Моя библиотека: документы

Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах).

При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математического кружка.

Посвящена традиционному разделу элементарной математики — задачам на составление уравнений. Выделяются и рассматриваются классы задач, объединённые общей идеей, анализируются особенности этих классов, показываются приёмы решения задач каждого класса и даётся методика решения более сложных задач. Содержит много задач для самостоятельного решения с ответами.

Большое количество примеров, взятых главным образом из письменных экзаменационных работ по математике Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, демонстрирует разнообразие идей, лежащих в основе этих задач, являющихся собой своего рода маленькие математические загадки. 2-е изд. — 1980 г.

Для широкого круга читателей, любящих решать задачи вообще. Будет особенно полезна абитуриентам вузов, школьникам и учителям.

Книга представляет собой введение в элементарную алгебру и теорию групп, которая находит широкое применение в современной математике и физике, кристаллографии, физике твердого тела и физике элементарных частиц.

Все вводимые понятия подробно разъясняются на простых геометрических примерах. В книгу включено дополнение, написанное Ю. П. Соловьевым.

Для школьников, преподавателей, студентов.

Настоящая книга предназначена для любителей математики, имеющих знания приблизительно в объёме 9 классов средней школы. Она является одной из тех книг, которые должны заполнить существующий у нас разрыв между литературой по элементарной математике и так называемой высшей математике.

На конкретном и доступном материале она подводит читателя вплотную к идеям математического анализа. Это соответствует и историческому ходу, так как задачи на максимум-минимум были одними из тех, которые привели к созданию дифференциального исчисления. Книга может быть использована для работы в школьных математических кружках. Выражаем убеждение, что предлагаемая книга принесёт пользу молодёжи, интересующейся математикой.

Ряд русских математиков — Чебышев, Коркин, Золотарёв, Марков, Ворной и другие — занимались теорией чисел. Ознакомиться с содержанием классических работ этих замечательных учёных можно по книжке Б. Н. Делоне «Петербургская школа теории чисел».

Советские математики, работающие в области теории чисел, продолжая славные традиции своих предшественников, создали новые мощные методы, позволившие получить ряд первоклассных результатов; в разделе теории чисел книги «Математика в СССР за 30 лет» можно найти сведения о достижениях советских учёных в области теории чисел, а также соответствующие библиографические данные.

Введение отрицательных чисел в самом начале курса алгебры связано с целым рядом методических затруднений, и это вполне естественно. При всяком обобщении и расширении понятий в математике приходится введённые ранее термины и способы выражения употреблять в новом смысле, нарушая установившиеся привычные представления учащихся.

Так, приходится говорить о числах, которые м е н ь ш е нуля, между тем как учащиеся привыкли к тому, что меньше нуля “ничего быть не может”; сумма может оказаться м е н ь ш е обоих слагаемых; при умножении возникают новые правила (“минус на минус дает плюс”), которые учащемуся трудно связать с привычными представлениями, относящимися к действию умножения натуральных чисел.

Рассмотрим следующий ряд чисел: 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58,… Нетрудно заметить, что каждое число этого ряда получается из предыдущего путём прибавления одного и того же числа 3. Такой ряд чисел называется, как мы знаем, арифметической прогрессией. Числа, входящие в ряд, называются членами прогрессии; постоянная прибавка — «разностью» прогрессии.

Приведём ещё пример. Ряд чисел 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49,… есть арифметическая прогрессия, — здесь первый член равен 25; разность прогрессии равна 4. Обычно члены прогрессии обозначаются буквами a₁, a₂, a₃,…; разность — буквой d. В данном примере: a₁ = 25; a₂ = 29; a₃ = 33,…; d = 4; маленькая цифра справа внизу около буквы a указывает порядковый номер члена ряда.

