Монография посвящена изложению метода построения асимптотических решений нормальных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при некоторых производных. Описываемый метод позволяет получать асимптотические представления для траекторий таких систем на любом отрезке времени, вычислять периодические решения и находить различные характеризующие решение величины (в частности, период периодического решения).
Рассматриваемые вопросы представляют интерес при исследовании ряда механических, физических и технических задач, например, в теории релаксационных колебаний. Книга рассчитана на научных работников (математиков, механиков, физиков), на инженеров-исследователей и студентов, интересующихся дифференциальными уравнениями, теорией асимптотических методов и применением этих методов для решения прикладных задач.
Монография посвящена построению спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с помощью операторов преобразования. Такой подход позволил единым способом и достаточно просто получить все основные результаты спектральной теории как в самосопряженном, так и в несамосопряженном случае.
Особое внимание уделено новым разделам теории (обратным задачам, асимптотическим формулам для спектральных функций и др.), для которых аппарат операторов преобразования оказался наиболее сильным и естественным орудием исследования. В каждом параграфе приведены задачи, содержащие обобщения и уточнения излагаемого материала.
Книга рассчитана на научных работников — математиков и физиков, аспирантов и студентов старших курсов математических и физических факультетов университетов.
В развитии многих важных направлений математики и физики большую роль сыграли понятия и методы, зародившиеся в процессе изучения таких простых объектов, как уравнение Штурма — Лиувилля –y'' + q(x)y = zy и связанный с ним оператор Штурма — Лиувилля L = –d²/dx² + q(x) (в последнее время его часто называют также одномерным оператором Шредингера, а функцию q(x) — потенциалом).
Они были постоянным источником новых идей и задач для спектральной теории операторов и смежных разделов анализа. Этот источник не иссякает вот уже более 200 лет, с тех пор, как появились первые работы Д. Бернулли и Л. Эйлера, посвященные решению уравнения колебаний струны.
Подтверждением этому могут служить недавно обнаруженные Г. Гарднером, Дж. Грином, М. Крускалом и Р. Миурой [27] неожиданные связи спектральной теории операторов Штурма — Лиувилля с некоторыми нелинейными эволюционными уравнениями в частных производных.
Обширная монография одного из крупнейших американских математиков С. Лефшеца содержит систематическое изложение качественной теории дифференциальных уравнений. В ней рассматриваются вопросы устойчивости (в частности, устойчивости периодических решений), поведение систем в окрестностях особой точки и т. п. Особое внимание уделено двумерному случаю. Изложение ведется на высоком математическом уровне, сочетающем широту охвата со строгостью изложения.
Методы, развиваемые в книге, имеют важные практические применения в ряде отраслей физики и техники. Поэтому книга найдет широкий круг читателей — математиков (начинающих и специалистов) и научных работников различных специальностей.
За последние годы значительно возрос интерес к теории устойчивости движения. Созданная в 90-х годах прошлого века гением А. М. Ляпунова эта теория нашла широкое применение в различных областях физики и техники. Ее широкому внедрению в практику способствовали многочисленные исследования главным образом советских ученых.
Появилась настоятельная необходимость дать систематическое изложение теории, применяемых в ней методов, показать их приложение к решению конкретных практических задач. Этой цели и служит настоящая книга, как и ранее вышедшая книга Н. Г. Четаева «Устойчивость движения» (1946 г.).
Однако настоящая книга значительно превышает по объему книгу Н. Г. Четаева, что позволило автору остановиться не только на основных узловых вопросах теории, но и на некоторых подробностях отдельных вопросов. Для читателя-прикладника, на которого книга, в основном, и рассчитана, эти подробности, касающиеся часто методов вычислений, могут оказаться очень важными.
Вместе с тем автор сознает, что увеличение объема книги затрудняет изучение в особенности для читателей, желающих впервые будет знакомиться с теорией устойчивости и не обладает большой математической подготовкой. Чтобы облегчить усвоение книги такими читателями, автор придерживается концентрического метода изложения.
В этой книге помещены знаменитая докторская диссертация гениального русского ученого Александра Михайловича Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», впервые опубликованная в издании Харьковского математического общества в 1892 г., и три статьи А. М. Ляпунова, в известной мере дополняющие диссертацию. Диссертация и статьи написаны Ляпуновым больше, чем пятьдесят лет тому назад. Однако только в последние двадцать лет выявилась та огромная роль, которую имеют исследования Ляпунова для современной техники.
