В брошюре рассказано о зарождении математики и её дедуктивном построении. Рассмотрены два примера — теорема Пифагора и задача описания всех пифагоровых троек.
Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной лауреатом Государственной премии СССР академиком РАН Д. В. Аносовым 5 декабря 1999 года для участников III Международного математического турнира старшеклассников <Кубок памяти А. Н. Колмогорова> — школьников 8—11 классов.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей…
Первое издание — январь 2000 года.
Брошюра представляет собой записки цикла лекций для старшекурсников и аспирантов, прочитанных автором в Независимом московском университете осенью 2006 года.
Обсуждается понятие гиперболичности по Кобаяси в алгебро-геометрическом контексте; в частности, много внимания уделяется вопросам (не)существования рациональных, эллиптических и целых кривых на алгебраических многообразиях (на эту тему представлены результаты Вуазен, Богомолова, Макквиллена, Демайи и др.).
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками. Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи, к курсу алгебры, который в 1995— 2000 годах читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова.
Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах). При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математичекского кружка.
Книга посвящена тем свойствам коник (кривых второго порядка), которые формулируются и доказываются на чисто геометрическом языке (проективном или метрическом). Эти свойства находят применение в разнообразных задачах, а их исследование интересно и поучительно. Изложение начинается с элементарных фактов и доведено до весьма нетривиальных результатов, классических и современных. Раздел «Некоторые факты классической геометрии» является содержательным дополнением к традиционному курсу евклидовой планиметрии, расширяющим математический кругозор читателя.
Книга демонстрирует преимущества чисто геометрических методов, сочетающих наглядность и логическую прозрачность. Она содержит значительное количество задач, решение которых тренирует геометрическое мышление и интуицию.
Книга может быть полезна для школьников старших классов, студентов физико-математических специальностей, преподавателей и широкого круга любителей математики.
Эта книга представляет собой сборник теорем классической геометрии, сформулированных в виде картинок.
Она предназначена для школьников старших классов, учителей, а также всех, кто интересуется элементарной геометрией.
Новым временем нередко условно называют XVII и XVIII века. В Европе, и прежде всего в экономически более развитых государствах, в эту пору укреплялся новый общественный строй — капитализм.
Составной частью этого процесса была техническая революция — переход от мануфактурной промышленности к фабричной и целая серия изобретений, среди которых особое место заняло создание паровой машины. Ф. Энгельс писал, что это орудие «в большей мере, чем что-либо другое, будет революционизировать общественные отношения во всем мире» и «сначала доставит буржуазии социальное и политическое господство, а затем вызовет классовую борьбу между буржуазией и пролетариатом». Приход к власти буржуазии происходит в острой идеологической и политической борьбе, и на ряде стран для этого потребовался революционный взрыв.
В Англии буржуазная революция завершилась к середине XVII в., в растянутом виде продолжалась до конца XVIII в.; революции в Нидерландах конца XVI в., закончившиеся испанским владычеством, и революции во Франции и странах Центральной Европы в течение XIX в. Новое время было неотделимо от индустриальной революции. Цепную реакцию великих преобразований во всех областях естествознания начали географические открытия XV-XVI вв., связанные между собой с объединением людям территории нашей планеты.
Во взаимоотношениях математики с ее приложениями сравнительно недавно наступил глубокий перелом. Раньше можно было более или менее четко указать пограничные, “прикладные” области математики и глубинные, “чисто теоретические” ее недра. Эти недра не имели непосредственного выхода на поверхность, в них осуществлялись свои собственные процессы (конечно, не без влияния периферии).
Так, в античные времена математика сносилась с практикой через элементарную геометрию и искусство счета — в то время как “в глубине” создавались “Начала” Евклида с их дедуктивной организацией геометрии, с геометрическими построениями, с основами теории чисел. В новое время прикладное значение имело исчисление бесконечно малых, для обоснования которого “в недрах” развивалась общая теория множеств и функций, вызвавшая в свою очередь к жизни математическую логику.
Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов, вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов. Обычно объекты и их отображения образуют категорию. Именно поэтому теоретико-категорный язык с момента своего появления стал модным средством выражения результатов математических исследований, тем более, что само рождение теории категорий связано с бурным развитием идей и методов гомологической алгебры.
За последние годы за рубежом появилось несколько монографий, содержащих систематическое изложение основ теории категорий и некоторых ее достижений, относящихся, как правило, к абелевым категориям. Некоторые результаты, относящиеся к абелевым категориям, можно найти в книгах А. Гротендика [3], А. Картана и С. Эйленберга [4], С. Маклейна [10], переведённых на русский язык. В этих книгах категорией пользуются как вспомогательный аппарат для гомологической алгебры. Интересное и глубокое изложение теории абелевых категорий можно найти в книгах П. Фрейда [13], Б. Митчела [11] и П. Габриэля [2].
Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов: теория множеств немыслима без отображений множеств, топология немыслима без непрерывных отображений, алгебра немыслима без гомоморфизмов алгебраических систем и т. д. Обычно объекты и их отображения образуют категорию.
Грубо говоря, это означает, что отображения можно иногда перемножать, причем это умножение ассоциативно. Абстрагируясь от структуры объектов, теория категорий изучает свойства совокупности отображений, снабжённой частичной операцией умножения. В последние годы все более вырисовывается объединяющая и унифицирующая роль теории категорий в математике. Поэтому, наряду с теорией множеств, она образует фундамент современного математического мышления и является самостоятельной областью математики.
