Теория конгруций прямых появилась на свет почти одновременно с теорией поверхностей. Вопросы геометрической оптики подвели непосредственно к исследованию нормальной конгруенции, например, к задаче отражения или преломления нормальной конгруенции лучей. Проблема прохождения света через кристаллы вводит уже конгруенцию общего типа.
Аннотируемая книга представляет собой первое в нашей литературе сочинение по проективно-дифференциальной геометрии. Начиная с простейших понятий проективной геометрии, автор подробно излагает общую теорию (работы Вильчинского, Грина, Фубини, Чеха и др.), развивая ряд специальных вопросов геометрии поверхностей и конгруций (проективное изгибание поверхностей и конфигураций, асимптотические преобразования, расстояние пары конфигураций). Во всех исследованиях автор реализует общую идею выбора специальных систем локальных координат, инвариантно связанных с геометрическими объектами.
Книга рассчитана на читателя, вполне владеющего основами анализа и дифференциальной геометрии. Основной контингент её читателей — студенты, интересующиеся геометрией, аспиранты и научные работники.
Метод внешних форм и подвижного репера — одна из наиболее ярких, многообещающих теорий современной дифференциальной геометрии. Он применяется с одинаковой лёгкостью в классической теории поверхностей и в геометрии n-мерного кривого пространства; им особенно удобно пользоваться в геометриях Клейна с другой фундаментальной группой, а при доказательстве существований он незаменим.
В настоящее время, если не считать мемуаров самого Картана, не менее половины работ, основанных на применении его φ-исчисления, сделано в Москве. Докторские диссертации Д. И. Перепёлкина, С. В. Вахвалова и отчасти С. Д. Россинского написаны методом Картана. Этим методом пользуется С. С. Бюшгенс в своём последнем большом исследовании по геометрии стационарного потока. Им работает Г. Ф. Лаптев на своём семинаре по геометрии пространства.
На семинарах Московского университета Н. Н. Тихонскоги, В. М. Прокофьева, Н. А. Алексеева, Т. Л. Козминой и ряд статей других авторов (П. Н. Глаголев, Т. А. Шульман, Г. М. Бамашникова, А. М. Васильева, А. А. Акинчина) — и в докладных записках, и в стенограммах докладов записанных на семинарах классической дифференциальной геометрии Московского университета.
Книга С. П. Финникова представляет монографию по одному из классических вопросов дифференциальной геометрии и требует от читателя знакомства с теорией поверхностей в объеме книги того же автора Теория поверхностей.
Геометрическое место точек называется регулярным куском линии, если в достаточно малой окрестности каждой точки оно представляет простую дугу.
Простая дуга определяется двумя условиями:
Остановимся на первом условии. Более точно оно выражается словами: простая дуга гомеоморфна отрезку прямой, где под гомеоморфизмом понимается взаимно однозначное, непрерывное соответствие точек дуги и отрезка прямой.
Следовательно, дуга AB гомеоморфна отрезку ab, если каждой точке t отрезка ab соответствует одна определенная точка M дуги, и обратно, каждой точке M дуги соответствует одна точка отрезка ab, и это соответствие непрерывно.
Если ρ(y, Y) = 0, то y — точка прикосновения Y. Замыкание Y называется ( \bar{Y} ) = {множество точек прикосновения Y}. Очевидно, что Y ⊆ ( \bar{Y} ). Множество Y называется замкнутым, если Y = ( \bar{Y} ). Точка x называется внутренней точкой Y, если существует ε > 0 такое, что Bε(x) ⊂ Y (в частности, x ∈ Y). Внутренностью Y называется совокупность Int Y ⊆ Y его внутренних точек. Множество Y называется открытым, если Y = Int Y.
Книга написана выдающимся голландским геометром профессором Я. А. Схоутеном, много сделавшим для развития тензорного анализа. Как видно из заглавия, книга рассчитана в первую очередь на физиков и механиков, однако она будет полезна и для математиков, интересующихся приложениями тензорного анализа.
За рубежом книга пользуется исключительной популярностью, о чем можно судить хотя бы по тому, что редкая работа, в которой используются методы тензорного анализа, обходится без ссылок на эту книгу.
Книга известного американского математика содержит современное изложение основ теории дифференцируемых многообразий, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии, а также теории группы Ли.
Для чтения её достаточно знаний начального университетского курса. Книга заинтересует математиков самых различных специальностей.
В основу книги положен курс лекций, читанных автором студентам старших курсов и аспирантам ряда североамериканских университетов. Книга может быть использована как учебное пособие впервые приступающими к изучению предмета и как справочник научными работниками и инженерами.
Большая часть приложений тензорного анализа, рассматриваемых в книге, относится к аналитической механике и к механике сплошных сред. Последние главы книги представляют собой краткое введение в теорию относительности и механику деформируемых сред.
Развитие математической физики повлекло за собой разработку и усовершенствование аппарата векторного и тензорного анализов. Особенное значение эти методы приобрели с появлением специальной, а затем и общей теории относительности.
Четырехмерная инвариантная формулировка уравнений Максвелла, данная Минковским, дала наиболее простое и убедительное представление о сущности принципа относительности. Создание общей теории относительности, пожалуй, оказалось бы невозможным, если бы своевременно не был разработан аппарат тензорного исчисления.
Бесчисленные попытки создания единой теории поля тяготения и электричества, попытки, своей бесплодностью дискредитировавшие саму идею в глазах многих физиков современности, повели к элотураторной методике тензорного анализа. Все это подводит нас к мысли о том, что «жонглирование индексами» может служить исключительно новым познаниям структуры физического закона, а не вести нас к голым, абстрактным обобщениям, лишенным всякого математического интереса, но лишенным физического содержания.
