об основаниях математики.

Эта наука, значительную часть которой составляет ядро так называемой математической логики, анализирует и совершенствует те методы, которыми пользуется математика при доказательстве своих теорем. Именно этой науке математика обязана верой в неизбежность своих результатов.

Книга А. Гейтинга является монографией по основаниям математики. Вопросы оснований математики (теория математического доказательства, проблема существования в математике) рассматриваются в ней с точки зрения интуиционизма — течения в математике, видным представителем которого является автор.

Книга написана в форме живой беседы между представителями различных точек зрения на основания математики. К этой живой беседе присоединяется и редактор книги А. А. Марков, представитель не затронутого автором направления. В своих комментариях редактор не только вводит нового собеседника, но также стремится устранить неточности, допущенные автором.

Книга рассчитана на очень широкий круг читателей, начиная от математиков всех специальностей и кончая всеми, интересующимися математической логикой и философскими проблемами естествознания.

Книга посвящена проблемам логики, семиотики, методологии науки. В ней говорится о структурных аспектах процесса познания в терминах математической логики и алгебры.

Уточняется понятие модели и процедуры моделирования с помощью понятий изоморфизма, гомоморфизма и их обобщений. Рассматриваются возможности упрощения описываемой концептуальной схемы и условия ее применимости.

Первые две главы книги образуют элементарное введение в теорию булевых алгебр; здесь приводятся основные факты этой теории, дается обзор ее важнейших приложений. Последующие главы в основном посвящены полным булевым алгебрам, в первую очередь алгебрам с мерой, особенно важным для теории вероятностей и функционального анализа. Многие приводимые в книге результаты в монографическом изложении публикуются впервые.

Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в различных областях математики (алгебра, функциональный анализ, теория меры, теория вероятностей). Она может служить пособием при первичном изучении теории булевых алгебр; для понимания достаточно знакомства с элементами алгебры, теории меры и топологии.

Брошюра представляет собой развернутое изложение обзорного доклада, прочитанного первым из авторов — крупным специалистом по математической логике. В исключительно сжатой, но доступной и четкой форме авторам удалось изложить важнейшие современные аксиоматические обоснования теории абстрактных множеств.

Эта отрасль весьма слабо представлена в советской математической литературе, а между тем современное бурное развитие исследований по основаниям математики и по математической логике тесно связано с ней.

Брошюра будет полезна всем математикам, а также представителям других специальностей, интересующихся приложениями математической логики.

Первые две главы книги образуют элементарное введение в теорию булевых алгебр; здесь приводятся основные факты этой теории, дается обзор ее важнейших приложений. Последующие главы в основном посвящены полным булевым алгебрам, в первую очередь алгебрам с мерой, особенно важным для теории вероятностей и функционального анализа. Многие приводимые в книге результаты в монографическом изложении публикуются впервые.

Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в различных областях математики (алгебра, функциональный анализ, теория меры, теория вероятностей). Она может служить пособием при первом изучении теории булевых алгебр; для понимания достаточно знакомства с элементами алгебры, теории меры и общей топологии. Страниц 320. Таблиц 2. Иллюстраций 4.

Брошюра представляет собой развернутое изложение обзорного доклада, прочитанного первым из авторов — крупным специалистом по математической логике. В исключительно сжатой, но доступной и четкой форме авторам удалось изложить важнейшие современные аксиоматические обоснования теории абстрактных множеств.

Эта отрасль весьма слабо представлена в советской математической литературе, а между тем современное бурное развитие исследований по основаниям математики и по математической логике тесно связано с ней.

Брошюра будет полезна всем математикам, а также представителям других специальностей, интересующихся приложениями математической логики.

В сборнике представлены статьи по аксиоматической теории множеств, теории моделей, дескриптивной теории множеств, арифметике второго порядка, нестандартным моделям арифметики, логике предикатов высших ступеней, а также по многозначным, модальным и другим неклассическим логикам.

Работа посвящена философскому и логико-семантическому анализу познавательного значения и логических функций отрицательных высказываний. В ней рассматривается история вопроса о смысле отрицательных высказываний, роль отрицательных высказываний в структуре научного знания, так называемый «парадокс несуществования», а также дается критика некоторых современных буржуазных философских теорий смысла отрицания. Значительное место в работе занимает анализ отрицания в так называемой «логике неточных предикатов».

Работа рассчитана на студентов и аспирантов философских факультетов, а также на всех интересующихся философскими проблемами логики.

Эта книга, написанная видным американским популяризатором кибернетики, представляет собой общедоступное введение в символическую (математическую) логику и вопросы ее применения к синтезу машин, моделирующих некоторые операции человеческого мышления.

