Моя библиотека: документы

Цель книги состоит в том, чтобы ознакомить читателя с основными положениями неевклидовой геометрии Лобачевского. Автор дает в книге краткий очерк жизни и деятельности Н. И. Лобачевского и останавливается на вопросе о происхождении аксиом и их роли в геометрии.

Для понимания книги необходимо знание элементарной геометрии (в ее планиметрической части) и тригонометрии в объеме курса средней школы. Кроме того, автор пользуется инверсией — специальным геометрическим преобразованием, основные свойства которого выясняются в одном из первых параграфов книги.

Автор является крупным специалистом по геометрии Лобачевского, и его книга представляет интерес не только для школьников — любителей математики, но и для студентов младших курсов педагогических институтов и университетов.

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшейся в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным её методом.

Координатами точки называются числа, определяющие положение точки на данной линии или на данной поверхности или же в пространстве. Так, положение точки на земной поверхности будет определено, если известны её географические координаты — широта и долгота.

Для нахождения координат точки необходимо задание ориентиров, от которых ведется отсчёт. В случае географических координат такими ориентирами будут экватор и нулевой меридиан.

В книжке рассматриваются задачи на построение, решаемые при помощи одной только линейки или с использованием также какой-либо вспомогательной фигуры. В связи с этим рассматриваются некоторые основные понятия проективной геометрии.

Книжка рассчитана на школьников старших классов, студентов младших курсов пединститутов и университетов и преподавателей математики.

Книга представляет собой сборник задач повышенной трудности по алгебре и элементарным функциям, снабжённых решениями. Это пособие предназначено в первую очередь для самообразования.

Книга может быть полезной преподавателям и учащимся математических школ, руководителям математических кружков, студентам вузов, а также при подготовке к конкурсным экзаменам в вузы, в которых предъявляются повышенные требования по математике.

Книга состоит главным образом из задач, предлагавшихся в вечерней математической школе при МГУ, учащимся физико-математической школы № 2 г. Москвы и слушателям специального семинара для учителей г. Москвы по решению усложнённых задач по математике, руководимого автором в течение ряда лет.

Книга представляет собой дополнительный набор задач к учебному пособию по геометрии для 5—8 классов. Она предназначена для учащихся 5—8 классов, желающих закрепить и углубить свои знания по геометрическим преобразованиям.

Сборник задач может быть использован также учителями для организации самостоятельной работы школьников.

1. Идея этой книги была внушена мне упражнениемъ No. VIII. Фребелевскаго дѣтскаго сада — складываніемъ бумаги. Для этого упражненія дѣтямъ даютъ сотни двѣ различно окрашенныхъ бумажныхъ квадратовъ, ножъ для разгляживания бумаги и наставленія для складыванія. Бумага съ одной стороны окрашена и глазированa.

Но она, конечно, можетъ быть прокрашена насквозь и одинакова съ обѣихъ сторонъ. Да и всякая бумага умѣренной толщины будетъ годиться для нашей цѣли. На цвѣтной бумагѣ, однако, сгибы будутъ виднѣе и она пріятнѣй для глазъ.

Изложение материала начинается с формулы, выражающей объ- ём тетраэдра через длины его рёбер. Эту формулу можно найти почти во всех справочниках по математике, но мало кто знает её историю. В брошюре разбираются доказательства этой формулы, принадлежащие Тарталье (XVI век) и Эйлеру (XVIII век), и даются современные их варианты.

Сформулирована и прокомментирована теорема, обобщающая формулу объёма тетраэдра на любые многогранники и дающая как простое следствие решение проблемы «кузнечных мехов», утверждающей постоянство объёма изгибаемого многогранника. Даются также примеры изгибаемых многогранников.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции для школьников 9—11 классов, прочитанной автором на Малом мехмате МГУ 10 марта 2001 года (запись Е. А. Чернышёвой).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

В брошюре рассказывается об одном часто применяемом виде проектирования сферы на плоскость, обладающем следующими замечательными свойствами: при этом проектировании углы между линиями на сфере изображаются равными им углами между линиями на плоскости, а круги на сфере изображаются кругами и прямыми на плоскости.

