Брошюра посвящена вычислению площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции и других многоугольников. Рассмотрены решения 20 задач, сгруппированных вокруг следующих вопросов:
— равновеликость и равносоставленность многоугольников;
— медиана делит треугольник на два треугольника равной площади;
— разрезание треугольника и выпуклого четырёхугольника на две равновеликие части.
Приведены 16 задач (с ответами и указаниями) для самостоятельного решения.
Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 8–11 классов 21 октября 2000 года на Малом мехмате. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников, учителей…
ГЕОМЕТРIЯ есть слово Греческое, на русскомъ же языкѣ, есть оное землемѣрiе и художеcтво, поля измѣрящи. И имѣеть между искусствамъ математическiми Первенство.
И безъ оныя способа могутъ [ хотяже и истинны суть однакожь ] труднѡстью освѣдомѣтельствоватися.
Главные действующие лица этой книжки — различные геометрические фигуры, или, как они здесь чаще называются, «множества точек». Вначале появляются самые простые фигуры в различных сочетаниях.
Они двигаются, обнаруживают новые свойства, пересекаются, объединяются, образуют целые семейства и меняют свое обличье — иногда до неузнаваемости; впрочем, интересно увидеть старых знакомых в сложной обстановке, в окружении новых фигур, появляющихся в финале.
Эта книга содержит полтораста задач по геометрии на плоскости. В основном, это задачи довольно трудные, хотя для их решения, как правило, достаточно знаний 8—9 классов, а во многих случаях и 7 класса. Книга разбита на три части. Первые сто задач составляют содержание первой части, а их решения приведены во второй части книги.
Для удобства читателей эти задачи разбиты на 11 разделов, а каждая задача снабжена двойным номером и названием: например, задача «Шмель и соты» является девятой в восьмом разделе «Задачи на клетчатой бумаге» и имеет номер 8.9. Тематика многих задач, особенно в последних пяти разделах, нетрадиционна: здесь затрагиваются вопросы, близкие к “современным” разделам геометрии (комбинаторная геометрия, топология, задачи на максимум и минимум, оценки и неравенства, задачи на выпуклые фигуры).
Une ligne du second ordre est la section faite par un plan dans une surface conique à base circulaire; de là vient que ces lignes prennent ordinairement le nom de sections coniques, ou simplement de coniques.
La droite que déterminent les deux points de contact de deux tangentes quelconques d’une conique, est appelée, par abréviation, corde de contact. Le pôle d’une droite, tracée à volonté dans le plan d’une conique, est le point fixe autour duquel tournent toutes les cordes de contact des paires de tangentes issues des différents points de la droite.
— Cette droite, elle-même, est dite la polaire du point fixe. — On sait construire la polaire lorsque le pôle est connu, et le pôle lorsque la polaire est connue, en n’employant que la règle seulement.
Книга предназначена для учителей средних школ, методистов, преподавателей, ведущих внеклассные занятия со школьниками. В ней расписан цикл занятий для учеников разного возраста (первые — для 3-4, последние — для 10-11 классов), посвящённых изучению узлов. Этот объект, с одной стороны, широко распространён и используется и в повседневной жизни, и в профессиональной деятельности, а с другой — является предметом изучения в одном из активно развивающихся современных направлений в математике.
Детальная проработка каждого занятия позволяет, с одной стороны, начать изучение узлов со своими учениками учителю без какой бы то ни было дополнительной подготовки, а с другой — преподавателю, всерьёз заинтересовавшемуся узлами как средством развития пространственного воображения школьников, почувствовать основные принципы конструирования этих занятий и, основываясь на этой методологии, делать уже свои собственные разработки.
Среди проблем Гильберта, сформулированных на рубеже XIX и XX столетий, особое место занимает третья проблема — единственная, связанная с методикой преподавания элементарной математики. В ней Гильберт ставит вопрос, можно ли отказаться от предельного перехода в выводе формулы объема треугольной пирамиды и ограничиться только методом равносоставленности. Проблема эта породила большое число работ (М. Ден, давший отрицательное решение проблемы Гильберта, В. Ф. Каган, математики швейцарской школы и др.).
Книга знакомит читателя с современным состоянием теории равносоставленности, которая за последние годы обогатилась рядом новых результатов. Она предназначена для научных работников, преподавателей университетов, педвузов, школ, студентов-математиков и всех читателей, серьезно интересующихся математикой.
В теории выпуклых фигур есть много изящных результатов, вполне доступных пониманию школьников и в то же время представляющих интерес для специалистов-математиков. Некоторые из таких результатов мы и хотим предложить вниманию читателя. Мы расскажем о комбинаторных задачах теории выпуклых фигур, связанных главным образом с разбиением фигур на «меньшие» части.
Теоремы и задачи, излагаемые в книге, вошли в математику совсем недавно: самой старой из них недавно исполнилось 30 лет, а многие из теорем находятся еще в «младенческом» возрасте — они опубликованы в специальных математических журналах за последние 5 лет.
В книге популярно излагаются некоторые теоремы, относящиеся к недавно сформировавшемуся разделу математики — комбинаторной геометрии.
Предназначена для учащихся 8—10 классов, интересующихся математикой, студентов и преподавателей математики.
Первый параграф предлагаемой вниманию читателя книжки посвящён доказательству следующей теоремы, найденной математиками Бояи и Герлином: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разбить на такие части, из которых возможно составить второй многоугольник. Более краткая формулировка: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.
Изучению некоторых вопросов, связанных с равносоставленностью фигур, посвящена вся книжка в целом. Она разделена на две главы, в первой из которых изучаются многоугольники, а во второй — многогранники. Сформулированная выше теорема является одной из основных в первой главе.
Во второй главе наиболее интересно теорема Дена: существуют многогранники, которые имеют одинаковый объём (равновелики), но не являются равносоставленными.
