Методические указания содержат изложение методов нахождения неопределенных интегралов от различных функций, вычисления определенных интегралов, собственных и несобственных, а также методы исследования сходимости несобственных интегралов. Предназначены для студентов первого курса специальности “Прикладная математика”.
Известно, что в условиях втуза начальные сведения о дифференциальных уравнениях могут потребоваться студенту очень рано. К такого рода сведениям, думаю, относится содержание главы XXIV и §§ 1—7 главы XXV настоящего тома. Изложение этих мест курса основывается лишь на материале первого тома и, как показывает опыт, вполне доступно студенту второго семестра.
На первом томе основываются и §§ 8—13 главы XXV. Однако соответствующий материал труднее и его лучше отнести дальше.
Изложение кратных интегралов, интегралов по поверхности, криволинейных интегралов первого рода ведется с общих позиций функций области (как и в ранее изданном моем курсе, но изложение, думается, удалось несколько усовершенствовать).
Как и в I томе, материал, который в условиях втуза можно опустить (более или менее бесспорно), выделен мелким шрифтом.
Настоящий курс «Элементы математического анализа» представляет собой несколько сокращённый и в значительной части переработанный вариант моего «Курса математического анализа», изданного Физматгизом в 1954—1957 гг. Этот вариант рассчитан на высшие технические учебные заведения, в которых к математической подготовке предъявляются достаточно высокие требования, и приспособлен к ныне действующей программе (460 часов) Министерства высшего и среднего специального образования СССР.
Я стремился также сделать курс пригодным для заочного обучения, для чего изложение старался вести достаточно обстоятельно и в то же время достаточно сжато (чтобы главное не тонуло в неглавном), теорию снабдил весьма большим числом разобранных иллюстрирующих примеров и поясняющих чертежей.
В настоящем варианте курс математического анализа фактически не раз читался и неплохо усваивался студентами, и в том числе заочниками. Изложение ведётся, думаю, достаточно строго, но без излишеств. То, что доказывается, доказывается более или менее строго. Ряд доказательств в соответствии со вкусами порой опущен, фактически вводимые доказательства, связанных, так сказать, с «ловкостью рук», не допускаю. На готовых уже и много менее местах материал, который в усвоении требует более или менее конечно можно опустить, выделен мелким шрифтом.
Книга содержит краткое и довольно простое изложение элементов теории абстрактной меры и интеграла (включая меру и интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса).
Она может оказаться полезной студентам математических специальностей университетов и педагогических институтов, а также студентам инженеро-математических специальностей вузов, аспирантам и заинтересованным научным работникам.
Теория Абелевых интегралов, начало которой положено бессмертным норвежским математиком Абелем, знаменита теоремой, носящей, как и интегралы, которых она касается, его имя, трудами самого Абеля, а затем германских ученых: Якоби, Римана, Руделя, Розеншайна, особенно Римана и его учеников, каковы Рох, Нейман, Кёингсбергер, Вебер, Прим, Крадер, Том; далее Клебиша и Гордана, и их учеников, Линдемана, Клейна, особенно Нёгера, и наконец Вейерштрасса, во Франции Эрмита, Брю и Бука и других, настолько уже хорошо разработана, главные моменты настолько хорошо уяснены, что в настоящее время вся теория Абелевых интегралов легко развивается из одного положения.
Первый, кто нашел это, был Вейерштрасс; затем к тому же приложил и Нётер, разработав алгебраическую часть Клебишевой теории Абелевых интегралов. В своих лежащих именно, но неоднократно аналитических и Абелевых интегралов, Вейерштрассу удалось построить рождение новой формы нормальных интегралов второго и третьего рода, принципов между пунктами интегралов первого и второго рода, выразив Абелевых интегралов и алгебраических функций через примкнутую (относительно значения времени) возможность и пропорционально независимую сумму, алгебраическую и аналитическую сторону Абелевых интегралов. Переход через Якоби и на конечный гей- и функцию, при помощи которых можно решить эту задачу. Это капитальный результат.
Цель этой книги — дать более систематическое изложение элементов теории интегралов Фурье, чем это делалось до сих пор. Однако, я не касаюсь здесь ряда важных разделов недавнего происхождения: винеровских гауссовских теорем; применений к почти периодическим функциям, квазиналитическим функциям и целым функциям; интегралов Фурье-Стилтъеса; общего гармонического анализа; обобщённых интегралов Бохнера, а также теории интегралов Фурье для функций нескольких переменных, краткое изложение которой дано в книге Бохнера (*).
От читателя требуется знакомство с анализом, включая элементы теории рядов Фурье. Предлагаемую книгу можно рассматривать как продолжение моей “Theory of functions”.