Уравнения Пелля представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени. Они связаны со многими важными задачами теории чисел. Решение уравнений Пелля — задача непростая, хотя и выполнимая методами элементарной математики. Ключевую роль в исследовании этих уравнений играет геометрическая лемма Минковского о выпуклом теле. Эта лемма неожиданно возникает во многих задачах теории чисел и является одним из ярких примеров связи алгебры и геометрии.

Основной результат, которому посвящена брошюра, — полное описание решений уравнений Пелля.

Текст брошюры представляет собой обработанную и расширенную запись двух лекций, прочитанных автором 19 февраля и 15 апреля 2000 года на малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей

Эклидъ жилъ въ Александрiи, почти за 270 лѣтъ до Рождества Христова, куда онъ переселился изъ Грецiи по приглашенiю царствовавшаго тогда въ Египтѣ Птоломея Лага, и былъ ему совѣтникомъ и сотрудникомъ въ заведеніи славной Александрийской Школы. По описанiю Паппа Эклидъ, сколь великъ умомъ, стольже отличенъ былъ и качествами сердца.

Онъ, подобно великому Ньютону, съ тихоспiїю нравовъ соединялъ смиренное чувство собственной достоинства, былъ совершенно чуждь гордости и предубѣжденiя къ своимъ познанiямъ, съ непритворною готовностию отдавалъ справедливость достоинствамъ другихъ, и всегда оказывалъ особенное вниманiе и даже пособiе всѣмъ тѣмъ, кои какимъ-либо образомъ способствовали къ распространенiю Математическихъ наукъ.

В виду того, что перевод математической части сочинения Эйлера «Новая теория Луны», с прибавлением изложений из лекций Адамса, Дж. Дарвина и из сочинений Хилла, может быть отнесен одинаково как к математике, так и к астрономии, он выделен в отдельный том, составляющий дополнение к томам V и VI собрания моих трудов.

Книга содержит учебные материалы, составляющие содержание курса «математического анализа» в математическом классе 57 школы (выпуск 2000 года, класс «В»).

В неё включены задачи вечерней математической школы и собеседований, задачи всех четырёх лет обучения (включая контрольные работы и экзамены), а также список тем лекций, читавшихся школьникам.

Предлагаемая вниманию советских читателей книга Яна Стюарта при сравнительно небольшом объёме отличается очень широким охватом материала. В ней автор на конкретных математических объектах и в популярной форме излагает основные понятия, а также некоторые идеи и методы современной математики.

Книга состоит из 20 небольших глав, первая из которых имеет характер введения и посвящена общим вопросам методологии математики (абстрактность и общность, интуиция и формализм, цели математики, ее полезность и другие). В остальных 19 главах книги рассматриваются более конкретные вопросы. Во второй главе автор обсуждает геометрические преобразования (в основном, движения) и показывает их роль при доказательстве геометрических теорем.

В следующей главе рассматривается ряд основных понятий из теоретико-числовые приложения. Глава 4 посвящена изложению теоретико-множественного языка и элементов алгебры множеств. В главе 5 обсуждается общие понятие отображения.

Омар Хайям известен главным образом как поэт. Его бессмертные четверостишия переведены на многие языки, а на его родине вошли в поговорки, стали крылатыми словами.

Хайям, однако, был не только поэтом, но и крупнейшим ученым. Наибольшее значение в истории науки имеют математические трактаты Хайяма, однако интерес представляют также физический трактат «Весы мудрости», философские трактаты Хайяма и исторический трактат «Наурўз-наме»

Первое издание настоящей книги вышло в свет в 1950 г.; эта книга открывала серию «Библиотека математического кружка». Около 15 задач в первоначальном варианте книги было заимствовано из рукописи одного из основателей кружка при МГУ Давида Оскаровича Шклярского (1918—1942), в возрасте 23 лет погибшего в партизанском отряде в Белоруссии.

При этом влияние Додика Шклярского на всю работу, проводимую в Москве с интересующимися математикой школьниками, и, в частности, на книги серии «Библиотека математического кружка» было настолько значительным, что постановка его фамилии на первое место в списке авторов этой сборника является вполне уместной. В 1954 г. книга была перевыпущена и дважды переведена на английский язык, и в 1965 г. книга снова переиздавалась, но уже без существенных изменений.

