Брошюра посвящена описанию и исследованию геометрических построений с помощью одного лишь циркуля; написана она на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал для школьников, принимавших участие в математических олимпиадах в г. Львове.
Книжка представляет интерес для преподавателей математики и учащихся старших классов средней школы.
Когда Феликс Клейн задумал опубликовать важнейшие из своих автографированных лекций, он решил начать с неевклидовой геометрии и с помощью молодого геометра д-ра Роземаа предварительно подвергнуть старый текст основательной переработке в делом и в деталях. Эта работа оказалась много продолжительней, чем ожидалось сначала. Самому Клейну уже не довелось дожить до ее окончания.
Правда, он в ежедневных, более года продолжавшихся совещаниях со своим молодым сотрудником продумал, пересмотрел и привел в порядок материал вплоть до мельчайших подробностей; но самую разработку текста он должен был предоставить д-ру Роземану. К моменту смерти Клейна первые главы книги были уже в гранках; все же потребовался многолетний и самоотверженный труд со стороны д-ра Роземана для того, чтобы на основе первоначальной программы подготовить к печати рукопись и провести ее через печать.
Поэтому к изданию книги участие и заслуга, а также и ответственность д-ра Роземана должны оцениваться выше, чем это обычно делается по отношению к сотрудникам.
Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его впервые набросал в 1872 г. в своей “Эрлангенской программе” и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем “Введении в высшую геометрию”, является в настоящее время столь же важным и жизненным, как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же и физики.
Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое издание этих лекций. Чтобы не нарушить личного стиля работы Клейна, я внес очень мало изменений и добавлений в прежнее издание “первого тома”. Напротив, мне пришлось целиком выпустить лишь едва связанный с ним “второй том”, который содержал введение в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы полной переработки.
Его место заняла “третья часть” настоящей книги, в которой помещены некоторые новейшие геометрические исследования. При этом мне оказали любезное содействие некоторые геометры: именно II и IV отделы разработал Радон (Эрланген), III — в существенном Артин и V — Шрейер (Гамбург).
Главнейшія особенности предлагаемаго руководства геометріи состоять въ слѣдующемъ.
Въ предлагаемаго руководствѣ, въ согласіи со многими авторитетами учебно-математической литературы, проведено воззрѣніе, согласно которому, что понятіе о длинѣ элементарно только въ примѣненіи къ прямымъ; но какъ тѣлько рѣчь идетъ о сравненіи кривой линіи с прямолинейной или окружностью, тогда (вслѣдствіе невозможности элемента кривой быть элементарнымъ прямымъ) понятіе о длинѣ становится сложнымъ и требуетъ опредѣленія *).
Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.
Второй том посвящен вопросам геометрии — той науки, в развитии которой Ф. Клейн внес особенно заметный вклад. Автор мастерски, в изящной популярной форме, знакомит читателя с вопросами дифференциальной геометрии, невклидовыми геометриями и другими вопросами. 1-е изд. — 1934 г.
Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.
Книга состоит из четырех небольших произведений знаменитого немецкого астронома и математика: «О шестиугольных снежинках», «Разговор с звездным вестником», «Сон» и отрывок из гороскопа «О себе».
Эти произведения Кеплера являются признанными образцами научно-художественной прозы. На русском языке публикуются впервые.
Почти шестидесятилетняя жизнь Кеплера протекала в эпоху, когда на смену схоластической науке, находившейся в полном подчинении богословию и теологической философии, возникало и пускало корни научное мировоззрение нового времени, основанное на наблюдении явлений природы, эксперименте и математической обработке полученных отсюда данных.
При доказательстве основной теоремы о равновеликости двух пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, геометрия исконно прибегает к методу пределов, рассматривая пирамиды, как пределы вписанных и описанных призм. Помимо дидактических трудностей (учащиеся не даром назвали эту фигуру чертовой лестницей), появление здесь метода пределов сначала представляется странным по существу.
Когда мы доказываем равновеликость прямолинейных фигур в планиметрии, мы не только не прибегаем к пределам, но, наоборот, пользуемся наиболее элементарным средствам. Именно, для этой цели применяются два приема, из которых один в немецкой литературе принято называть методом разложения (Zerlegungasmethode), а другой — методом дополнения (Ergänzungsmethode).
Когда мы изучаем в школе геометрию, мы постепенно усваиваем одну теорему за другой, опираясь в доказательстве каждой последующей теоремы на предыдущие. Получается логическая цепь геометрических истин, которые в совокупности говорят нам о свойствах пространства. Мы при этом не задумываемся о том, что пространство может обладать иными свойствами, чем те, которые мы узнали из школьного курса геометрии.
Например, мы знаем, что сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам; мы не сомневаемся в том, что это бессспорная истина, так как она строго доказывается; нам не приходит в голову мысль, что в пространстве, как мы его понимаем, возможен треугольник, сумма углов которого не равна двум прямым.
В книге описан ряд классических идей решения олимпиадных задач, которые для большинства школьников являются нестандартными. Каждая идея снабжена комментарием, примерами решения задач и задачами для самостоятельного решения. Приведены подборки задач олимпиадного и исследовательского типов (всего 200 задач), которые сгруппированы по классам.
Сборник адресован старшеклассникам, учителям, руководителям кружков и всем любителям математики. Предыдущее издание книги вышло в 2004 г.
