Желая представить себе сегодняшнее лицо той или иной области математики, мы обычно обращаемся к полке со свежими номерами журналов или, экономя время, к соответствующим разделам реферативного журнала.
Из статей мы узнаем, что нового произошло в данной области, какие вопросы удалось решить, а какие продвинуть, но гораздо реже — и то лишь в связи с полученными автором результатами — узнаем мы, какие вопросы автор решать не умеет, но считает интересными.
Между тем сводка «сегодняшних проблем» имеет для развития всякой области ничуть не меньшее значение, чем сводка достижений, а видимые связи между той и другой часто обманчивы. Вот почему разумно время от времени публиковать сводки актуальных проблем с участием широкого круга авторов. “Коуравская тетрадь” — именно такой сборник нерешенных вопросов из области теории групп.
За последние десятилетия под влиянием ряда разделов современной математики, таких, как алгебраическая геометрия и другие, интенсивно развivалась теория коммутативных колец и полей. Данным разделом алгебры и посвящена эта обстоятельная монография. Изложение открывается основными понятиями современной алгебры (группы, кольца и поля), начиная от самых начальных сведений до основной теоремы теории Галуа.
Остальная часть первого тома монографии посвящена общей теории коммутативных колец и охватывает наряду с классическими результатами многие факты, найденные за последние годы и освещавшиеся до сих пор лишь в журнальных статьях.
Во втором томе подробно исследуются кольца специальных типов: кольца нормирования, кольца полиномов и степенных рядов и локальные кольца.
Книга может служить учебным пособием и основой для специальных курсов по важным разделам современной алгебры и предполагает очень малую предварительную подготовку.
Монография одного из крупнейших французских математиков Жана Дьёдонне содержит систематическое изложение теории классических линейных групп над произвольным телом. Третье её издание дополнено новейшими результатами об автоморфизмах классических групп.
Несмотря на то что многие из результатов, излагаемых в книге, могут быть теперь получены методами теории полупростых алгебраических групп, монография Дьёдонне сохраняет своё значение как безукоризненное изложение теории классических групп классическими методами, преимущество которых состоит в простоте и высокой степени конструктивности.
Изложение носит характер обзора: доказательства, как правило, лишь намечаются. Благодаря этому книга при небольшом объёме содержит очень много результатов.
Книга заинтересует математиков многих специальностей, в первую очередь специалистов по алгебре и топологии. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов и педагогических институтов.
Книга Н. Джекобсона является систематическим изложением теории колец, в первую очередь колец эндоморфизмов. Эта область абстрактной алгебры, возникшая в начале нашего столетия, получила дальнейшее развитие в работах Алберта, Артина, Э. Нетера и других, и в настоящее время продолжает быстро развиваться.
Книга рассчитана на научных работников-математиков, а также аспирантов и студентов старших курсов математических факультетов, специализирующихся по алгебре. Она может служить хорошим дополнением к работам советских ученых по современной алгебре, которые развивались по преимуществу в других смежных направлениях (см. книгу А. Г. Куроша „Теория групп“ и работы И. М. Гельфанда по теории нормированных колец).
Предыдущая монография автора „Теория колец“ хорошо известна советскому читателю. Ее русский перевод был издан в 1947 г. В своей новой монографии „Строение колец“ автор впервые систематизирует богатый материал, накопленный в теории ассоциативных колец и алгебр за последние 10—12 лет, в течение которых происходило быстрое развитие этой теории, совершенно изменившее ее лицо. Чтение книги дает отчетливое представление о современном состоянии упомянутой теории и об основных тенденциях ее развития.
Монография рассчитана на математиков-алгебраистов; она будет полезна также студентам и аспирантам университетов и педагогических институтов, специализирующимся в области алгебры.
У школьников обычно складывается впечатление, что математика занимается исключительно числами и измерениями. Однако на самом деле математика — это нечто гораздо большее, чем просто наука для счетоводов и кассиров; скорее, она имеет дело с логикой и качественными связями между понятиями.
Теория групп — один из важных разделов «неличественной» (если можно так сказать) математики. Хотя понятие группы появилось в математике сравнительно недавно, оно оказалось на редкость плодотворным. Например, теория групп дала мощные средства для исследования алгебраических уравнений, геометрических преобразований, а также для решения ряда задач топологии и теории чисел.
Книга предназначается для активного изучения расширенного курса линейной алгебры и основ функционального анализа. Многие теории и построения, представленные в книге, являются конечномерными моделями соответствующих оригинальных теорий и построений из функционального анализа. При этом, сохраняя свое идейное содержание, они становятся существенно более доступными.
В целом книгу можно рассматривать как изложение линейной алгебры с точки зрения функционального анализа. Но вместе с тем в ней встречаются также некоторые существенно конечномерные теории. Весь материал книги изложен в форме задач на доказательство. Вначале рассматриваются геометрия комплексного линейного пространства и спектральная теория линейных операторов в этом пространстве. Затем изучается унитарное пространство, в котором строится спектральная теория самосопряженных и унитарных операторов. Далее вводится понятие нормы, рассматриваются геометрия нормированных пространств и некоторые свойства операторов в этих пространствах.
После некоторого отступления в область полилинейной и внешней алгебры вводится вещественное линейное пространство и рассматриваются вопросы, связанные с комплексификацией и декомплексификацией, а также элементы дифференциального исчисления для отображений. На основе излагаемой далее теории выпуклых множеств изучаются вопросы разложения собственных значений и сингулярных значений линейных операторов.
После этого в вещественном линейном пространстве вводится отношение порядка и в упорядоченном пространстве строится теория линейных неравенств, а также теория линейной и нелинейной оптимизации. Далее, уже в комплексном пространстве, систематически излагается теория расширенной оптимизации, и в заключение рассматриваются некоторые специальные классы операторов.
В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. д. В то же время ни в советской, ни в иностранной литературе нет книги, которая достаточно полно освещала бы как вопросы теории матриц, так и разнообразные её приложения.
Данная книга представляет собой попытку восполнить этот пробел в математической литературе. В основе книги лежат курсы лекций по теории матриц и её приложениям, читанные автором в разное время на протяжении последних 17 лет в Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова, в Тбилисском Государственном университете и в Московском физико-техническом институте.
В настоящее четвёртое издание добавлен новый параграф «Тензорное произведение» (§ 25), написанный совместно с М. И. Граевым.
Добавлены также п. 6 в § 9 и текст, напечатанный мелким шрифтом, в конце п. 2 § 23. Автор благодарит читателей А. Г. Карновского (г. Кауннас) и Ю. Г. Шмелакова (г. Москва) за замечания, позволившие исправить ряд опечаток и погрешностей.
Жизнь и творчество Эвариста Галуа (Évariste Galois, 1811—1832) представляют собой совершенно исключительное в истории наук явление. Молодой человек, не достигший 21 года, совершает в математике переворот, ставя её на совершенно новые рельсы.
Исследуя вопрос об условиях разрешимости алгебраических уравнений в радикалах невозможность такого решения для произвольного уравнения степени выше четвёртой была незадолго до этого доказана Абелем (Niels-Henrik Abel, 1802—1829), он даёт полное его принципиальное решение.
Полученные им результаты позволяют решить для всякого заданного уравнения при помощи конечного числа действий вопрос, разрешается ли оно в радикалах. Но несравненно большую ценность для математики имеет построенный им аппарат, при помощи которого он достиг своих результатов.
Выражаясь современным языком, Галуа предложил изучать структуру алгебраических полей, сопоставляя с ними структуру групп конечного числа символов (подстановок), допускающих те же самые действия над ними.