Эта книга написана на основе лекций, прочитанных автором в Московском институте усовершенствования учителей, и занятий по специальной программе с учащимися средней школы, готовящимися стать программистами-вычислителями.

В нашей литературе имеется много пособий по математике для школьников старших классов и для тех, кто желает самостоятельно усовершенствовать свои знания по математике. Однако некоторые темы в этой литературе освещены недостаточно; прежде всего это относится к функциям и графикам.

Необходимо, однако, чтобы оканчивающие школу уверенно владели понятием функциональной зависимости и могли строить графики функций. В первую очередь, разумеется, это относится к тем, кто будет продолжать свои занятия математикой. Не случайно на вступительных экзаменах во многих вузах проверяется умение абитуриентов строить графики, находить области определения функций, промежутки возрастания и убывания функций и т. д.

Книга предназначена для учителей, ведущих кружковую работу; она может быть использована и учениками старших классов, интересующимися математикой.

Материал пособия распределен на 32 занятия. Каждое занятие содержит задачи из различных разделов математики. Во второй части книги приведены решения и указания к задачам.

Книга представляет собой сборник задач (в основном повышенной трудности) по элементарной математике, снабженных решениями или указаниями.

Этот задачник может быть использован прежде всего при подготовке к конкурсным экзаменам в вузы, особенно такие, в которых предъявляются повышенные требования по математике. Сборник может быть использован также в работе юношеских математических кружков, преподавателями и студентами педагогических вузов и для самообразования.

В книге выдающегося польского математика Вацлава Серпинского собраны наиболее важные, интересные и доступные широкому кругу читателей результаты, относящиеся к теории простых чисел. Приводятся многочисленные указания на нерешенные проблемы.

Доказательства теорем даются лишь в тех случаях, когда они элементарны и не очень утомительны. В основном книга имеет информационный характер. Она может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.

начение рационально поставленного противоалкогольного просвѣщенія въ школѣ врядъ-ли можетъ быть кѣмъ-либо серьезно оспариваемо. Если, съ одной стороны, одного его совершенно недостаточно для искорененія народнаго пьянства, то не менѣе несомнѣнно и то, что оно должно создать ту почву, на которой только и возможна пропаганда трезвенныхъ идей.

Убѣдить во вредѣ алкоголизма безмѣрно легче того, кто знакомъ съ внліяніемъ алкоголя на преступность, вырождение и т. д., нежели воспитаннаго на пословицахъ: “пей, да дѣло разумѣй”, “пьянъ, да умёнъ — два угодья въ немъ” и тому подобныхъ перлахъ народной мудрости.

Поелину въ числеияхъ для краткости употребляются нѣкоторые знаки, то прежде, нежели приcтупимъ къ преложенному, не за излишее пощено, оные съ ихъ знаменованіемъ здѣсь включить.

Употребительнѣйшiе изъ нихъ суть слѣдующiе: — Знакъ равенства, на прімеръ, 2 рубля == 200 копѣйкамъ значитъ, что два рубля равны 200 копѣйкамъ.

Сборник содержит статьи, задачи и библиографию по элементарной и высшей математике. В отличие от предыдущих выпусков, этот сборник содержит обширный отдел “Текущая жизнь”, в который, в частности, включены резолюции математической группы Академии наук, Математического комитета НКП и Математического о-ва об учебниках и программах по математике.

Сборник рассчитан на учащихся и преподавателей различных учебных заведений и любителей математики.

Выпуск десятый “Математического просвещения”, составленный по образцу предыдущих, содержит статьи по элементарной и началам высшей математики.

В сборнике помещены задачи и решения задач предыдущих выпусков, а также указатель математической литературы, вышедшей во второй половине 1935 г.