В ней рассказывается также о применениях этого проектирования в астрономии и географии. В последнем разделе брошюры рассказывается об аналогичном проектировании плоскости Лобачевского на обычную плоскость.

Брошюра рассчитана на школьников старших классов и студентов младших курсов вузов.

Труды многих величайших математиков древности переведены на многие языки, об этих математиках написано много исторических книг и статей. Переводы же книг Аполлония Пергского — создателя теории конических сечений — издавались крайне редко, большинство переводов были по существу пересказами.

На русском языке были изданы только первые 20 теорем из главного труда Аполлония <Конические сечения>. Настоящая книга представляет собой попытку создания научной биографии Аполлония, содержащей анализ его трудов с точки зрения современной науки.

Для широкого круга читателей, интересующихся математикой.

Предлагаемое 9-е издание состоит из восьми отделов и содержит в себе 3100 теорем и задач из планиметрии и стереометрии, расположенных по отделам так же, как и в предыдущих изданиях; в нём число задач значительно увеличено, и при этом некоторые из прежних задач исключены или перенесены в другое место. В первой части книги, отпечатанной крупным шрифтом, помещены теоремы и задачи, а во второй, напечатанной мелким шрифтом, — их решения.

Так как решения даны, большей частью, без чертежей, то их надо составить самому, имея в виду, что если сказано: начертить прямую АВ, то А означает левый её конец, а В — правый; провести прямую АВ, то её увеличиваем в направлении от А к В; начертить из О дугу или окружность радиусом R, то надо точку О принять за центр и описать из нее дугу или окружность радиусом, равным R; описать полуокружность на АВ, то надо О, середину АВ, принять за центр и описать полуокружность радиусом OА.

В сороковые годы XX века известными математиками П. Эрдёшом и Г. Хадвигером была поставлена одна из самых коротко формулируемых и в то же время одна из самых ярких и трудных задач комбинаторной геометрии — задача о нахождении хроматического числа χ(n) евклидова пространства Rn, т. е. минимального числа цветов, в которые можно так раскрасить точки пространства, чтобы точки, отстоящие друг от друга на расстояние 1, оказались раскрашенными в разные цвета.

Эта задача до сих пор не решена даже для n=2, т. е. для плоскости, хотя простотой и естественностью своей постановки она сразу привлекла внимание всех математиков. К настоящему времени разработано много интересных и остроумных подходов к её (пока частичному) решению.

Текст брошюры представляет собой запись лекции, прочитанной автором 7 декабря 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач комбинаторной геометрии — гипотезе Борсука, которая утверждает, что в n-мерном пространстве всякое ограниченное множество можно разбить на n+1 часть меньшего диаметра. Вначале подробно анализируются случаи малых размерностей и доказывается, что при n=1, 2, 3 гипотеза верна. Далее приводятся различные оценки сверху для числа Борсука в зависимости от размерности. Кроме того, рассматривается связь гипотезы с другими проблемами и задачами комбинаторной геометрии (проблема освещения, задача Грюнбаума, задача о хроматическом числе). В заключительных главах рассматриваются контрпримеры к гипотезе Борсука и история понижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, а также улучшения оценки снизу.

Многие главы снабжены задачами. Некоторые из них — это упражнения, прорешав которые, читатель лучше прочувствует материал. На некоторые задачи опирается основной текст. Сложные задачи отмечены звёздочками (некоторые являются открытыми проблемами).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. От читателя потребуется знание элементарных понятий комбинаторики, а, кроме того, будет полезным (но не обязательным) знакомство с аналитической геометрией и началами анализа.

Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 21 февраля 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов.

Читатель познакомится с такими классическими задачами на максимум и минимум, как задача Фаньяно, задача о построении фигуры максимальной площади заданного периметра, задача Штейнера о кратчайшей системе дорог и многими другими. Одна из глав посвящена коническим сечениям и их фокальным свойствам. В брошюре излагаются решения перечисленных выше задач, особое внимание уделено проблеме доказательства существования решения в экстремальных задачах. В конце каждого раздела помещён набор задач для самостоятельного решения.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, а также школьных учителей, руководителей математических кружков. При чтении последних разделов будет полезным (но не обязательным) знакомство с началами математического анализа.

