Высшая математика в среде студентов традиционно считается одной из наиболее трудных для усвоения дисциплин. Сложность, в основном, связана с использованием математического аппарата, методов исследования, приемов решения задач, которые значительно выходят за рамки описаний, принятых и применяющихся в привычной, «нематематизированной», жизни.
Особенно трудно приходится тем, которые, обучаясь в средней школе, по каким-либо причинам упустили основы используемых там понятий элементарной математики. Насыщенная программа вузовского обучения практически оставляет очень мало времени на восстановление имеющихся пробелов.
Времени обычно не хватает даже на осмысление вновь проходимого материала: лекции, практические занятия, контрольные, зачёты, экзамены – гонка, завершающаяся только на третьем курсе, когда математика уже “пройдена”.
«Курс чистой математики» профессора Кембриджского университета Г. Харди представляет интерес в первую очередь для лиц, ведущих преподавание математического анализа в высшей школе. Книга эта написана понятным и ясным языком и не содержит большого и сложного теоретического материала. В ней разобраны лишь, но зато с исчерпывающей полнотой и тщательностью, основные положения математического анализа, не выходящие за рамки довольно элементарных понятий.
Автор не ставил своей задачей систематическое изложение всего университетского курса математического анализа. Поэтому он умышленно обходит такие понятия, как равномерная сходимость, кратные ряды, интегрирование и дифференцирование рядов и т. п. Однако те вопросы, которые включены в книгу, рассматриваются со всей необходимой математической строгостью.
Цель, поставленная мною в этой книге, — изучить линейные операторы на конечномерных векторных пространствах методами более общих теорий. Идея заключается в выдвижении на первый план простых геометрических понятий, общих для многих разделов математики и ее применений, притом на языке, выдающем профессиональные секреты и показывающем читателю действительный ход мыслей тех, кто доказывает теоремы об интегральных уравнениях и гильбертовых пространствах.
Однако мое субъективное освещение вопроса отнюдь не должно разделяться читателем. Если не считать редких ссылок на курс математики для высшей школы, книга представляет собой самостоятельное целое и может быть прочитана любым, кто стремится глубже ознакомиться с линейными проблемами, от рассмотрения которых курс высшей алгебры. Алгебраические бесконечные методы не теряют силы и изящности при ограничении к конечномерным случаям и, на мой взгляд, столь же элементарны, как классический координатный метод.
Имя Пауля Халмоша весьма популярно в математическом мире и хорошо известно советскому читателю, высоко оценившему его книги “Теория меры”, “Лекции по эргодической теории” и “Конечномерные векторные пространства”. Его новая книга представляет собой оригинальный учебник по теории гильбертовых пространств и их применений, рассчитанный на активного читателя.
Книга, несомненно, полезна широкому кругу читателей, особенно студентам и преподавателям функционального анализа, а также всем тем, кто желает освежить и пополнить свои знания в одном из важнейших разделов современной математики — теории гильбертовых пространств. Заинтересуются ею и физики-теоретики.
Определение криволинейного интеграла первого типа. Для того чтобы естественным путем прийти к этому новому понятию, рассмотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит. Пусть на плоскости дана непрерывная простая спрямляемая кривая (K) (рис. 1), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность ρ(M) во всех точках M кривой. Требуется определить массу t всей кривой (K).
Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) Во многих вопросах науки и техники приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот — восстанавливать функцию по известной ее производной. В §91, предполагая известным уравнение движения s=s(t), т.е. закон изменения пути с течением времени, мы путем дифференцирования нашли сначала скорость v=ds/dt, а затем и ускорение a=dv/dt. На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу: ускорение a задано в функции от времени t: а=a(t), требуется определить скорость v и пройденный путь s в зависимости от t.
Таким образом, здесь оказывается нужным по функции а=a(t) восстановить ту функцию v=v(t), для которой a является производной, а затем, зная функцию v, найти ту функцию s=s(t), для которой производной будет v.
Из школьного курса читателю хорошо знакомы рациональные числа и их свойства. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из целых положительных (натуральных) чисел, например, √2, т.е. нет такой рациональной дроби p/q (где p и q — натуральные числа), квадрат которой был бы равен 2.
Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь p/q, что (p/q)² = 2. Мы вправе считать эту дробь несократимой, т.е. p и q лишёнными общих множителей. Так как p² = 2q², то p есть число чётное: p = 2r (где r — целое), и, следовательно, q — нечётное. Подставляя вместо p его выражение, мы имеем: q² = 2r², откуда следует, что q — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
В книге рассмотрены основные методы асимптотических оценок интегралов, содержащих большой параметр: метод Лапласа, метод стационарной фазы, метод перевала, как в одномерном, так и в многомерном случаях.
Книга снабжена значительным количеством примеров. Приведен ряд приложений к дифференциальным и разностным уравнениям.
Рассчитанная на научных работников в различных областях математики, математической и теоретической физики, на студентов и аспирантов (математиков и физиков) книга будет также полезна инженерам.
Гамма-функция Γ(z) впервые была определена Эйлером как предел произведения (§ 12.11), из которого можно получить интеграл: ∫₀⁺∞ tᶻ⁻¹ e⁻ᵗ dt, но для изложения теории этой функции удобнее определять ее посредством бесконечного произведения в канонической форме Вейерштрасса. Рассмотрим бесконечное произведение: z eᵞᶻ ∏ₙ₌₁ (1 + z/n)e⁻ᶻ/ⁿ, где γ = limₘ→∞ {1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/m - lg m} ≈ 0.5772157… (это константа Эйлера — Маскерони).
«Курс современного анализа» Уиттекера и Ватсона выдержал за рубежом несколько изданий. Начиная с четвертого издания (1927 г.) зарубежные издания стали стереотипными. Первое русское издание вышло в 1933—1934 гг. под редакцией Г. М. Голузина. Второе русское издание, предлагаемое сейчас читателю, еще раз сверено с английскими изданиями. В нем устранены замеченные опечатки, произведена незначительная модернизация терминологии и добавлены некоторые ссылки. В остальном оно сохранило стиль английской школы классического комплексного анализа (Бромвич, Барнс, Бэйли, Харди и Литлвуд, Титчмарш), с которой советский читатель знаком теперь по многочисленным переводам.
Книга разделена на две части. Первая из них содержит изложение основных вопросов комплексного анализа. Вторая часть посвящена главным образом изучению различных классов специальных функций. Хотя за тридцать лет, прошедшие с выхода первого русского издания, появилось много книг и работ по специальным функциям (например, справочник Эрдэя, Магнуса, Обереттингера и Трикони Higher transcendental functions, тт. I—III), книга Уиттекера и Ватсона остается непревзойденной по широте охвата и четкости комплексной («современной») точки зрения на специальные функции.
