Убитый в варшавском гестапо в ноябре 1942 г. Станислав Сакс принадлежал к числу наиболее выдающихся польских математиков. Его книга, предлагаемая в русском переводе советским читателям, представляет собой одно из лучших в зарубежной литературе краткое и в то же время весьма исчерпывающее изложение основных разделов современной теории функций действительных переменных.
В соответствии с потребностями функционального анализа, теории динамических систем и теории вероятностей книга начинается главой, содержащей на 38 страницах изложение общей теории интеграла Лебега.
Настоящий выпуск задачника-практикума составлен применительно к учебнику Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, том I. Цель его — научить студента-заочника технике интегрирования и умению решать различные задачи на приложения определенных интегралов.
При составлении задачника-практикума мы прежде всего исходили из учета тех довольно больших трудностей, с которыми встречаются многие студенты-заочники при изучении курса математического анализа. Основная из этих трудностей состоит в том, что изучающий заочно высшую математику, как правило, лишен возможности систематически получать устную консультацию преподавателя. Мы больше всего старались предвидеть те “трудные места”, которые могут встретиться студенту на пути овладения методами интегрирования, очень осторожно подходили к подбору задач, к постепенному повышению их трудности.
Особенно нелегко было выбрать задачи, к которым следует дать подробные решения. В самом деле, каждая решенная задача должна содержать некоторые новые элементы, с которыми студент до сих пор еще не встречался, причем таких новых элементов должно быть в задаче не очень много. Кроме того, все решенные типичные задачи в том числе иностраны должны обесцвечивать студенту возможность самостоятельно задуматься и сотрудничать со всеми задачами, предлагаемыми для самостоятельного решения.
Книга представляет собой современный курс математического анализа, написанный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д.
В конце каждой главы приводятся удачно подобранные упражнения (общим числом около 200). Среди них есть как простые примеры, иллюстрирующие теорию, так и трудные задачи, существенно дополняющие основной текст книги.
Книга У. Рудина может служить учебным пособием для студентов математических и физических факультетов университетов, педагогических институтов и некоторых вузов. Она будет полезна студентам и преподавателям этих учебных заведений, а также инженерам, желающим расширить свои знания по математическому анализу.
В обозначениях и сокращениях мы старались быть возможно более последовательными и по крайней мере в пределах одного параграфа однотипные величины обозначали одинаковыми буквами. Отдельные обозначения, сохраняемые на протяжении одного-двух параграфов, вводятся специальными пояснениями. Независимо от этого значение каждой буквы объясняется заново в каждой задаче, если только нет ссылки на предыдущую задачу.
Если задача непосредственно примыкает к предшествующей, то она начинается пометкой «продолжение». Если она примыкает к одной из более ранних задач, то пометка сопровождается номером этой задачи, например «продолжение 286». В этих двух случаях обозначения заново не разъясняются. Отделы обозначаются римскими, главы (если это необходимо) — арабскими цифрами. Нумерация задач в каждом отделе новая.
Номера задач печатаются жирно. При ссылке на задачи указывается только ее номер, если задача принадлежит тому же отделу; если же задача принадлежит другому отделу, то указывается также номер отдела. Например, мы пишем IV 123, если та задача в отделе IV (задачи или решений); но мы пишем просто 123 на протяжении всего отдела IV.
В третьем томе монографии с помощью методов, приведенных в первых двух томах, исследованы асимптотические представления коэффициентов степенных рядов и рядов Фурье и функций, определяемых функциональными рядами.
Рассмотрены также другие методы построения асимптотических разложений интегралов, например применение интегральных преобразований и преобразований рядов, введение множителя сходимости, использование специальных соотношений и формул, в том числе формулы Парсеваля для преобразования Меллина. Даны также дополнения к материалу, изложенному в первых двух томах, причем большое внимание уделено асимптотическому разложению интегралов, содержащих функции с логарифмическими особенностями.
Во втором томе монографии для построения асимптотических разложений интегралов используются понятия критических точек и деформирования пути интегрирования в комплексной плоскости.
В частности, рассматриваются разные обобщения метода перевала. Большое внимание уделяется деформированию пути с учетом расположения особых точек подинтегральной функции. Исследуются интегралы обращения преобразований Лапласа и Меллина и их обобщения. Приведены исторические и библиографические сведения, а также обзор имеющейся литературы.
В первом томе монографии излагается общая теория асимптотических разложений и рассматривается асимптотическое разложение интегралов, зависящих от большого и малого параметров.
При разложении используются методы, основанные на интегрировании по частям и разложении подинтегральной функции в ряд. Материал содержит обзор имеющейся литературы, а также результаты оригинальных исследований. Приводятся исторические и библиографические сведения.
Книга посвящена точным решениям математических уравнений различных типов (алгебраических, тригонометрических, обыкновенных дифференциальных, с частными производными первого порядка, математической физики, интегральных, функциональных, дифференциальных с запаздыванием, функционально-дифференциальных и др.).
Особое внимание уделяется уравнениям, которые встречаются в различных областях естественных и инженерных наук (в теории тепло- и массопереноса, теории волн, гидродинамике, газовой динамике, теории горения, теории упругости, общей механике, теоретической физике, нелинейной оптике, биологии, химической технологии, экологии и др.) и уравнениям достаточно общего вида, которые зависят от свободных параметров или произвольных функций. Рассматриваются также уравнения, которые изучаются в университетах и технических вузах.
Точные решения уравнений играют важную роль стандартных “математических эталонов”, которые широко используются для оценки точности и разработок различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов.
Книга Г. Поля и Г. Сеге «Задачи и теоремы из анализа», впервые вышедшая на немецком языке в 1925 г. и в русском переводе в 1937—1938 гг., давно уже стала настольной книгой математиков, работающих или только желающих овладеть навыками научной работы в области теории функций.
Книга неоднократно переиздавалась и была переведена также на английский язык. В 1956 г. вышло второе русское издание. Для настоящего третьего издания перевод заново отредактирован и сверен с третьим немецким изданием.
Руководство для практических занятий по математическому анализу имеет целью оказать помощь заочникам в их самостоятельной работе, связанной с решением задач и примеров. Следует отметить, что на сессиях заочники имеют возможность прослушать лекционный курс, но не имеют достаточно часов для практических занятий, что в дальнейшем сильно затрудняет и затягивает самостоятельную работу. Предлагаемое руководство восполняет этот пробел.
В пособие включены, помимо задач вычислительного характера, упражнения, способствующие сознательному усвоению основных понятий и теорем курса.
Мы считаем, что для успешной проработки курса заочник обязан проделать все упражнения из каждого раздела.
К решению задач следует приступать только после того, как изучена соответствующая часть теоретического курса. Рекомендуется сначала внимательно разобрать примеры, приведённые в данном руководстве, и потом приступать к самостоятельному решению задач.