Книга содержит историю и решения знаменитых задач древности, сыгравших важную роль в становлении математики. Изложение сопровождается интересными сведениями о развитии и методах математики в Древней Греции.

Для широкого круга любителей математики.

Изогональное сопряжение относительно треугольника ( A_1A_2A_3 ) сопоставляет точке ( X ) такую точку ( Y ), что прямая ( YA_i ) симметрична прямой ( XA_i ) относительно биссектрисы угла ( A_i ) (( i = 1, 2, 3 )). Это преобразование обладает многими интересными свойствами.

В частности, оно переводит друг в друга две замечательные точки треугольника — точки Брокара. Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 6 ноября 1999 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов.

Содержит около 560 задач, снабженных подробными решениями, и 60 задач для самостоятельной работы. Большинство задач по своей тематике близки к школьной программе. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения.

Внутри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в наборе задач и даст ему возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд всю книгу.

Для школьников, преподавателей, студентов педагогических институтов.

Макет книги изготовлен бригадой учеников 10д класса школы №57 под руководством Л. Шагама.

Члены бригады: Д. Задоскин, А. Никитин, К. Попков, А. Фурсов.

Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для 7—11 классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения.

С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии.

Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы.

Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.

Книга написана на основе курса лекций, читавшегося автором студентам первого курса Математического колледжа НМУ в осенних семестрах 1994–95, 1995–96, 1996–97 и 2002–03 учебных годов. Она содержит множество задач, предлагавшихся на семинарских занятиях.

В книгу также включены полные тексты письменных экзаменов по этим курсам, а также по курсам О. В. Шварцмана (осенние семестры 1997–98 и 2001–02 учебных годов) и В. О. Бутаненко (осенний семестр 2000–01 учебного года). Некоторые из приведённых в книге задач снабжены решениями.

Геометрические задачи редко возникают на практике в той отвлеченной форме, в какой они обычно предлагаются задачниками. В реальной жизни, в технике, в науке геометрическая сторона задачи большей частью заслоняется, затушевывается посторонними элементами, из которых ее необходимо выделить, прежде чем приступить к решению.

Нередко уже одно такое обнажение геометрической основы реального задания почти равносильно его разрешению, потому что приводит запутанный вопрос к ясной математической схеме. Но умение отыскивать в конкретной задаче ее геометрическую основу, переводить реальный вопрос на язык геометрии, требует особого навыка; и, конечно, он не может быть приобретен упражнением исключительно на готовых схемах, обычно предлагаемым задачниками.

Сочинение Ю. Петерсена «Методы и теории», в настоящее время переведенное на многие европейские языки, давно уже хорошо известно и оценено по достоинству как на Западе, так и у нас. Усвоив себе взгляд**), что решение геометрических задач на построение не может быть достоянием только исключительных, особенно одаренных натур, что, напротив того, оно должно быть доступно и всякому среднему ученику, автор дает ему почву и руководящую нить для решения задач на построение (автор скромно называет свое сочинение попыткою научить учащихся, как следует приниматься за решение геом. задач на построение).

Пособие предназначено для учащихся старших классов школ с математической специализацией. Оно содержит углубленное и расширенное изложение геометрии. В нем изложена теория прямых и плоскостей, трехгранных углов, тетраэдров, сфер и других тел.

Рассмотрены методы доказательства геометрических неравенств и нахождения экстремумов. Много внимания уделено преобразованиям пространства — движениям, подобиям и аффинным преобразованиям. Книга включает около 500 задач для самостоятельного решения с указаниями и ответами.

Книга может быть использована для внеклассной работы с учащимися, для самообразования учителей, для спецкурсов и спецсеминаров по элементарной геометрии в педагогических вузах.

Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам решения геометрических задач. В нем приведены яркие геометрические сведения, не вошедшие в современный школьный учебник. Например, формула Эйлера, окружность девяти точек, теорема Птолемея, геометрические неравенства и многое другое.

Книга адресована всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, — от школьников средних классов до учителей математики и студентов педагогических вузов.

Воспитание творческой активности учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных целей нашего школьного преподавания. Правильно поставленное упражнение учащихся в решении задач — основное средство для достижения указанной цели. Вполне оправдано поэтому то повышенное внимание, которое уделяют этому аспекту преподавания математики передовые учителя нашей школы.