В сборниках “Математическая школа” публикуются учебные материалы московских специализированных школ №№ 2, 7, 444, школы-интерната № 18 при МГУ и Вечерней математической школы при механико-математическом факультете МГУ. Материалы имеют экспериментальный характер.

В сборниках “Математическая школа” публикуются учебные материалы московских специализированных школ №№ 2, 7, 444, школы-интерната № 18 при МГУ и Вечерней математической школы при механико-математическом факультете МГУ. Материалы имеют экспериментальный характер.

В сборниках “Математическая школа” публикуются учебные материалы московских специализированных школ №№ 2, 7, 444, школы-интерната № 18 при МГУ и Вечерней математической школы при механико-математическом факультете МГУ. Материалы имеют экспериментальный характер.

В сборниках “Математическая школа” публикуются учебные материалы московских специализированных школ №№ 2, 7, 444, школы интерната № 18 при МГУ и Вечерней математической школы при механико-математическом факультете МГУ.

Материалы имеют экспериментальный характер.

В сборниках “Математическая школа” публикуются учебные материалы по математике в специализированных математических школах (Московские школы №№ 2, 7, 444; школа-интернат № 18 при МГУ) и Вечерней математической школе при механико-математическом факультете МГУ. Материалы имеют экспериментальный характер.

В сборниках “Математическая школа” публикуются материалы преподавания математики в специализированных математических школах (Московские школы №№ 2, 7, 444; школа-интернат № 18 при МГУ) и в Вечерней математической школе при механико-математическом факультете МГУ. Материалы имеют экспериментальный характер.

В сборниках “Математическая школа” публикуются материалы преподавания математики в специализированных математических школах (Московские школы № 2, 7, 444; школа-интернат № 18 при МГУ) и в Вечерней математической школе при механико-математическом факультете МГУ. Материалы имеют экспериментальный характер.

P₁ = P₂ =… = Pₙ.

Сравнивая полученные равенства с (*), видим, что все элементы каждой строки равны между собой. Так же можно показать, что все элементы каждого столбца равны между собой. Отсюда следует, что все элементы таблицы равны нулю.

В сборниках “Математическая школа” публикуются материалы преподавания математики в специализированных математических школах (Московские школы №№ 2, 7, 444; школа-интернат № 18 при МГУ) и в Вечерней математической школе при механи-ко-математическом факультете МГУ. Материалы имеют экспериментальный характер.

При механико-математическом факультете МГУ работает Вечерняя математическая школа для учащихся 7—11 классов.

В работе ВМШ могут участвовать все школьники, интересующиеся математикой. Включиться в работу можно и в середине учебного года. Вход на все занятия свободный.

При механико-математическом факультете МГУ работает Вечерняя математическая школа для учащихся 7—11 классов московских школ.

Руководит работой школы совет, утвержденный правлением Московского математического общества. В его составе доцент И. В. Гирсанов, профессор Е. Б. Дынкин и доцент А. Л. Онищик.

Некоторый треугольник ABC на комплексной плоскости при умножении на какое-то комплексное число λ переходит в свою часть.

Доказать, что тогда и равносторонний треугольник A’B’C’ с центром в точке O при умножении на λ переходит в свою часть.

Сборники “Математическая школа” содержат материалы преподавания математики в специализированных математических классах средней школы, материалы Вечерней математической школы при механико-математическом факультете Московского университета, а также другую информацию, представляющую интерес для учеников и преподавателей математических школ. Предлагаемый сборник — первый. Дальнейшие выпуски должны выходить каждые две недели.

Сборники подготавливаются группой математиков Московского университета, работающих в математических классах школы № 2 Октябрьского района г. Москвы и в Вечерней математической школе.

Предпринятое ГТТИ издание сборников «Математическое просвещение» имеет своею задачей пойти навстречу существующему среди учащих и учащихся средних школ и техникумов усиленному запросу на математическую литературу, которая дополняла бы, расширяла и углубляла их математические знания.