От простейших машин, способных решать элементарные логические задачи, автор переходит к современным цифровым автоматическим счетным машинам, описывает их структуры и программирование.

Тот, кто интересуется роботами, обнаружит здесь пример составления логических уравнений, на основе которых можно строить кибернетических “зверьков”, обладающих простым поведением. Книга рассчитана на широкий круг читателей, она может быть полезна математикам различных специальностей, инженерам, работающим в области связи, автоматики и телемеханики, студентам вузов и др. Для ее понимания достаточно знания математики и физики в объеме средней школы.

Для инженеров, работающих в области релейно-контактной техники или техники цифровых машин, изучение общей теории конечных автоматов и последовательностных машин не связано с большими трудностями, так как им знаком уже необходимый математический аппарат: исчисление высказываний, общие понятия об исчислении предикатов, основы теории алгоритмов (теории рекурсивных функций).

В значительно худшем положении оказываются инженеры других специальностей, в том числе и инженеры, знакомые с теорией автоматического управления. Основой их математического образования является общий анализ, математическая физика, математика дифференциальных уравнений. Как показал опыт, изучение проблемы, в основе которых лежит математическая логика и теория алгоритмов, представляет для них известные трудности.

Настоящая брошюра может служить введением в ту часть математики, которая занимается изучением свойств целых чисел и носит название теории чисел. В этой брошюре затрагиваются, однако, только те свойства целых чисел, которые связаны с разложением их на простые множители.

От читателя не требуется никаких предварительных познаний, кроме школьного курса математики. Эта брошюра будет понятной также и интересующимся математикой учащимся последних классов средней школы.

Только для чтения последнего параграфа нужно иметь некоторые сведения из интегрального исчисления. Не знающие интегрального исчисления могут просто не читать этот параграф, нисколько не потеряв при этом главного содержания брошюры.

Можно также при чтении пропустить четвертый параграф, если он покажется трудным, потому что для понимания дальнейшего содержания брошюры этого параграфа знать не нужно.

Предметом настоящей монографии является теория функций Дирихле, играющая исключительную важную роль в современной аналитической и аддитивной теории чисел. Главная цель автора заключается в изложении вопроса о распределении нулей L-функций Дирихле на комплексной плоскости.

Поэтому основное место в монографии занимают результаты, достигнутые в этой области за последнее десятилетие: теорема Page’а и теорема Siegel’я. Однако наряду с этим, в первых главах книги содержатся сведения об элементах теории рядов Дирихле и L-функций Дирихле в таком объёме, что читателю нет необходимости обращаться к специальным сочинениям по данному вопросу.

Глава первая излагает теорию некоторых числовых функций, которые носят название характеров. Изложение этой теории проводится новым единым методом, отличающимся от существующих в литературе.

Книга известного индийского математика, президента Международного математического союза К. Чандрасехарана посвящена систематическому изложению классических результатов аналитической теории чисел. Она не требует больших предварительных знаний и вводит читателя в широкий круг основных теоретико-числовых вопросов.

Книга написана с большим педагогическим мастерством, четко и сжато. Она будет полезна математикам различных специальностей, а также студентам университетов и пединститутов.

Основой для настоящего учебника элементарного курса теории чисел послужило 2-е издание моего украинского учебника «Теорія чисел», ДНТВУ, 1936. Первые пять глав остались в основном те же, что были и в украинском издании.

В первой главе несколько расширены параграфы о простых числах; в остальных главах исключены параграфы, напечатанные мелким шрифтом, содержание которых выходит за рамки обычного элементарного курса теории чисел. Шестая глава украинского издания («Квадратичные формы») исключена совершенно, ибо она не входит в официальную программу курса теории чисел.

Вместо неё даны две новые главы: гл. VI — «Некоторые сведения о квадратичных формах» и гл. VII — «Работы по теории чисел русских и советских математиков». В основном в настоящий учебник включен тот материал, который имеется в официальной программе по теории чисел для физико-математических и механико-математических факультетов государственных университетов, изд. 1952 г. (автор А. Гельфонд).

Интерес к Великой теореме Ферма в нашем обществе растет с каждым годом; об этом свидетельствуют многочисленные запросы и попытки доказательств, получаемые нашими научными обществами и учреждениями. Между тем на русском языке не существует сколько-нибудь доступной литературы по этому вопросу, да и в странах Европы дело обстоит в этом отношении немногим лучше.