Если обратиться, однако, к учебно-методической литературе по математике, будь то отечественной или иностранной, то приходится констатировать, что при наличии большого количества в своем роде весьма ценных работ, посвященных методам решения по отдельным типам математических задач (арифметических, конструктивно-геометрических и т. д.), до сего времени фактически отсутствовали труды, в которых серьезно разрабатывалась бы общая методика решения математических задач.

Между тем ограничение лишь специальными способами решения отдельных типов задач создает реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умения самостоятельно справляться с «незнакомыми» задачами.

В книге в научно-популярной форме излагаются основы метода комплексных чисел в геометрии. Отдельные главы посвящены многоугольникам, прямой и окружности, линейным и круговым преобразованиям. Метод комплексных чисел иллюстрируется на решениях более 60 задач элементарного характера. Для самостоятельного решения предлагается более 200 задач, снабжённых ответами или указаниями.

Книга адресуется всем любителям геометрии, желающим самостоятельно овладеть методом комплексных чисел. Её можно использовать для проведения кружков и факультативных занятий в старших классах средней школы.

«Занимательная геометрия» написана как для друзей математики, так и для тех читателей, от которых почему-либо оказались скрытыми многие привлекательные стороны математики.

Еще больше эта книга предназначается для тех читателей, которые обучались (или сейчас обучаются) геометрии только у классной доски и поэтому не привыкли замечать знакомые геометрические отношения в окружающем нас мире вещей и явлений, не приучились пользоваться приобретенными геометрическими знаниями на практике, в затруднительных случаях жизни, в походе, в бивуачной или фронтовой обстановке.

Многие естественные вопросы из теории чисел красиво решаются геометрическими методами, точнее говоря, методами алгебраической геометрии — области математики, изучающей кривые, поверхности и т. д., задаваемые системами полиномиальных уравнений. В книжке это показано на примере нескольких красивых задач теории чисел, связанных с теоремой Пифагора.

Текст книжки представляет собой значительно пополненную обработку записей лекций, прочитанных В. В. Остриком 18 марта 2000 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов и М. А. Цфасманом 19 марта 2000 года на торжественном закрытии LXIII Московской математической олимпиады школьников.

Книжка рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей…

В основу этой книжки было положено содержание моей лекции, прочитанной в марте 1953 г. участникам 12-й Одесской математической олимпиады для учащихся старших классов средней школы. Олимпиада была организована и проводилась при физико-математическом факультете Одесского государственного университета им. И. И. Мечникова. Упомянутая лекция содержала лишь §§ 2, 5 и 8 в том виде, как они изложены в настоящей книжке, остальные параграфы, представляющие не меньший интерес, естественно, не могли войти в одну двухчасовую лекцию.

Содержание книжки вполне доступно для учеников девятого и десятого классов, так как по применяемым методам решения задач она не выходит за рамки курса математики средней школы, хотя по существу это — задачи высшей математики.

Считаю необходимым выразить благодарность Э. П. Тихоновой, способствовавшей своими ценными замечаниями улучшению этой книжки.

Эта книжка предназначается главным образом для школьников, а также для занимающихся самообразованием взрослых читателей, математическое образование которых ограничивается средней школой. В основу книжки положена лекция, прочитанная автором для московских школьников седьмых и восьмых классов.

При подготовке лекции к изданию автор немного расширил её, стараясь, однако, не уменьшать доступности изложения. Самым существенным добавлением является п. 13 — об эллипсе, гиперболе и параболе как сечениях конической поверхности.

Чтобы не увеличивать объёма книжки, большинство сведений о кривых излагается без доказательств, хотя во многих случаях доказательства можно было бы дать в доступной для читателя форме. Наконец, второе, издание книжки печатается без всяких изменений.

В настоящей книжке исследуется с элементарной точки зрения ряд так называемых вариационных задач. В этих задачах рассматриваются величины, зависящие от кривой, и ищется кривая, для которой эта величина достигает своего наибольшего или наименьшего значения.