Ввиду этого в сборниках будут помещаться очерки и статьи математического содержания, заметки по вопросам преподавания математики, очерки из истории математики, библиографические заметки, задачи и решения их, упражнения для учащихся и другой материал по вопросам элементарной и началам высшей математики.

Печатаемый материал, представляющий интерес для указанных категорий читателей, частично может быть использован также студентами и преподавателями педвузов. К участию в сборниках редакция привлекает профессоров и преподавателей математики высших и средних учебных заведений, наиболее интересующихся математикой и успевающих учащихся, а также всех лиц, сочувствующих этому намерению — дать в живой и интересной форме свежий и новый материал из области математики и тем самым способствовать подьему советской математики в массовом масштабе, содействовать осуществлению грандиозному техническому прогрессу и общему культурному росту страны.

Большинству наших читателей известно, что новый специальный журнал, къ изданію котораго мы теперь приступаемъ, есть лишь продолжение основанного въ 1884 году Профессоромъ В. П. Ермаковымъ Журнала Элементарной Математики, и что, въ общемъ, направление и основныя задачи новой редакціи не могутъ существенно отличаться отъ взглядовъ и тенденцій прежней.

Тѣмъ не менѣе, выпуская въ свѣтъ № 1 нашего „Вѣстника“, мы не считаемъ себя вправѣ уклониться отъ справедливо на каждую новую редакцію налагаемаго требованія выяснить вполнѣ определенно цѣль, которою она задалась, указать избранный ею для достиженія таковой цѣли путь и высказать свои руководящія принципы.

Въ избѣжание этого, не ограничиваясь изложеніемъ утвержденной для нашего изданія программы, мы предлагаемъ въ этой передовой статьѣ кратко отвѣтить на сами главные тѣхъ вопросовъ, которыя могутъ возникнуть въ повидѣнѣи, къ нашей литературѣ журнала съ новыми заглавіемъ.

Примеры дифференциальных уравнений. Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для отыскания численных значений тех или иных величин. Так, при разыскивании максимума и минимума функции мы, решая уравнение, находили те точки, в которых скорость изменения функции обращается в нуль; в главе IV (том 1) рассматривалась задача нахождения корней многочленов и т. п. При этом всякий раз отыскивались из уравнения отдельные числа.

Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, изучая процесс охлаждения тела, мы должны определить, как будет изменяться с течением времени его температура; при определении движения планет или звезд нам необходимо определить зависимость их координат от времени и т. д.

Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть весьма простою, весьма мало обработанною (хотя по способу обращения с функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая неявное задание функций).

Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.

Коллектив авторов при составлении этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материалистическими основами и путями развития.

Эта книга является первой в отечественной литературе попыткой изложения математической теории магических квадратов.

Она требует от читателя довольно высокой математической культуры и рассчитана на достаточно подготовленных любителей математики (учителей, студентов, участников математических кружков для старшеклассников и т. п.).

Сборник задач, предлагаемый мною товарищам по учительству, составился сам собою. Въ течение пятнадцати зимъ я каждый вечеръ упражнялъ учениковъ двухъ старшихъ группъ моей школы (въ ней ихъ четыре) въ устномъ счетѣ. При этомъ я почти не пользовался печатными задачниками, но постоянно импровизировалъ задачи возрастающей сложности, сообразны съ силами учениковъ и съ характеромъ тѣхъ задачъ, которые утромъ рѣшались письменно, или которые предстояло рѣшать на доскахъ въ следующий день.

Импровизация эта не стоилаъ мнѣ ни малѣйшаго труда и въторое приданія этимъ урокамъ то необходимое оживленіе, которое поражало всѣхъ посѣтителей моей школы. Устный счетъ — любимое занятіе моихъ ребятъ, и многіе изъ нихъ приобрѣтаютъ въ нёмъ немалую ловкость.