Текст диссертации А. М. Ляпунова воспроизводится без изменений; внесены лишь те исправления, которые были указаны самим А. М. Ляпуновым в статье «К вопросу об устойчивости движения». Кроме того, названия параграфов, данные А. М. Ляпуновым только в оглавлении, вставлены также в текст книги. Аналогичным образом без изменения воспроизводится и текст статей.
В конце книги помещены небольшие примечания к тексту А. М. Ляпунова, сделанные членом-корреспондентом Академии наук СССР Н. Г. Четаевым. Ссылки на эти примечания даны в тексте в квадратных скобках.
Книга представляет собой изложение основ теории устойчивости по Ляпунову и его прямого метода, доступное инженерам. Весь необходимый для чтения книги математический аппарат, выходящий за пределы программы технического вуза, приводится в первой ее главе.
Излагая прямой метод Ляпунова, авторы широко используют геометрические интерпретации и приводят примеры приложения полученных результатов к теории автоматического регулирования. Книга содержит и весьма интересный новый материал по распространению метода Ляпунова.
Книга предназначена для математиков и инженеров, занимающихся вопросами устойчивости и автоматического регулирования. Она может быть использована студентами в качестве учебного пособия при изучении теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории автоматического регулирования.
Предлагаемая вниманию читателя книга выдающегося русского математика И. А. Лаппо-Данилевского содержит все его основные работы по теории функций от матриц и ее приложениям к исследованию линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В основу книги положено полное собрание сочинений И. А. Лаппо-Данилевского, опубликованное в 1934–36 гг. в “Трудах физико-математического института имени В. А. Стеклова” на французском языке и подготовленное к печати академиками Н. Е. Кочиным и В. И. Смирновым.
В настоящем издании из полного собрания сочинений исключено два мемуара, “Аналитическое продолжение ряда композиций” и “Разложение по степеням параметра”, которые не являются необходимыми при чтении основных работ И. А. Лаппо-Данилевского.
В конце книги помещена речь И. А. Лаппо-Данилевского, произнесенная им при защите диссертации.
Перевод с французского выполнен И. П. Мысовским. Общая редакция осуществлялась акад. В. И. Смирновым. Им же написана вступительная статья.
Проблемы интегрирования линейных дифференциальных уравнений занимали математиков еще в XVIII веке. Затем в XIX веке построение Коши теории функций комплексного переменного дало возможность обосновать всю теорию линейных дифференциальных уравнений на твердом аналитическом фундаменте и построить ту обширную теорию, которая сейчас называется аналитической теорией линейных дифференциальных уравнений. Задачей этой теории является исследование функций комплексного переменного, определяемых линейными дифференциальными уравнениями с аналитическими коэффициентами.
Здесь надо упомянуть прежде всего блестящие по результатам и глубокой по идеям работы Римана по ряду функций, непосредственно связанных с линейными дифференциальными уравнениями. Необходимо добавить к этому, что значительную роль Гаусс в некоторых своих письмах высказал идеи, которые потом были развиты в аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. Начало современной теории аналитических функций, которая была построена Вейерштрассом в 60-х годах XIX столетия, внесло много нового в задачу, которая формулирует основную задачу теории.
При настоящем положении анализа интеграция линейных дифференциальных уравнений сводится чаще всего не на том, чтобы найти общую формулу для решения указанного уравнения в том, чтобы получить из этого уравнения ряд аналитических результатов о поведении интегралов для всех точек плоскости, где ставление одной независимой переменной.
Этот курс дифференциальных уравнений представляет собой один из томов моего курса математики. Он подготовлен к печати в течение летних месяцев этого года, и появился в итоге моего довольно продолжительного изучения теории интегрирования дифференциальных уравнений, попыток ее дальнейшей разработки и стремления применить и известные, и полученные мною результаты к решению некоторых задач из области чистой и прикладной математики, а также из области инженерно-технических наук.
Только некоторые первые параграфы из первых глав этой книги представляют собой обработанный для печати материал из моих лекций студентам различных технических институтов, так как я меньше всего занимался преподаванием как раз именно теории дифференциальных уравнений; некоторые главы из середины книги отчасти являются переработкой того, что излагалось мною на лекциях аспирантам Научно-исследовательской кафедры математики в Киеве в 1928–1930 годах и аспирантам при Артиллерийской Академии РККА в Ленинграде в 1933 г.
