Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах). При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математичекского кружка.
Книга посвящена тем свойствам коник (кривых второго порядка), которые формулируются и доказываются на чисто геометрическом языке (проективном или метрическом). Эти свойства находят применение в разнообразных задачах, а их исследование интересно и поучительно. Изложение начинается с элементарных фактов и доведено до весьма нетривиальных результатов, классических и современных. Раздел «Некоторые факты классической геометрии» является содержательным дополнением к традиционному курсу евклидовой планиметрии, расширяющим математический кругозор читателя.
Книга демонстрирует преимущества чисто геометрических методов, сочетающих наглядность и логическую прозрачность. Она содержит значительное количество задач, решение которых тренирует геометрическое мышление и интуицию.
Книга может быть полезна для школьников старших классов, студентов физико-математических специальностей, преподавателей и широкого круга любителей математики.
Эта книга представляет собой сборник теорем классической геометрии, сформулированных в виде картинок.
Она предназначена для школьников старших классов, учителей, а также всех, кто интересуется элементарной геометрией.
XVIII в. в Европе был веком дальнейшего укрепления капиталистического строя, технической революции и перехода от мануфактурного производства к фабричному. В ведущей стране того времени Англии после буржуазной революции XVII в. власть феодального дворянства была окончательно подорвана.
Аграрный переворот в середине XVIII в. и промышленный переворот в конце XVIII и начале XIX в. еще более укрепили английскую буржуазию и ее роль в политическом руководстве страной. В это же время Англия завоевывает Индию, Канаду и многие другие колонии, вытесняя из них Францию, Испанию и Португалию. В XVIII в. колониальная империя Англии терпит только одно серьезное поражение — в войне с ее северо-американскими колониями, объявившими себя независимыми Соединенными Штатами.
Новым временем нередко условно называют XVII и XVIII века. В Европе, и прежде всего в экономически более развитых государствах, в эту пору укреплялся новый общественный строй — капитализм.
Составной частью этого процесса была техническая революция — переход от мануфактурной промышленности к фабричной и целая серия изобретений, среди которых особое место заняло создание паровой машины. Ф. Энгельс писал, что это орудие «в большей мере, чем что-либо другое, будет революционизировать общественные отношения во всем мире» и «сначала доставит буржуазии социальное и политическое господство, а затем вызовет классовую борьбу между буржуазией и пролетариатом». Приход к власти буржуазии происходит в острой идеологической и политической борьбе, и на ряде стран для этого потребовался революционный взрыв.
В Англии буржуазная революция завершилась к середине XVII в., в растянутом виде продолжалась до конца XVIII в.; революции в Нидерландах конца XVI в., закончившиеся испанским владычеством, и революции во Франции и странах Центральной Европы в течение XIX в. Новое время было неотделимо от индустриальной революции. Цепную реакцию великих преобразований во всех областях естествознания начали географические открытия XV-XVI вв., связанные между собой с объединением людям территории нашей планеты.
В настоящем сочинении изложена история математики до начала XIX в. Написанный коллективом советских ученых, этот труд отражает основные общие установки советской школы историков математики. Поступательное движение математики рассматривается не только как процесс создания все более совершенных идей и методов исследования пространственных форм и количественных отношений действительного мира, но и как социальное явление. Раз уже возникшие математические структуры всегда развиваются в той или иной мере самостоятельно, но это саморазвитие происходит в условиях и на основе практической деятельности людей и определяется, иногда непосредственно, иногда в конечном счете, потребностями общества.
Учитывая эти обстоятельства, авторы ставили своей задачей, с одной стороны, установить движущие силы прогресса математики и с этой целью исследовать ее взаимосвязь с общественным базисом, техникой, естественными науками, философией. С другой стороны, анализируя внутренний ход событий в истории математики, авторы стремились определить достижения и пределы математических методов в различные периоды истории. Это, естественно, налагает на всю работу алгебраический основной оценок.
Так, успешное всестороннее изучение генезиса некоторых математических идей и концепций (например, числа и формулы Лиувилля, теории суммирования рядов, понятия функции, числа и ряда, дробных разностей, подобных жекобиянов, и др.) приводит к более правильной расстановке в истории концепций и показу возникших, чем прежде, динамики и приближенных методов старых времен.
Во взаимоотношениях математики с ее приложениями сравнительно недавно наступил глубокий перелом. Раньше можно было более или менее четко указать пограничные, “прикладные” области математики и глубинные, “чисто теоретические” ее недра. Эти недра не имели непосредственного выхода на поверхность, в них осуществлялись свои собственные процессы (конечно, не без влияния периферии).
Так, в античные времена математика сносилась с практикой через элементарную геометрию и искусство счета — в то время как “в глубине” создавались “Начала” Евклида с их дедуктивной организацией геометрии, с геометрическими построениями, с основами теории чисел. В новое время прикладное значение имело исчисление бесконечно малых, для обоснования которого “в недрах” развивалась общая теория множеств и функций, вызвавшая в свою очередь к жизни математическую логику.
Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов, вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов. Обычно объекты и их отображения образуют категорию. Именно поэтому теоретико-категорный язык с момента своего появления стал модным средством выражения результатов математических исследований, тем более, что само рождение теории категорий связано с бурным развитием идей и методов гомологической алгебры.
За последние годы за рубежом появилось несколько монографий, содержащих систематическое изложение основ теории категорий и некоторых ее достижений, относящихся, как правило, к абелевым категориям. Некоторые результаты, относящиеся к абелевым категориям, можно найти в книгах А. Гротендика [3], А. Картана и С. Эйленберга [4], С. Маклейна [10], переведённых на русский язык. В этих книгах категорией пользуются как вспомогательный аппарат для гомологической алгебры. Интересное и глубокое изложение теории абелевых категорий можно найти в книгах П. Фрейда [13], Б. Митчела [11] и П. Габриэля [2].
Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов: теория множеств немыслима без отображений множеств, топология немыслима без непрерывных отображений, алгебра немыслима без гомоморфизмов алгебраических систем и т. д. Обычно объекты и их отображения образуют категорию.
Грубо говоря, это означает, что отображения можно иногда перемножать, причем это умножение ассоциативно. Абстрагируясь от структуры объектов, теория категорий изучает свойства совокупности отображений, снабжённой частичной операцией умножения. В последние годы все более вырисовывается объединяющая и унифицирующая роль теории категорий в математике. Поэтому, наряду с теорией множеств, она образует фундамент современного математического мышления и является самостоятельной областью математики.
Известный американский математик М. Холл уже знаком советскому читателю по изданным в русском переводе книгам — «Теория групп» (ИЛ, 1962) и «Комбинаторный анализ» (ИЛ, 1963). Настоящая книга является наиболее полным изданием в области комбинаторного анализа.
Она состоит из трех основных частей: проблемы перечисления, теоремы выбора и связанные с ними вопросы и проблемы существования и построения блок-схем. Книга написана на высоком научном уровне и освещает самые новейшие достижения в области комбинаторики.
Она доступна весьма широкому кругу читателей и, несомненно, заинтересует математиков различных специальностей.
