Настоящая брошюра возникла на основе лекций, прочитанных автором на летней математической школе «Современная математика» в Дубне в 2006 г.
В ней рассказывается о двух мощных методах современного дискретного анализа — вероятностном и алгебраическом. Оба эти метода широко применяются сейчас для решения различных задач экстремальной комбинаторики. В частности, многие важные аспекты таких классических проблем, как проблема Ворсука или проблема отыскания чисел Рамсея, рассматриваются исключительно с позиций вероятностной и алгебраической технологий.
В брошюре на наиболее ярких примерах подобных задач излагаются основы методов. Необходимые сведения из (элементарной) теории вероятностей, анализа и алгебры приводятся в конце брошюры в специальном разделе. Брошюра доступна студентам младших курсов и даже школьникам. Однако полезна она может быть всем, кто интересуется комбинаторикой.
Работа посвящена интересному и актуальному направлению, бурно развивающемуся в последние годы, в рамках которого открыты важные методы интегрирования гамильтоновых уравнений и получены новые результаты о геометрической структуре интегрируемых уравнений. Большинство вопросов впервые изложены в виде, доступном для широкого круга специалистов.
Для научных работников — математиков, физиков, механиков, аспирантов и студентов соответствующих специальностей. Может быть использована как пособие по специальным курсам: симплектическая геометрия, интегрируемые системы и др.
3 апреля 2025 года исполняется 100 лет со дня рождения отечественного математика, видного специалиста в области многомерной дифференциальной геометрии, талантливого организатора учебно-воспитательного и научного процессов в работе математической кафедры технического вуза, участника Великой Отечественной войны, доктора физико-математических наук, профессора Георгия Ионовича Кручковича (1925-1985). На протяжении 20 лет учёный заведовал кафедрой высшей математики: Всесоюзного заочного энергетического института (ВЗЭИ) два года (июнь 1965 – июнь 1967), который позже был переименован в Московский институт радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), 18 лет (июнь 1967 – июль 1985). Он является автором и соавтором учебных пособий, по которым обучались и признавались лучшими студенты заочного, вечернего и очного отделений технических вузов советского периода. Но эти книги не потеряли своей актуальности и поныне. Имя учёного крайне редко упоминается в исследованиях историко-математического характера. Цель данной статьи – устранить указанную несправедливость. В статье приводятся малоизвестные сведения из биографии Г. И. Кручковича, реконструируются его научные и методические достижения, описывается общественная, просветительская и организационная работа на посту заведующего кафедрой высшей математики, а также научно-педагогическое наследие.
В книге собраны задачи, представляющие основной круг идей школьного курса алгебры и начал математического анализа; специальные разделы посвящены комбинаторике и комплексным числам.
Особенностью книги является группировка задач в серии: в каждой серии задачи связаны общей идеей решения и расположены в порядке возрастания трудности. Это расположение материала, а также указания к каждой серии, составляющие вторую часть книги, и вводные замечания к отдельным главам помогут читателю в самостоятельной работе и приобретении навыков математического мышления.
Для школьников, преподавателей, лиц, занимающихся самообразованием, студентов педагогических вузов.
Школьный курс алгебры представляет собой своеобразное соединение сведений из различных отделов математики.
Сюда входят: обобщение понятия числа (последовательное построение системы рациональных, действительных и, наконец, комплексных чисел), отнесённое нами к арифметике (см. статью И. В. Проскурякова в первой книге); изучение кольца многочленов и поля рациональных функций (охватывающее так называемые тождественные преобразования рациональных выражений) и решение алгебраических уравнений в простейших случаях, т. е. собственно алгебраический материал, отнесённый к настоящей книге; сведения о некоторых элементарных неалгебраических функциях — степенной, показательной, логарифмической, о пределах, последовательностях и простейшем ряде (геометрическая прогрессия), т. е. материал из области анализа (см. третью книгу настоящего издания), и, наконец, элементы комбинаторики, отнесённые нами в шестую книгу, где читатель найдёт также и основные сведения из теории вероятностей.
Таким образом, читатель, заинтересованный научными основами школьного курса алгебры, должен знать, что он найдёт эти основы не в одной, а в нескольких книгах «Энциклопедии элементарной математики» и именно в книгах «Арифметика», второй, третьей и шестой, под названиями «Арифметика», «Алгебра», «Анализ» и «Разные вопросы».
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками.
Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи, к курсу алгебры, который в 1995— 2000 годах читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова.
Первое издание настоящей книги вышло в свет в 1950 г.; эта книга открывала серию «Библиотека математического кружка». Около 15 задач в первоначальном варианте книги было заимствовано из рукописи одного из основателей кружка при МГУ Давида Оскаровича Шклярского (1918—1942), в возрасте 23 лет погибшего в партизанском отряде в Белоруссии.
При этом влияние Додика Шклярского на всю работу, проводимую в Москве с интересующимися математикой школьниками, и, в частности, на книги серии «Библиотека математического кружка» было настолько значительным, что постановка его фамилии на первое место в списке авторов этой сборника является вполне уместной. В 1954 г. книга была перевыпущена и дважды переведена на английский язык, и в 1965 г. книга снова переиздавалась, но уже без существенных изменений.
В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами.
Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.
Эта книга — про алгебру. Алгебра — наука древняя, и от повседневного употребления её сокровища поблекли. Авторы старались вернуть им первоначальный блеск.
Основную часть книги составляют задачи, большинство которых приводится с решениями. Начав с элементарной арифметики, читатель постепенно знакомится с основными темами школьного курса алгебры, а также с некоторыми вопросами, выходящими за рамки школьной программы, так что школьники разных классов (от 6 до 11) могут найти в книге темы для размышлений.
Ниже следующие задачи предлагались на семинарах по курсу алгебры, прочитанному проф. Э. Б. Винбергом в Математическом Колледже Независимого Московского Университета в 1992–1994 гг. Разумеется, студентам предлагались также задачи из широко известных сборников Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, И. В. Проскурякова, под ред. А. И. Кostrikiна и других. Некоторые такие задачи приведены и здесь.
При составлении настоящего задачника авторы старались следовать двум принципам: свести к минимуму чисто вычислительные и стандартные задачи, а кроме того, по возможности, объединить задачи в циклы, последовательное решение которых помогло бы студенту овладеть идеей какой-либо конструкции или доказать теорему, отсутствующую в распространённых учебниках.
Этим объясняется наличие в задачнике «разносолов», вроде алгебр Хопфа, инвариантов узлов или представлений полной линейной группы.