Поэтому я охотно согласился на любезное предложение научного отдела Государственного издательства написать небольшую книжку, которая всем интересующимся могла бы дать необходимые справки, касающиеся проблемы Ферма, ее истории и современного состояния, а также по возможности осветить ее со стороны принципиальной и методологической.

Чтение этой книжки (за исключением дополнения) доступно каждому, кто знает элементарную арифметику.

«Лекции по теории чисел» Г. Хассе занимают положение, промежуточное между элементарным руководством по теории чисел и монографией по какому-либо из ее специальных разделов. Первая и вторая главы содержат материал, исторически давно сложившийся. Вторая половина книги вводит читателя в основные области современной теории чисел — теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций с конечным полем констант и (в меньшей степени) в аналитическую теорию чисел.

Эти области не рассматриваются в книге систематически, но характерные для них постановки вопросов, некоторые основные результаты и связи с элементарной теорией чисел выясняются на важнейших частных случаях. Книга может, таким образом, служить для первоначального ознакомления с теорией чисел, но представляет также интерес и для лиц, с теорией чисел уже знакомых.

Для чтения книги необходима сравнительно небольшая предварительная математическая подготовка. Автор широко пользуется алгебраической терминологией, однако для понимания книги не требуется глубокого владения алгебраической теорией, знание которой в основных чертах алгебраических понятий — кольцо, поле, группа, идеал и т. д. — считается достаточным. Из курса анализа достаточно знать элементарные свойства функций и основные понятия дифференциального и интегрального исчисления. Только в нескольких местах книги для полного понимания необходимо владеть аналитическим аппаратом, применяемым при изучении теории функций комплексного переменного и основной теоремой теории Галуа.

Настоящая книга предназначена для студентов старших курсов и аспирантов, изучающих теорию чисел, а также для специалистов, работающих в этой области. Она написана на основе опыта работы семинара по дополнительным главам теории чисел в Елабужском педагогическом институте и дает систематическое изложение цикла работ автора по аддитивной теории чисел.

Для чтения книги необходимо лишь знакомство с основами теории чисел, например, по учебникам И. М. Виноградова или А. А. Буштаба. Многие из задач, приведенных в первой главе, могут быть использованы в качестве тем курсовых и дипломных работ, а также для самостоятельной научной работы. В последние десятилетия в аддитивной теории чисел началось изучение общих закономерностей, возникающих при сложении множеств. Настоящая работа продолжает эту тенденцию.

Книга посвящена одной из областей арифметики — теории простых чисел. Автор поставил себе целью изложить некоторые теоремы «элементарной» теории простых чисел и сообщить наряду с этим о различных интересных результатах в этой области.

Для чтения книги достаточно знания школьной алгебры и простейших фактов дифференциального и интегрального исчисления. В книге изложены элементарные доказательства асимптотического закона распределения простых чисел, найденное Сельбергом и Эрдёшем в 1948 г., и теоремы Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Специальная глава содержит основы метода решета Бруна.

В книге выдающегося польского математика Вацлава Серпинского собраны наиболее важные, интересные и доступные широкому кругу читателей результаты, относящиеся к теории простых чисел. Приводятся многочисленные указания на нерешенные проблемы.

Доказательства теорем даются лишь в тех случаях, когда они элементарны и не очень утомительны. В основном книга имеет информационный характер. Она может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.

Брошюра знакомит читателя с основами теории сравнений, одной из интересных и важных областей математического знания. Доступное изложение современного состояния теории сравнений стало возможно благодаря работам автора брошюры, создавшего новый арифметический метод доказательства всех её результатов.

Ранее это было под силу лишь сложному аппарату алгебраической геометрии.

В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах. Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения, решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел.

Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел. Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20–30 лет.

Книга может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.

Четырнадцатого марта 1882 г. в Варшаве в семье врача Константина Серпинского родился мальчик, которому дали два имени: Владислав Франциск. Этому мальчику суждено было стать одним из крупнейших польских математиков.

Образование Владислав Серпинский получил в Варшаве. Здесь он окончил гимназию и университет.

Незаурядные способности Серпинского обнаружились рано, повышенный же интерес к математике наметился лишь в последних классах гимназии под влиянием двух его соучеников, владевших некоторыми разделами высшей математики, и прекрасного учителя математики Владзимежа Влодаржика. Последний был очень высокого мнения о математических способностях Серпинского. В гимназии у Серпинского было ещё несколько замечательных учителей. Так, его учителем французского языка был К. Аппель, впоследствии профессор Варшавского университета.

Монография известного специалиста в области теории чисел К. Прахара подводит итог многолетним исследованиям по распределению простых чисел.

