Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками.
Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи, к курсу алгебры, который в 1995— 2000 годах читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова.
Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах).
При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математического кружка.
Посвящена традиционному разделу элементарной математики — задачам на составление уравнений. Выделяются и рассматриваются классы задач, объединённые общей идеей, анализируются особенности этих классов, показываются приёмы решения задач каждого класса и даётся методика решения более сложных задач. Содержит много задач для самостоятельного решения с ответами.
Большое количество примеров, взятых главным образом из письменных экзаменационных работ по математике Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, демонстрирует разнообразие идей, лежащих в основе этих задач, являющихся собой своего рода маленькие математические загадки. 2-е изд. — 1980 г.
Для широкого круга читателей, любящих решать задачи вообще. Будет особенно полезна абитуриентам вузов, школьникам и учителям.
Книга представляет собой введение в элементарную алгебру и теорию групп, которая находит широкое применение в современной математике и физике, кристаллографии, физике твердого тела и физике элементарных частиц.
Все вводимые понятия подробно разъясняются на простых геометрических примерах. В книгу включено дополнение, написанное Ю. П. Соловьевым.
Для школьников, преподавателей, студентов.
Настоящая книга предназначена для любителей математики, имеющих знания приблизительно в объёме 9 классов средней школы. Она является одной из тех книг, которые должны заполнить существующий у нас разрыв между литературой по элементарной математике и так называемой высшей математике.
На конкретном и доступном материале она подводит читателя вплотную к идеям математического анализа. Это соответствует и историческому ходу, так как задачи на максимум-минимум были одними из тех, которые привели к созданию дифференциального исчисления. Книга может быть использована для работы в школьных математических кружках. Выражаем убеждение, что предлагаемая книга принесёт пользу молодёжи, интересующейся математикой.
Ряд русских математиков — Чебышев, Коркин, Золотарёв, Марков, Ворной и другие — занимались теорией чисел. Ознакомиться с содержанием классических работ этих замечательных учёных можно по книжке Б. Н. Делоне «Петербургская школа теории чисел».
Советские математики, работающие в области теории чисел, продолжая славные традиции своих предшественников, создали новые мощные методы, позволившие получить ряд первоклассных результатов; в разделе теории чисел книги «Математика в СССР за 30 лет» можно найти сведения о достижениях советских учёных в области теории чисел, а также соответствующие библиографические данные.
Введение отрицательных чисел в самом начале курса алгебры связано с целым рядом методических затруднений, и это вполне естественно. При всяком обобщении и расширении понятий в математике приходится введённые ранее термины и способы выражения употреблять в новом смысле, нарушая установившиеся привычные представления учащихся.
Так, приходится говорить о числах, которые м е н ь ш е нуля, между тем как учащиеся привыкли к тому, что меньше нуля “ничего быть не может”; сумма может оказаться м е н ь ш е обоих слагаемых; при умножении возникают новые правила (“минус на минус дает плюс”), которые учащемуся трудно связать с привычными представлениями, относящимися к действию умножения натуральных чисел.
Рассмотрим следующий ряд чисел: 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58,… Нетрудно заметить, что каждое число этого ряда получается из предыдущего путём прибавления одного и того же числа 3. Такой ряд чисел называется, как мы знаем, арифметической прогрессией. Числа, входящие в ряд, называются членами прогрессии; постоянная прибавка — «разностью» прогрессии.
Приведём ещё пример. Ряд чисел 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49,… есть арифметическая прогрессия, — здесь первый член равен 25; разность прогрессии равна 4. Обычно члены прогрессии обозначаются буквами a₁, a₂, a₃,…; разность — буквой d. В данном примере: a₁ = 25; a₂ = 29; a₃ = 33,…; d = 4; маленькая цифра справа внизу около буквы a указывает порядковый номер члена ряда.
Уравнения Пелля представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени. Они связаны со многими важными задачами теории чисел. Решение уравнений Пелля — задача непростая, хотя и выполнимая методами элементарной математики. Ключевую роль в исследовании этих уравнений играет геометрическая лемма Минковского о выпуклом теле. Эта лемма неожиданно возникает во многих задачах теории чисел и является одним из ярких примеров связи алгебры и геометрии.
Основной результат, которому посвящена брошюра, — полное описание решений уравнений Пелля.
Текст брошюры представляет собой обработанную и расширенную запись двух лекций, прочитанных автором 19 февраля и 15 апреля 2000 года на малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей
Эклидъ жилъ въ Александрiи, почти за 270 лѣтъ до Рождества Христова, куда онъ переселился изъ Грецiи по приглашенiю царствовавшаго тогда въ Египтѣ Птоломея Лага, и былъ ему совѣтникомъ и сотрудникомъ въ заведеніи славной Александрийской Школы. По описанiю Паппа Эклидъ, сколь великъ умомъ, стольже отличенъ былъ и качествами сердца.
Онъ, подобно великому Ньютону, съ тихоспiїю нравовъ соединялъ смиренное чувство собственной достоинства, былъ совершенно чуждь гордости и предубѣжденiя къ своимъ познанiямъ, съ непритворною готовностию отдавалъ справедливость достоинствамъ другихъ, и всегда оказывалъ особенное вниманiе и даже пособiе всѣмъ тѣмъ, кои какимъ-либо образомъ способствовали къ распространенiю Математическихъ наукъ.
