Книга посвящена поиску решения нестандартных математических задач. Она предлагает общий подход, объединяющий широкую группу известных приемов. Изложение ведется в непринужденной манере.
Упор делается на разбор примеров, на то, как принцип узких мест помогает находить решения. В качестве примеров и задач для самостоятельного решения использованы более 30 оригинальных задач автора.
Книга адресуется всем любителям интересных задач, в первую очередь — школьникам старших классов, а также учителям и руководителям математических кружков.
Во втором издании добавлена глава «Двенадцать задач».
В настоящем издании Комментарии к главам и библиография были обновлены и расширены. За последние годы получило значительное развитие квантовое (некоммутативное) обобщение теории вероятностей, математической статистики и теории информации. Разработана теория квантовых случайных процессов, объединяющая повторные и непрерывные квантовые измерения с динамикой открытых квантовых систем.
Этот материал получил отражение в книге [152], где читатель найдет и обширную библиографию. С появлением идей квантовых вычислений получила импульс квантовая теория информации, которая зародилась более чем полвека назад и сформировалась как самостоятельная дисциплина в 1990-е. Этот прогресс, в частности, стимулировал развитие асимптотических методов квантовой теории оценивания. Введение в этот круг вопросов можно найти в книгах [171], [158], [153].
Настоящее издание не могло бы появиться без настойчивой поддержки Витторио Джованнетти и Розарио Фацио, которым автор выражает свою признательность. Автор благодарит докторессу Луизу Феррини, Edizioni della Normale, за профессиональную и эффективную помощь в подготовке рукописи к печати.
Квантовая теория информации –– новая быстро развивающаяся научная дисциплина, которая изучает общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации активно использует аналитический аппарат теории матриц и операторов в гильбертовом пространстве для исследования потенциальных возможностей таких систем и разработки принципов их рационального синтеза. Попутным результатом развития идей квантовой теории информации является существенное прояснение логической структуры квантовой механики, ее оснований и соотношения с реальностью.
Настоящая монография посвящена математической теории квантовых систем, каналов связи, их энтропийных и информационных характеристик и является продолжением и существенным развитием ранее вышедшей книги автора «Введение в квантовую теорию информации» (МЦНМО, 2002). В ней нашел отражение ряд новейших результатов, таких как доказательство теоремы о квантовой пропускной способности, основанное на тесной связи с криптографическими свойствами канала; вычисление информационных характеристик квантовых гауссовских систем; достижения в проблеме аддитивности энтропийных характеристик каналов и пр. В настоящем издании исправлены опечатки.
Для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в областях современной математической физики, теории информации, теории вероятностей и математической статистики.
Книга посвящена вопросу о неразрешимости уравнений в явном виде. В ней дается полное изложение топологического варианта теории Галуа, полученного автором. В книге изложены также приложения теории Галуа к разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, элементы теории Пикара––Вессио, и результаты Лиувилля о классе функций, представимых в квадратурах.
Для студентов-математиков, аспирантов и научных сотрудников.
Этот семестровый курс читался в НМУ весной 2003 года и предназначался второкурсникам. Уровень подготовки слушателей был разным. Раз в неделю была двухчасовая лекция, за которой следовал двухчасовой семинар (имеются в виду академические часы). На лекциях, с одной стороны, обсуждалась общая картина и связи комплексного анализа с другими областями математики.
С другой стороны, основные теоремы разбивались на короткие, понятные сами по себе утверждения, которые объяснялись шаг за шагом. После лекции эти утверждения включались в списки задач, которые раздавались слушателям и обсуждались на семинарах. Семинары вели В. А. Кисунько, И. А. Пушкар и С. П. Чулков. Они отдельно обсуждали с каждым студентом каждую решенную им задачу.
Экзамен состоял из теоретического зачета и письменной домашней контрольной. Зачет шел в течение всего семестра: студенты сдавали решения или задач на каждом семинаре и в течение нескольких дополнительных занятий в конце курса. Задач для письменного экзамена — расчетной надомной аналитической самостоятельной работы мы, в основном, заимствовали из предыдущих письменных экзаменов по комплексному анализу в НМУ.