Таковы, например, задачи: среди всех кривых, соединяющих две точки на некоторой поверхности, найти кратчайшую; на плоскости среди всех замкнутых кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь, и т. д.

Материал этой книги в основном излагался автором на лекциях в школьном математическом кружке МГУ. Содержание первой лекции (§§ 1 — 10) в основном совпадает с содержанием вышедшей в 1940 г. брошюры автора “Геодезические линии”.

Выпускаемое в настоящем издании небольшое сочинение Лобачевского “Геометрические исследования по теории параллельных линий” принадлежит к числу последних его геометрических работ.

Чтобы читатель мог вполне оценить это произведение, являющееся одним из наиболее блестящих перлов математической литературы, нужно выяснить то место, которое оно занимает среди творений великого геометра. Этому и посвящены две статьи, которые мы предпосылаем тексту Лобачевского.

Эта книжка познакомит читателя с понятием площади ориентированной фигуры и его применениям к теории планиметра и к выводу целесообразной формулы для вычисления площади участка, заданного на местности и ограниченного произвольной замкнутой ломаной линией.

Понятие ориентированной площади может быть использовано, как в этом убедится читатель, и для решения задач школьной геометрии.

В основу книжки положен материал лекций, читанных мной школьникам старших классов.

Решая геометрическую задачу, полезно представлять себе, что будет происходить с элементами рассматриваемой фигуры, если некоторые ее точки начнут двигаться. Зависимость одних элементов от других может стать при этом наглядно очевидной, и решение задачи бросится в глаза.

Связи между величинами отрезков, углов и т. п. в геометрических фигурах обычно являются более сложными, чем связи между скоростями изменения этих величин в процессах деформации фигур. Поэтому для решения геометрических задач может быть полезной «теория скоростей» — кинематика.

В этой брошюре на нескольких примерах демонстрируется применение кинематики к задачам элементарной геометрии и приводится некоторое количество задач для самостоятельного упражнения. Необходимые общие сведения из кинематики (и векторной алгебры) излагаются предварительно.

Брошюра написана на основе лекций, прочитанных в школьном математическом кружке при Харьковском государственном университете им. А. М. Горького. Она рассчитана на учащихся 9—10 классов.

Эта небольшая книжка, написанная известным немецким популяризатором математики, недавно скончавшимся профессором Геттингенского университета Вальтером Литцманом, посвящена не только геометрии, как можно было бы подумать по ее названию. Автор собрал в ней довольно разнообразный материал, относящийся и к геометрии, и к алгебре, и к арифметике.

Весь этот материал группируется вокруг знаменитой ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА, одной из замечательнейших теорем школьного курса математики. При этом автор, естественно, не касается серьезных научных проблем, связанных с этой теоремой; почти не затрагивает он и чисто методических вопросов, лишь слегка критикуя традиционное доказательство теоремы Пифагора, приводимое почти во всех школьных учебниках.

Однако и ограничив таким образом рамки своей книги, Литцман сумел найти достаточно занимательного материала, способного заинтересовать начинающего математика.

Еще одна книга о круге, притом об его элементарных свойствах… Не слишком ли это смело и нужно ли это вообще?

Ведь начиная с евклидовых «Начал» (300 лет до н. э.) изложение теории круга как по содержанию, так и по выбору способов доказательства теорем в бесчисленных учебниках всех времен и народов было настолько исчерпывающим, что кажется ни одного нового слова сюда добавить уже нельзя.

«МАТЕМАТИК, ТАК ЖЕ КАК ХУДОЖНИК ИЛИ ПОЭТ, СОЗДАЕТ УЗОРЫ, И ЕСЛИ ЕГО УЗОРЫ БОЛЕЕ УСТОЙЧИВЫ, ТО ЛИШЬ ПОТОМУ, ЧТО ОНИ СОСТАВЛЕНЫ ИЗ ИДЕЙ» — в книге «Апология математики», изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно, к такой малой части, как геометрические мозаики.

Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы живем среди мозаик. Кирпичная кладка домов, паркет в них, стены в ванной комнате — все это они: одни и те же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к одной, сплошняком. Гравюры М. К. Эшера «Всадники», «Лебеди», «Восемь голов», «Мозаика II», а также многие другие из его работ тоже представляют собой плоскость, полностью, без «зазоров» покрытую фигурами, которые в то же время не налезают друг на друга.