В русской литературе немного книг по теории чисел, а по теме монографии имеется лишь небольшая книга Ингама, переведенная в начале 30-х годов.

Настоящее издание книги К. Прахара содержит два добавления, в которых содержится обзор результатов по распределению простых чисел, полученных после выхода в свет немецкого издания.

Книга будет полезна и интересна математикам различных специальностей, начиная со студентов университетов и пединститутов.

Книга является введением в теорию алгебраических чисел. Основные понятия и идеи этой теории изложены в ней в связи с теоремой Ферма. Читатель должен видеть, что их появление не случайно, а диктуется логикой решения конкретной задачи. Одна из целей книги — убедить читателя в глубине и сложности проблематики, связанной с теоремой Ферма, и в полной бесперспективности поисков ее элементарного доказательства.

Изложение в книге ведется концентрически, с тем чтобы читатель, даже с минимальной подготовкой (например, школьник), мог усвоить основные идеи.

Книга предназначена школьникам старших классов (в ее первых главах), студентам, учителям и всем любителям математики. Она может быть интересна и более квалифицированным читателям, которые хотят познакомиться с теорией алгебраических чисел в ее классическом аспекте.

Эта книга посвящена среднему звену аналитической теории чисел, среднему между учебной литературой и современными монографиями.

Автор стремился дать как можно более широкую картину задач аналитической теории чисел, стараясь избегать специализации, а также тем, уже достаточно хорошо освещённых в печати. Это объясняет заглавие книги «Введение в аналитическую теорию чисел».

Глубокие результаты в аналитической теории чисел связаны, конечно, с применением развитых аппаратов. Однако, наряду с овладением могучими орудиями, молодому научному работнику не мешает обеспечить себя запасом задач, в которых можно применить эту сильную технику. В этом деле мы и стремимся помочь молодому коллеге.

Издание рассчитано на научных работников, преподавателей, аспирантов, интересующихся теорией чисел и ее связями с другими областями науки.

Эта книга является первой в отечественной литературе попыткой изложения математической теории магических квадратов.

Она требует от читателя довольно высокой математической культуры и рассчитана на достаточно подготовленных любителей математики (учителей, студентов, участников математических кружков для старшеклассников и т. п.).

Эта книга посвящена одному из основных понятий математики — понятию действительного числа. Ученики старших классов (именно на них она в первую очередь и рассчитана) узнают из неё некоторые свойства чисел, о которых они раньше и не подозревали, и познакомятся с доказательствами теорем, принимаемых в школьном курсе алгебры на веру.

Изложение очень простое и живое. Оно сопровождается рядом вопросов и задач, облегчающих активное усвоение материала.

Автор книги — известный американский специалист по теории чисел.

Новая монография известного американского математика С. Ленга, уже знакомого советскому читателю по переводам его книг «Алгебраические числа», «Введение в теорию дифференцируемых многообразий» и «Алгебра»; несмотря на малый объем, она представляет собой весьма содержательное введение в теорию диофантовых приближений.

Книга несомненно заинтересует математиков различных специальностей. Она доступна аспирантам и студентам университетов и педагогических вузов и может привлечь внимание многих из них к увлекательным задачам теории диофантовых приближений.

Небольшая монография С. Ленга посвящена важному разделу современной теории чисел. Кроме традиционного материала, она включает ряд глубоких результатов, не освещавшихся ранее в монографической литературе.

Книга может служить хорошим введением в теорию полей классов и арифметику линейных групп. Она представляет интерес для математиков различных специальностей.

Первое издание настоящей книги ввиду небольшого тиража быстро разошлось. По предложению Государственного издательства политической и научной литературы Литовской ССР автор решил подготовить второе издание.

За три года, протекшие со дня выхода в свет первого издания, вероятностная теория распределения значений аддитивных арифметических функций, изложенная в книге, получила дальнейшую разработку и пополнилась новыми результатами. Это учтено во втором издании, которое подверглось значительной переработке, однако рамки книги не позволили автору включить ряд важных результатов.

Книга содержит лекции виднейших специалистов в области алгебраической теории чисел, охватывающие широкий круг вопросов этой теории — от ее классических разделов до самых последних достижений. Особенно подробно рассматриваются локальная и глобальная теории полей классов; излагается как история вопроса, так и его современное состояние.

Книга представляет большой интерес в первую очередь для специалистов в области алгебраической теории чисел. Однако она будет полезна и для математиков, интересующихся смежными областями, такими, например, как алгебраическая геометрия, теория чисел, теория автоморфных функций, теория алгебраических групп. Книга доступна для аспирантов и студентов старших курсов университетов и педагогических институтов.