Задачи вариационного исчисления являются развитием задач о нахождении экстремума функций конечного числа переменных. Поэтому свою книгу по вариационному исчислению мы предполагали начать с вводной главы, посвященной функциям конечного числа переменных и их экстремумам. Но поскольку она разрослась, мы выпускаем ее в виде отдельной книжки, вводной части “Основ вариационного исчисления”, рассматривая ее как дополнительное пособие при прохождении курса анализа на младших курсах университетов и педвузов.
Мы начинаем с элементов n-мерной геометрии (глава I). Геометрические методы являются настолько основными в анализе, что навыки к ним нужно воспитывать с самого начала прохождения курса анализа. n-мерная линейная и евклидова геометрия являются первыми звеньями цепи геометрических обобщений, вызванных в значительной части потребностями анализа, обобщений, которых нам придется коснуться в следующих частях книги.
В настоящей работе мы излагаем результаты наших исследований в области топологических методов в вариационном исчислении, полученные нами главным образом в конце 1927 г. и начале 1928 г. По мере их получения, они излагались на докладах в московских научных учреждениях. О них же было доложено на V международном математическом съезде (в г. Болонье в 1928 г.).
Мы не касались здесь наших более ранних работ в этой области, которые велись другими методами, а равно и работ последнего времени.
Первая глава служит введением — в ней дается очерк главнейших из работ, к которым тематически и методически примыкают наши исследования. Впрочем, при изложении основного материала мы не предполагали от читателя знакомства с этими результатами. Для его понимания достаточно знакомства с основными идеями вариационного исчисления, дифференциальной геометрии и топологии. Исключение представляет лишь § 5, гл. II, где изложение опирается на более новые результаты в области дифференциальной топологии. Поэтому раздел § 4, необходимый для дальнейшего, мы постарались изложить проще, максимально приближая его к элементарным правилам.
Предлагаемый задачник посвящен важному разделу математики — вариационному исчислению.
По стилю и методике изложения предмета он непосредственно примыкает к ранее изданным книгам тех же авторов «Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости» и «Интегральные уравнения».
В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы) и подробно разбираются типовые примеры.
Задачник содержит свыше ста разобранных примеров и 230 задач для самостоятельного решения.
Задачи снабжены ответами, в ряде случаев даются указания к решению.
В основу данного курса положены лекции, читавшиеся И. М. Гельфандом на механико-математическом факультете МГУ. Однако содержание книги значительно выходит за рамки материала, фактически излагавшегося на лекциях. Авторы ставили своей целью изложить основы вариационного исчисления в доступной и в то же время достаточно современной форме. Значительное внимание в книге уделено физическим применениям вариационных методов — каноническим уравнениям, вариационным принципам механики, законам сохранения и т. д.
Читатель, желающий ознакомиться лишь с самыми основными понятиями и методами вариационного исчисления, может ограничиться изучением одной первой главы. Совокупность первых трех глав образует несколько более обширный, но все еще достаточно элементарный курс основ вариационного исчисления (в рамках одних лишь необходимых условий экстремума). Наконец, главы I — VI составляют более или менее обычный по объему университетский курс вариационного исчисления (с некоторыми примечаниями в механике систем с конечным числом степеней свободы), включаящеи круг вопросов мало сколько отличны от общих изложений и достаточно условие слабого и сильного экстремума.
Конечные главы книги посвящены применениям вариационного исчисления к полям в неограниченной степени свободы. В восьмой главе кратко изложены применение теории вариационного исчисления.
Авторы благодарны М. А. Егварову и А. Г. Костюченко, которые прочли книгу в рукописи и сделали ряд полезных замечаний.
Предлагаемая вниманию читателей книга Блисса «Лекции по вариационному исчислению» заполняет существенный пробел в математической литературе, посвящённой вариационным задачам. В ней с исчерпывающей полнотой изложены результаты так называемого «классического» направления в вариационном исчислении, развивающего и обобщающего методы, восходящие ещё к Якоби и Вейерштрассу.
