Примеры дифференциальных уравнений. Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для отыскания численных значений тех или иных величин. Так, при разыскивании максимума и минимума функции мы, решая уравнение, находили те точки, в которых скорость изменения функции обращается в нуль; в главе IV (том 1) рассматривалась задача нахождения корней многочленов и т. п. При этом всякий раз отыскивались из уравнения отдельные числа.
Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, изучая процесс охлаждения тела, мы должны определить, как будет изменяться с течением времени его температура; при определении движения планет или звезд нам необходимо определить зависимость их координат от времени и т. д.
Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть весьма простою, весьма мало обработанною (хотя по способу обращения с функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая неявное задание функций).
Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.
Коллектив авторов при составлении этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материалистическими основами и путями развития.
Сборник задач, предлагаемый мною товарищам по учительству, составился сам собою. Въ течение пятнадцати зимъ я каждый вечеръ упражнялъ учениковъ двухъ старшихъ группъ моей школы (въ ней ихъ четыре) въ устномъ счетѣ. При этомъ я почти не пользовался печатными задачниками, но постоянно импровизировалъ задачи возрастающей сложности, сообразны съ силами учениковъ и съ характеромъ тѣхъ задачъ, которые утромъ рѣшались письменно, или которые предстояло рѣшать на доскахъ въ следующий день.
Импровизация эта не стоилаъ мнѣ ни малѣйшаго труда и въторое приданія этимъ урокамъ то необходимое оживленіе, которое поражало всѣхъ посѣтителей моей школы. Устный счетъ — любимое занятіе моихъ ребятъ, и многіе изъ нихъ приобрѣтаютъ въ нёмъ немалую ловкость.
Включает четыре произведения выдающегося французского математика Анри Пуанкаре (1854—1912): «Наука и гипотеза», «Ценность науки», «Наука и метод» и «Последние мысли», которые посвящены рассмотрению путей познания в математике, механике и физике. 1-е изд. — 1983 г.
Для математиков, физиков, механиков, философов.
В поисках средств для оживления в широких кругах интереса к математике, мне пришла мысль собрать ряд произведений, трактующих математические темы в беллетристической или полубеллетристической форме, и предложить их читателю с соответствующими комментариями. Число таких произведений, конечно, весьма ограничено. Этим объясняются скромные размеры настоящего сборника.
Однако, затрагиваемые в нем математические темы все же довольно разнообразны: относительность пространства и времени, четырехмерный мир, расчеты из области небесной механики, вопросы математической географии, комбинаторика и исполинские числа, приложения математического анализа к играм, неопределенность и анализ, уравнения. Можно надеяться, что этот небольшой сборник натолкнет иных читателей на более серьезные размышления и побудит к систематическому ознакомлению с тем или иным отделом математики.
Настоящий сборник является первым известным мне опытом подобного рода.
Обычно считают, что математика служит основою образования инженера и что всякий инженер должен знать математику.
Настоящий очерк посвящен рассмотрению вопроса о том, в какой мере такой взгляд правилен или неправильнен, а вместе с тем и вопросу о том, кого и как учить математике.
Математика в современном своем состоянии настолько обширна и разнообразна, что можно смело сказать, что в полном объеме она уму человеческому непостижима, а следовательно, должен быть сделан строгий выбор того, что из математики нужно знать и зачем нужно знать инженеру данной специальности.
В этом выборе нам может помочь и самое общее обозрение исторического хода развития математики и практических ее приложений.
Творческими усилиями математиков создана богатейшая коллекция внеучебных математических задач на смекалку, или «математических развлечений», как их часто называют. Но этот материал все еще недостаточно используется в семье и школе для разумного заполнения досуга, для упражнений ума, воли и характера.
Естественно, что воспитатели (педагоги, родители) не должны пройти мимо таких «неиспользованных резервов» в деле всестороннего развития личности воспитуемого. Что же об этих «резервах» должен знать преподаватель математики дополнительно ко всему тому, чему он уже обучен? Каким должно быть его отношение к коллекции внеучебных математических задач на смекалку? Заслуживает ли этот материал творческих усилий учителя?
Сборник избранных статей о школьной математике и ее приложениях. Включен большой и разнообразный материал о профессии математика, о фундаментальных понятиях школьной математики, о теории вероятностей, алгоритме Евклида, о решении 10-й проблемы Гильберта, о связи математики с другими науками и техникой и т. д.; приведен ряд интересных задач. Имеется также специальный раздел для учителей, в котором содержатся лекции по научным основам школьного курса математики.
Для школьников, учителей, студентов.
Настоящий сборник содержит 350 задач (с подсказками, решениями и ответами), предлагавшихся на занятиях математических кружков и решенных детьми.
Книга будет интересна и полезна школьникам, их родителям, а также преподавателям математики и студентам математических факультетов педагогических институтов.
Помимо исправленiя замѣченныхъ опечатокъ и промаховъ, а также общей редакционной переработки, настоящее изданiе по сравненiю съ первымъ значительно дополнено. Дополненiя коснулись главнымъ образомъ свѣдeнiй по Теорiи Вероятностей.
Такъ, введена знаменитая теорiя Якова Бернулли въ его собственномъ изложенiи, т. е. данъ переводъ IV и V-ой главъ изъ четвертой части его классическаго сочиненiя «Ars Conjectandi»; прибавлена глава о рулеткѣ въ Монте-Карло и др.
Точно также особенно внимательно пересмотрѣнъ и исправленъ отдѣлъ о счетныхъ машинахъ. Добавлены многiе портреты и рисунки. Словомъ, приложены всѣ усилiя, чтобы и это новоe изданiе книги нашло такой же благосклонный приёмъ среди широкой публики, какъ и предыдущее.