Предлагаемая книга возникла из курса лекций, читанных известным французским математиком М. Брело в Парижском университете. В ней излагаются основные концепции современной теории потенциала в том виде, как они развиваются французской математической школой со времен А. Пуанкаре и А. Лебега. Изложение ведется в классической форме, т. е. применительно к евклидовым пространствам.
Современная теория потенциала находит важные и все более расширяющиеся применения в теории функций, теории краевых задач математической физики и теории вероятностей.
Эта книга будет полезной для всех математиков и физиков, интересы которых лежат в указанных областях. Для понимания изложения требуется владение основными понятиями математического анализа и теоретико-множественной топологии.
Давно известны примеры дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, все решения которых являются аналитическими функциями своих аргументов. Классический пример представляет уравнение Лапласа.
Одною из своих знаменитых «математических проблем», предложенных в 1900 году на первом международном математическом конгрессе в Париже, Гильберт предугадывал, что «все решения регулярных задач вариационного исчисления являются аналитическими функциями».
В этой монографии изложены основы развитого автором метода интегральных представлений решений линейных уравнений с частными производными. В основе метода лежит получение классов решений этих уравнений из аналитических функций при помощи специальных интегральных операторов.
В книге рассматриваются уравнения и системы с двумя и тремя независимыми переменными (в частности, строится теория гармонических векторов в пространствах, являющаяся пространственным аналогом теории аналитических функций). Специальная глава посвящена уравнениям смешанного типа и уравнениям, коэффициенты которых имеют особенности.
Метод Бергамна успешно применяется в ряде прикладных задач, но возможности его применения еще далеко не исчерпаны. Поэтому книга представляет определенную ценность не только для математиков, занимающихся теорией уравнений с частными производными и теорией аналитических функций, но также и для механиков, физиков и инженерно-исследователей. Она доступна также студентам старших курсов.
Русское издание дополнено переводом трех статей автора, тематика которых примыкает к вопросам, изложенным в книге.
Хорошо известно, что многочисленные проблемы геометрии, вариационного исчисления и механики тесно связаны с краевыми задачами для эллиптических нелинейных уравнений.
В этой книге подробно изучаются взаимосвязи между геометрией и эллиптическими краевыми задачами. Наибольшее внимание уделено первой краевой задаче (задаче Дирихле). Остановимся теперь на методах и результатах, излагаемых в книге.
Книга посвящена современным способам построения коротковолновой асимптотики дифракционных задач: лучевому методу, методу параболического уравнения и методу эталонных задач. Рассматриваются разные приемы нахождения асимптотики собственных функций оператора Лапласа и функций Грина для уравнения Гельмгольца.
В книге нашли отражение работы академиков В. А. Фока и М. А. Леонтовича, американского математика Дж. Б. Келлера, многих других отечественных и зарубежных ученых и, в частности, некоторые исследования авторов книги. Книга адресуется специалистам-теоретикам, работающим в области радиофизики, геофизики, квантовой механики, и математикам, интересующимся современными проблемами математической физики.
Для чтения книги достаточно владеть математикой в объеме программы, обычной для физических факультетов университетов СССР. Книга является частью задуманного авторами двухтомного курса «Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн». В другой его части найдут свое отражение современные приемы нахождения коротковолновой асимптотики точных решений дифракционных задач.
В этой небольшой книге излагается метод пограничного слоя — весьма универсальный метод, позволяющий находить коротковолновую асимптотику решений многих дифракционных задач.
Книга рассчитана на специалистов-теоретиков, работающих в области теории дифракции акустических, электромагнитных и других волн, и на математиков, интересующихся асимптотическими методами математической физики.
Монография, написанная более 40 лет назад крупным французским математиком Адамаром, представляет собой классический труд по теории линейных уравнений с частными производными.
В книге впервые построено фундаментальное решение линейного гиперболического и эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Обсуждается вопрос о принципе Гюйгенса.
Несмотря на наличие богатой литературы по математической физике, студенты и аспиранты высших технических учебных заведений, так же как и инженеры, работающие в промышленности, которым необходимы первоначальные сведения по уравнениям математической физики, испытывают серьезные затруднения в подборе руководства по этой важной отрасли прикладной математики.
Это объясняется тем, что почти все книги, существующие в этой области, либо опираются на слишком большой объем математических знаний, либо написаны столь сжато и развивают математический аппарат столь далеко, что оказываются недоступными для указанного выше круга возможных читателей настоящей книги.
Третий выпуск «Курса высшей математики и математической физики» для физических и физико-математических факультетов содержит теорию дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете Московского ордена Ленина государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Излагаемый материал хотя и близок к содержанию книг автора «Дифференциальные уравнения» (М., Гостехиздат, 1957) и «Вариационное исчисление» (М., Гостехиздат, 1958), однако по совету редакторов Курса в него внесен ряд изменений. За эти советы автор выражает им свою искреннюю признательность.
Отражены результаты научных исследований, ведущихся в учебных и научных учреждениях России и стран СНГ в области математического и имитационного моделирования. Все результаты касаются симметрий дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными.
Сборник статей предназначен для широкого круга специалистов, занимающихся проблемами математического моделирования и интересующихся симметриями дифференциальных уравнений.