Это и есть то, что геометр называет мозаикой. А с точки зрения просто обычная, математическая мозаика — это выкройка без потерь. Впрочем, мозаичный узор — еще и искусство.

Книга Гарри Линдгрена продолжает серию книг по занимательной математике, начатую издательством в 1971 г. книгами М. Гарднера, и посвящена одному из увлекательнейших ее разделов — задачам на разрезание.

Автор знакомит читателя с общими принципами того, как из одной заданной фигуры составить другую, разрезав первую на минимальное число частей, и при этом оставляет широкие возможности для самостоятельных поисков решений.

Книга рассчитана на самые широкие круги читателей.

Данный сборник задач предназначается учителям и учащимся школ (классов) физико-математического направления. В нем предоставлены задачи по курсу планиметрии VII–IX классов, относящиеся к геометрии треугольника.

В сборнике приводятся как классические задачи, так и задачи, составленные в последнее время, при этом предпочтение отдавалось теоремам и задачам на доказательство, результаты которых часто используются при решении других задач. При составлении сборника использовались журналы “Квант” и “Математика в школе” за последние годы, а также задачники и пособия, приведенные в списке литературы в конце сборника, часть задач составлена авторами.

При ссылках на задачи сборника принята двойная нумерация, где первая цифра обозначает номер параграфа, а вторая — номер задачи в этом параграфе (например, 4. II — задача II § 4). Если ссылка дается на задачу этого же параграфа, то этот номер опускается. Некоторые задачи приведены в разных параграфах, к ним даны различные решения.

В геометрии известна замечательная теорема венгерского математика Фаркаша Больяи: если два многоугольника равновелики (т. е. имеют равные площади), то всегда возможно один из них расселить на конечное число таких многоугольников, из которых может быть составлен второй*).

Это значит, что если взять, например, квадрат, то без всякой потери площади его можно превратить в правильный пятиугольник или правильный шестиугольник, в один или несколько равносторонних треугольников и т. д. Такое перекраивание квадрата в другую фигуру может быть осуществлено не единственным способом, но потребуется проявить большую находчивость и изобретательность, чтобы найти хотя бы один подходящий способ.

Брошюра посвящена описанию и исследованию геометрических построений с помощью одного лишь циркуля; написана она на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал для школьников, принимавших участие в математических олимпиадах в г. Львове.

Книжка представляет интерес для преподавателей математики и учащихся старших классов средней школы.

Когда Феликс Клейн задумал опубликовать важнейшие из своих автографированных лекций, он решил начать с неевклидовой геометрии и с помощью молодого геометра д-ра Роземаа предварительно подвергнуть старый текст основательной переработке в делом и в деталях. Эта работа оказалась много продолжительней, чем ожидалось сначала. Самому Клейну уже не довелось дожить до ее окончания.

Правда, он в ежедневных, более года продолжавшихся совещаниях со своим молодым сотрудником продумал, пересмотрел и привел в порядок материал вплоть до мельчайших подробностей; но самую разработку текста он должен был предоставить д-ру Роземану. К моменту смерти Клейна первые главы книги были уже в гранках; все же потребовался многолетний и самоотверженный труд со стороны д-ра Роземана для того, чтобы на основе первоначальной программы подготовить к печати рукопись и провести ее через печать.

Поэтому к изданию книги участие и заслуга, а также и ответственность д-ра Роземана должны оцениваться выше, чем это обычно делается по отношению к сотрудникам.

Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его впервые набросал в 1872 г. в своей “Эрлангенской программе” и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем “Введении в высшую геометрию”, является в настоящее время столь же важным и жизненным, как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же и физики.

Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое издание этих лекций. Чтобы не нарушить личного стиля работы Клейна, я внес очень мало изменений и добавлений в прежнее издание “первого тома”. Напротив, мне пришлось целиком выпустить лишь едва связанный с ним “второй том”, который содержал введение в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы полной переработки.

Его место заняла “третья часть” настоящей книги, в которой помещены некоторые новейшие геометрические исследования. При этом мне оказали любезное содействие некоторые геометры: именно II и IV отделы разработал Радон (Эрланген), III — в существенном Артин и V — Шрейер (Гамбург).

