Асимптотические методы — наверное, самая романтическая область современной математики. Они нашли широкое распространение в механике, физике и других точных науках. Более того, асимптотические идеи пронизывают все остальные области человеческого знания, всю нашу жизнь.
Асимптотические методы до конца не формализуются, и в этом их прелесть, здесь остается большой простор для фантазии, догадки и интуиции исследователя, что граничит с искусством. По асимптотическим методам написано много книг, но для чтения их необходима хорошая математическая подготовка. Авторы попытались впервые изложить асимптотические идеи и методы на популярном уровне, доступном широкому кругу читателей. При этом они не ударились в крайность, когда в популярной книге по естественным наукам нет даже формул.
В их книге математика осталась, (видимо, иного и не могло быть, ведь популярно излагать математические методы), но эта математика на уровне хорошего школьного образования. Вместе с тем, авторам удалось продемонстрировать на простых примерах все основные идеи асимптотических подходов и методов, подробно рассказать о результатах их применения в различных областях знания, включая механику, механику жидкости, физику, биологию, искусство и искусствоведение.
Рукопись книги дополнена всем уместным и глубоким приложением, где излагается работа Р. Г. Бараника “Что такое асимптотические методы?” (попытка разобраться). В заключении хочу отметить, что для пропаганды асимптотических методов данная книга будет иметь существенное значение. Книга найдет широкий круг читателей от школьников, студентов, научных работников до всех, интересующихся асимптотическими методами.
Это пособие – просто находка для тех, кто дружит с техникой или хочет с ней подружиться. Тут есть всё, чтобы разобраться, как работают устройства и механизмы, и понять законы, на которых всё это держится. Автор не только рассказывает, но реально объясняет так, чтобы стало ясно. А ещё здесь куча разобранных задач – и для тех, кто любит точные расчёты, и для тех, кому интереснее покопаться в экспериментах. Ну, а задания тут какие! Есть те, что учат думать, есть те, что заставляют провернуть что-то своими руками. Много самостоятельной работы, всякие захватывающие эксперименты… В общем, скучно не будет. И самое главное – через все эти штуки открывается настоящая красота механических процессов. Это не просто теория, а такая, знаете, живая наука. Подходит это пособие не только для уроков. Хотите подтянуться по инженерии или природным наукам? Или просто заняться чем-то полезным вне школы? Пожалуйста. Программу можно подстроить хоть под технологический профиль, хоть под универсальный.
Сходимость в этом случае аналогична сходимости для случая n = 0, однако радиус сходимости значительно больше. Этого следовало ожидать, так как возмущающий член s cos² θ не может приближаться к невозмущенной величине n² до тех пор, пока s не станет достаточно большим. Позже (на стр. 28) мы разовьем приближенный метод, который основывается на этом соображении. Однако при s = 30 возмущенный ряд уже не сходится; преобразование Эйлера дает величину 48,89, все еще довольно далекую от точного значения.
Из этих примеров ясно, что метод улучшения сходимости ряда по возрастающим степеням λ был бы крайне желателен. Мы рассмотрим два таких метода — метод Фредгольма и метод Финбера. Формула Фредгольма дает выражение, справедливое для всех значений параметра возмущения λ.
Двухтомный курс Ф. Морса и Г. Фешбаха занимает особое место в литературе по математической физике. Он написан физиками для физиков и инженеров и показывает в действии математические методы, наиболее успешно применяемые при изучении различных полей.
В книге излагается ряд важнейших разделов современной математики в плане их применения к задачам физики и техники. Большим достоинством является то, что авторы всюду стремятся выяснить основные идеи, сущность и физический смысл излагаемых методов. Поэтому книга представляет значительный интерес и для математиков, которым она покажет новые стороны известных им методов. Некоторые из излагаемых методов (например, метод теории возмущений во втором томе) успешно применяются физиками, но еще недостаточно известны математикам и ждут своего математического обоснования. Другие же математики найдут в книге большое число подробно разобранных примеров важных прикладных задач.