В первой, более элементарной части книги дано весьма полное и строгое изложение задачи об исследовании на безусловный минимум функционала, зависящего от одной или нескольких неизвестных функций одной независимой переменной. Вторая, наиболее интересная часть книги посвящена задачам на условный экстремум функционалов того же типа. В ней с исключительной чёткостью изложена теория наиболее общих задач на условный экстремум, причём многие результаты впервые излагаются в учебной литературе.
Книга Блисса, безусловно, представляет значительный интерес и учащимся вузов, и аспирантам, и студентам физико-математических факультетов. Однако наряду с этим она имеет один существенный недостаток — она может создать совершенно ложное представление о роли русских и советских ученых в развитии вариационного исчисления. На протяжении всей книги отсутствуют даже упоминания о трудах петербургского кружка Эйлера, ни разу не упоминаются работы русских и советских ученых.
Начнем с элементарного вопроса: что представляет собой плоская кривая наименьшей длины, соединяющая две фиксированные точки плоскости? Для математической формулировки фиксируем две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) на плоскости xy, считая x1 < x2, и рассмотрим гладкую кривую.
Эти лекции я читал несколько раз на механико-математическом отделении физико-математического факультета Харьковского государственного университета. В соответствии с существующими программами и общими задачами университетского преподавания я стремился не столько к подробной трактовке всех задач вариационного исчисления, сколько к ознакомлению студентов с проблематикой и главными методами вариационного исчисления — классическими и прямыми.
Поэтому в основном тексте полному разбору подвергнуты лишь главнейшие проблемы. Частично этот пробел восполняет раздел “Различные дополнения и упражнения” (коротко: Дополнения). Для большей компактности туда же отнесены и классические примеры вариационного исчисления. Рядом с номерами параграфов Дополнений указаны в скобках те параграфы основного текста, с которыми он в первую очередь связан.
В книге в справочной форме впервые приведены результаты систематического исследования вариационных принципов теории упругости и оболочек в соответствии с теорией преобразования вариационных проблем Куранта и Гильберта.
Наряду с систематизацией известных вариационных принципов, книга содержит новые результаты и обобщения. Получена система полных и частных функционалов, в том числе смешанных. Изучены свойства функционалов не только с позиции стационарности, но и экстремальности. Выявлены экстремальные и минимаксные свойства ряда известных и новых функционалов. Установлена вариационная форма статики-геометрической аналогии в теории оболочек. Результаты обобщены на ребристые, многосвязные, многослойные и другие неосесимметрично-анизотропные оболочки и могут быть использованы для решения ряда сложных задач.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов, инженеров, студентов университетов и институтов, занимающихся вариационными и различных областях механики сплошных сред, строительных, самолетных, гидротехнических, летательных и других конструкций.
Эта книга была написана в процессе подготовки к занятиям со студентамифизиками в феврале 2004 года, которые я провел в Университете города Акрон США, когда находился там по приглашению доктора Сергея Ф. Люксютова в рамках программы COBASE при поддержке Национального Совета по Исследованиям США. Эти четыре класса (четыре занятия по 1 часу 20 минут без перерыва) были проведены в рамках общего курса электромагнетизма как введение в тензорные методы.
Книга написана в стиле “сделай сам”, то есть я даю только наброски теории тензоров, что включает формулировки определений и теорем, а также основные идеи и формулы. Вся остальная работа, такая как проверка корректности определений, вывод формул, доказательство теорем или же отработка деталей в доказательствах, оставлена читателю в форме многочисленных упражнений. Я надеюсь, что такой стиль сделает изучение предмета действительно быстрым и более эффективным для восприятия и запоминания.
Электронная версия книги свободно распространяются в сети Интернет, она бесплатна для персонального использования и учебных целей. Любое коммерческое использование без письменного согласия автора запрещено.
Книга представляет собой учебное пособие по основному курсу дифференциальной геометрии и предназначена для первоначального знакомства с этой дисциплиной.
Подготовка книги к изданию выполнена методом компьютерной верстки на базе пакета AMS-TEX от Американского Математического Общества. При этом были использованы кириллические шрифты семейства Lh, распространяемые Ассоциацией CyrTUG пользователей кириллического TEX’а.