Планиметрия — наука о свойствах фигур плоскости, инвариантных относительно движений плоскости. Фигуры, которые можно совместить движениями, геометрия считает равными и не различает. Всем известны движения евклидовой планиметрии: параллельный перенос, поворот, осевая симметрия. Если изменить группу движений, например, добавить преобразования подобия, то изменится и геометрия. В определённом смысле любая группа преобразований порождает свою геометрию.
В брошюре рассказывается о геометрии, которую порождают преобразования инерциальных систем отсчёта, знакомые из школьного курса физики. Такую геометрию принято называть геометрией Галилея. В чём-то эта странная геометрия отличается от евклидовой, а в чём-то похожа на неё.
Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 30 марта 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.
Книга представляет собой сборник статей, посвящённых активно развивающимся в настоящее время направлениям фундаментальной математики.
В первую очередь в ней представлены области, широкое исследование которых ведётся в Независимом Московском Университете, — топология в своих разнообразных проявлениях и метрическая геометрия, теория алгебр Ли и динамические системы, теория чисел и алгебраическая геометрия.
Она будет интересна специалистам в этих областях; среди авторов как убелённые сединами мэтры, так и их способные молодые ученики. Все авторы являются участниками конференции «Фундаментальная математика сегодня», прошедшей в декабре 2001 года и посвящённой 10-летию Независимого Московского Университета. Приведены программы конференции и фотографии ряда участников.
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 23 июля 2005 года в летней школе «Современная математика» в Дубне. Она посвящена формализации такого интуитивно ясного термина, как «случайность». В брошюре рассматривается четыре разных подхода к этому понятию, основанных на характерных свойствах случайных последовательностей: частотоустойчивость, хаотичность, типичность и непредсказуемость.
Вводятся важнейшие в теории алгоритмов понятия перечислимости, вычислимости, энтропии и колмогоровской сложности. С их помощью и можно попытаться ответить на вопрос, с которым не справляется классическая теория вероятностей: определить, можно ли, например, индивидуальную последовательность нулей и единиц считать случайной или нет. В последней главе проводится обобщение понятий частотоустойчивости, хаотичности, типичности и непредсказуемости на случай вычислимого распределения.
Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов. Предварительных знаний от читателя не потребуется, однако будет полезным знакомство с теорией алгоритмов, а для чтения последней главы — с основными понятиями теории вероятностей.
Первое издание книги вышло в 2006 г.
«Труды по нематематике» в пяти книгах содержат нематематические сочинения профессора математики В. А. Успенского, заведующего кафедрой математической логики и теории алгоритмов Механико-математического факультета Московского университета.
В пятую книгу «Воспоминания и наблюдения», подготовленную В. А. Успенским (1930—2018) к изданию, включены воспоминания о событиях и местах, наблюдения за людьми и их нравами.
«Труды по нематематике» созданы профессором математики В. А. Успенским, заведующим кафедрой математической логики и теории алгоритмов Механико-математического факультета (Мехмата) Московского университета.
Эти «Труды» включают сочинения самого разного жанра: размышления о философии науки, чисто лингвистические построения, стихи, воспоминания о блестящих современниках и друзьях автора, о «серебряном веке» структурализма и математической лингвистики, у истоков которой и стоял В. А. Успенский, много лет преподающий математику на Филологическом факультете МГУ и внёсший заметный вклад в создание новой, «трансцендиронной» лингвистики. Издание будет интересно многим: и чистым лингвистам, и историкам науки, и филологам, и представителям такой точной науки, как математика.
В наименовании данной, четвёртой книги слово «Филология» понимается в узком смысле, не включающем в себя языкознание (хотя, конечно, филологические сюжеты не могли не оказаться в числе обсуждаемых тем). Читатель найдёт здесь и стихотворные пародии, и исследования так называемых «словесных крикрипов», и опыт применения к филологии математических методов, и ряд интервью. Интересны также воспоминания автора и моменты книги к «Семиотическим посланиям», направленным в своё время автору и его друзьям А. Н. Колмогоровым; сами послания также воспроизведены в книге.