Курс Морса и Фешбаха лежит на стыке физики и математики. Он отличается от обычных курсов по математической физике своей значительно большей философской и методической наполненностью и тем, что в нем основное место уделяется разработке методов теории полей.
Книга будет полезной студентам, аспирантам и научным работникам математических, физических и инженерных специальностей. И вообще всем лицам, сталкивающимся с применением современной математики.
Монография известных итальянских ученых содержит весьма подробное и вместе с тем доступное изложение метода точного интегрирования ряда классов нелинейных уравнений в частных производных (основанного на изучении спектральных свойств некоторых линейных дифференциальных операторов), который дал начало развитию новой области математической физики, называемой теорией солитонов. Дается полный обзор современного состояния теории солитонов, излагаются новые результаты, полученные авторами.
Для специалистов, аспирантов и студентов, интересующихся теорией солитонов и ее приложениями.
Книга содержит изложение курса лекций, которые автор читал в Московском и Новосибирском университетах. Направленность книги связана с интересами автора в области приложений дифференциальных уравнений к механике сплошных сред и с разработками численных методов решения этих уравнений.
Во втором издании (1-е издание выходило в 1971 г.) основной переработке подверглась теория симметрических гиперболических систем. В частности, изложена теорема существования решений у диссипативной смешанной задачи в случае двух пространственных и одной временной переменных.
Книга представляет интерес как для студентов, изучающих курс уравнений математической физики, так и для лиц, специализирующихся в области приложений уравнений в частных производных и численных методов их решения.
Групповой анализ служит для описания свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп преобразований. Он дает практические методы понижения порядка или полного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и построения отдельных классов точных решений линейных и нелинейных уравнений математической физики.
Настоящая брошюра включает фрагменты курса лекций по групповому анализу, читаемого автором в Московском физико-техническом институте.
В этой книге я собрал лекции, читанные мной в College de France в качестве лектора по курсу, учрежденному семьей Пекко (Peccot), в течение 1902/03 академического года.
Этот курс состоит из двадцати лекций, посвященных расширению понятия интеграла. Полный исторический обзор не уместился бы в двадцати лекциях, поэтому, оставив в стороне многие важные результаты, я ограничился сначала интегрированием действительных функций одного действительного переменного; читатель может исследовать, легко ли поддаются обобщению указанные результаты.
Кроме того, среди многочисленных определений, последних предлагаемых для интеграла действительной переменной, я удержал лишь те, которые, по моему мнению, необходимо знать, чтобы понять все видоизменения, испытанные проблемой интегрирования, и чтобы уловить связь, существующую между кажущимися столь простыми модулями площадей и некоторыми, на вид весьма сложными, аналитическими определениями интеграла.
Второй том известной монографии Л. Фукса (т. 1 вышел в издательстве «Мир» в 1974 г.) содержит многочисленные результаты структурной теории абелевых групп, полученные в самые последние годы. В книге охвачен широкий круг вопросов, причем, как и в первом томе, изложение сопровождается значительным количеством упражнений.
Оба тома в совокупности представляют собой своего рода энциклопедию по абелевым группам — в основном тексте и в упражнениях можно найти почти все важные результаты этой теории. Интересен и приведенный автором список нерешенных проблем.
Книга полезна каждому математику, работающему в области теории групп, теории модулей и колец, топологии.
Книга Н. Джекобсона является систематическим изложением теории колец, в первую очередь колец эндоморфизмов. Эта область абстрактной алгебры, возникшая в начале нашего столетия, получила дальнейшее развитие в работах Алберта, Артина, Э. Нетера и других, и в настоящее время продолжает быстро развиваться.
Книга рассчитана на научных работников-математиков, а также аспирантов и студентов старших курсов математических факультетов, специализирующихся по алгебре. Она может служить хорошим дополнением к работам советских ученых по современной алгебре, которые развивались по преимуществу в других смежных направлениях (см. книгу А. Г. Куроша „Теория групп“ и работы И. М. Гельфанда по теории нормированных колец).