Главнейшія особенности предлагаемаго руководства геометріи состоять въ слѣдующемъ.

1. Въ большинствѣ нашихъ учебниковъ геометріи понятіе о длинѣ окружности и вообще о кривой линіи принимается за элементарное, не требующее никакихъ оговорокъ и разъясненій, и выводъ, что длина окружности есть предѣлъ периметровъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ, основывается на скрытомъ допущеніи или на не строго доказываемой теоремѣ, что объемущая линія длиннѣе объемлемой.

Въ предлагаемаго руководствѣ, въ согласіи со многими авторитетами учебно-математической литературы, проведено воззрѣніе, согласно которому, что понятіе о длинѣ элементарно только въ примѣненіи къ прямымъ; но какъ тѣлько рѣчь идетъ о сравненіи кривой линіи с прямолинейной или окружностью, тогда (вслѣдствіе невозможности элемента кривой быть элементарнымъ прямымъ) понятіе о длинѣ становится сложнымъ и требуетъ опредѣленія *).

Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.

Второй том посвящен вопросам геометрии — той науки, в развитии которой Ф. Клейн внес особенно заметный вклад. Автор мастерски, в изящной популярной форме, знакомит читателя с вопросами дифференциальной геометрии, невклидовыми геометриями и другими вопросами. 1-е изд. — 1934 г.

Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.

Книга состоит из четырех небольших произведений знаменитого немецкого астронома и математика: «О шестиугольных снежинках», «Разговор с звездным вестником», «Сон» и отрывок из гороскопа «О себе».

Эти произведения Кеплера являются признанными образцами научно-художественной прозы. На русском языке публикуются впервые.

Почти шестидесятилетняя жизнь Кеплера протекала в эпоху, когда на смену схоластической науке, находившейся в полном подчинении богословию и теологической философии, возникало и пускало корни научное мировоззрение нового времени, основанное на наблюдении явлений природы, эксперименте и математической обработке полученных отсюда данных.

При доказательстве основной теоремы о равновеликости двух пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, геометрия исконно прибегает к методу пределов, рассматривая пирамиды, как пределы вписанных и описанных призм. Помимо дидактических трудностей (учащиеся не даром назвали эту фигуру чертовой лестницей), появление здесь метода пределов сначала представляется странным по существу.

Когда мы доказываем равновеликость прямолинейных фигур в планиметрии, мы не только не прибегаем к пределам, но, наоборот, пользуемся наиболее элементарным средствам. Именно, для этой цели применяются два приема, из которых один в немецкой литературе принято называть методом разложения (Zerlegungasmethode), а другой — методом дополнения (Ergänzungsmethode).

Когда мы изучаем в школе геометрию, мы постепенно усваиваем одну теорему за другой, опираясь в доказательстве каждой последующей теоремы на предыдущие. Получается логическая цепь геометрических истин, которые в совокупности говорят нам о свойствах пространства. Мы при этом не задумываемся о том, что пространство может обладать иными свойствами, чем те, которые мы узнали из школьного курса геометрии.

Например, мы знаем, что сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам; мы не сомневаемся в том, что это бессспорная истина, так как она строго доказывается; нам не приходит в голову мысль, что в пространстве, как мы его понимаем, возможен треугольник, сумма углов которого не равна двум прямым.

В книге описан ряд классических идей решения олимпиадных задач, которые для большинства школьников являются нестандартными. Каждая идея снабжена комментарием, примерами решения задач и задачами для самостоятельного решения. Приведены подборки задач олимпиадного и исследовательского типов (всего 200 задач), которые сгруппированы по классам.

Сборник адресован старшеклассникам, учителям, руководителям кружков и всем любителям математики. Предыдущее издание книги вышло в 2004 г.

В книге изложены элементы теории геометрических преобразований. Рассмотрены движения плоскости, преобразования подобия, аффинные, круговые и проективные преобразования. Описано построение моделей геометрии Лобачевского с помощью проективных и круговых преобразований.

Пособие написано на основе спецкурса, который вел автор в гимназии No 1543. Оно предназначено как для преподавателей, так и для учащихся старших классов.