Книга содержит 27 маленьких очерков, посвященных различным вопросам математики. Каждый из них представляет образец изящного и доступного научного исследования; для чтения их не требуется никакой специальной математической подготовки — достаточно знаний, приобретенных в средней школе.

Ценность книги состоит в том, что она не только знакомит читателя с материалом, над которым работает наука, но и показывает научные методы в действии. С этой стороны книга представляет исключительное явление в мировой научно-популярной литературе.

Включает четыре произведения выдающегося французского математика Анри Пуанкаре (1854—1912): «Наука и гипотеза», «Ценность науки», «Наука и метод» и «Последние мысли», которые посвящены рассмотрению путей познания в математике, механике и физике. 1-е изд. — 1983 г.

Для математиков, физиков, механиков, философов.

Употребление таблиц перевода мер (стр. 11—37) понятно из примеров, сопровождающих каждую страничку. В табличках даны непосредственно лишь переводы для множителей от 1 до 9, но ими легко можно пользоваться и при переводе сколь угодно большего числа единиц, как видно из след. примера.

Перевести 427,3 гектара в десятины. Рассматриваем 427,3 как сумму: 400 + 20 + 7 + 0,3 и подыскиваем последовательно из таблиц (стр. 29)

В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.

Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.

На русском языке имеется целый ряд оригинальных и переводных сборников¹, преследующих в общем ту же цель, что и настоящая книга: оживить школьную математику введением в нее интересных задач, занимательных упражнений, любопытных теоретических и практических сведений.

Знакомым с этой литературой хорошо известно, что большинство подобных книг усердно черпают свой материал из одного и того же ограниченного фонда, накопленного столетиями; отсюда — близкое сходство этих сочинений, разрабатывающих, с различной детальностью, почти одни и те же темы.

Но традиционный инвентарь математических развлечений достаточно уже исчерпан в нашей литературе. Новые книги этого рода должны привлекать новые сюжеты.

Книга Я. И. Перельмана принадлежит к числу наиболее доступных из известного цикла книг автора, посвящённых занимательным вопросам математики. Здесь собраны разнообразные математические головоломки, из которых многие облечены в форму маленьких рассказов.

Для их решения достаточно знакомства с элементарной арифметикой и простейшими сведениями из геометрии. Лишь незначительная часть задач требует умения составлять и решать простейшие уравнения.

Книга рассчитана на подростков — учащихся средней школы, школ рабочей молодёжи и на взрослых, ищущих разумных и полезных развлечений в часы отдыха.

В поисках средств для оживления в широких кругах интереса к математике, мне пришла мысль собрать ряд произведений, трактующих математические темы в беллетристической или полубеллетристической форме, и предложить их читателю с соответствующими комментариями. Число таких произведений, конечно, весьма ограничено. Этим объясняются скромные размеры настоящего сборника.

Однако, затрагиваемые в нем математические темы все же довольно разнообразны: относительность пространства и времени, четырехмерный мир, расчеты из области небесной механики, вопросы математической географии, комбинаторика и исполинские числа, приложения математического анализа к играм, неопределенность и анализ, уравнения. Можно надеяться, что этот небольшой сборник натолкнет иных читателей на более серьезные размышления и побудит к систематическому ознакомлению с тем или иным отделом математики.

Настоящий сборник является первым известным мне опытом подобного рода.

В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме.

Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. *Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни.

Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.

Обычно считают, что математика служит основою образования инженера и что всякий инженер должен знать математику.

Настоящий очерк посвящен рассмотрению вопроса о том, в какой мере такой взгляд правилен или неправильнен, а вместе с тем и вопросу о том, кого и как учить математике.

Математика в современном своем состоянии настолько обширна и разнообразна, что можно смело сказать, что в полном объеме она уму человеческому непостижима, а следовательно, должен быть сделан строгий выбор того, что из математики нужно знать и зачем нужно знать инженеру данной специальности.

В этом выборе нам может помочь и самое общее обозрение исторического хода развития математики и практических ее приложений.