В литературе можно встретить большое количество самых разнообразных применений интегралов Фурье, часто в форме “операторов”, часто также в работах авторов, по-видимому, интересовавшихся специально аналитической стороной вопроса. Некоторые из этих применений я использовал здесь в качестве упражнений, обработав их так, как представлялось мне наиболее интересным для аналитика. Я считаю, ввиду их обилия, повторение ссылок излишним, а изучающие аналитическую сторону интегралов Фурье должны понимать, что для этого вовсе не обязательно быть в курсе всех существующих работ или даже не знать о существовании этих вещей.
В большей части руководств по высшей математике вопрос об интегрировании функций одного независимого переменного не имеет достаточно полного освещения, вследствие чего очень часто учащиеся не получают ясного представления о том, какие функции интегрируются в конечном виде, для каких это интегрирование невозможно и какие приёмы целесообразно применять в том или ином случае для различных видов функций.
Имея это в виду, автор в настоящей книге стремился изложить вопрос с возможной полнотой, обратив особое внимание на практику интегрирования, введя при этом большое количество примеров. Таким образом, книга может служить, во-первых, справочником для лиц, желающих получить скорбный ответ относительно той или иной квадратуры, а во-вторых, пособием для учащихся, желающих пополнить и углубить свои знания в этом вопросе.
Считаю своим высоким долгом выразить свою благодарность члену-корреспонденту Академии наук СССР, профессору В. В. Голубеву за данные им ценные указания.
В современных теоретических схемах математической физики большое значение имеют теория функций вещественного переменного, различные функциональные пространства и общая теория операторов. Этим вопросам в основном и посвящена настоящая книга, которая написана на основе пятого тома моего „Курса высшей математики“, вышедшего в 1947 году.
Содержанием теории функций вещественного переменного в настоящей книге является теория классического интеграла Стилтьеса, интеграла Лебега—Стилтьеса и теория вполне аддитивных функций множеств.
В первой главе изложена теория классического интеграла Стилтьеса, а также рассмотрено более общее определение интеграла Стилтьеса по промежутку любого типа, основанное на совпадении соответствующих верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного промежутка на промежутки любого типа.
В качестве примеров классического интеграла Стилтьеса рассматриваются интегралы Фурье—Стилтьеса и Коши—Стилтьеса. Для них устанавливаются формулы обращения. Интеграл Стилтьеса определяется и для случая плоскости.
В предисловии ко второму изданию пятого тома (1959 г.) Владимир Иванович Смирнов писал, что «предполагается выпуск шестого тома с изложением некоторых вопросов современной теории дифференциальных операторов с одной и несколькими независимыми переменными». Он хотел, чтобы я была соавтором этого нового тома. Однако разные дела и обстоятельства помешали осуществлению этого намерения, и было решено ограничиться расширением четвертого тома. Для этого во второй том была включена теория интеграла Лебега и пространство L₂, а четвертый том был разбит на две части (книги).
В первой из них изложена теория интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций и в пространстве L₂, вариационное исчисление, теория обобщенных производных, основные свойства пространств W₁² и W₂² и задача о минимуме квадратичного функционала в обобщенной постановке. Эта часть вышла в свет в 1974 году. Переработка и расширение второй части четвертого тома пришлась на время, когда здоровье Владимира Ивановича было подорвано тяжелой болезнью.
Тем не менее он нашел в себе силы внимательно прочесть и отредактировать написанное мною дополнение и изменения и высказал пожелания относительно окончательной редакции данной книги. У Владимира Ивановича было намерение исключить часть материала предыдущего издания, которая ему казалась несколько устаревшей в свете последующих исследований. Но в результате совместного обсуждения он согласился сохранить его и внести лишь небольшие корректировки, необходимые для увязания старого и нового текстов.
В настоящее издание внесены следующие добавления и изменения: в главе I указаны результаты, касающиеся формулы Коши и интегралов типа Коши с использованием интегралов Лебега; в главе III изменено изложение приближенного вычисления интегралов по методу скорейшего спуска и добавлено изложение метода стационарной фазы; в главе IV расширено изложение теории аналитических функций одной матрицы.
Наибольшие изменения внесены в главу V. В частности, добавлена краткая теория функций Эйри, рассмотрена асимптотика решения одного линейного уравнения второго порядка, содержащего большой параметр, и расширено изложение теории одного дифференциального уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом. В главе VI изменено изложение асимптотик функций Ханкеля и Бесселя при большом значке и аргументе.
Большую помощь при изложении указанных вопросов оказали мне В. М. Бабич, Б. С. Будильер и В. А. Якубович. Приношу им мою глубокую благодарность. Без их помощи я не мог бы выполнить большой работы по подготовке настоящего издания тома III.
