Книга Кэртиса и Райнера восполняет существенный пробел, который до недавнего времени был в мировой алгебраической литературе. Несмотря на то, что со времени основополагающих работ Фробениуса, Шура и Бернсайда в теории представлений конечных групп и алгебр было получено много важных и тонких теорем, все монографии, затрагивающие эту теорию, в основном ограничивались ее классическим аспектом.
С выходом в свет книги Кэртиса и Райнера читатели получили возможность познакомиться с систематическим изложением современной теории представлений.
Книга, третье издание которой предлагается сейчас вниманию читателя, на протяжении четверти века сопровождала развитие теории групп и в посильной мере ему содействовала. Работа над ее первым изданием была закончена автором в 1940 г., в следующем году прошли обе корректуры, и лишь обстоятельства военного времени задержали выход книги в свет до 1944 г. Во введении к первому изданию — значительная часть этого введения воспроизводится ниже — указаны цели, к которым стремился автор, работая над книгой.
В сороковых годах общая теория групп испытала бурное развитие. Особенно крупные успехи были достигнуты в теории абелевых групп, теории прямых произведений, теории разложений и nilpotent-групп и групп с различными условиями конечности. Весьма значительную роль играла в этом развитии советская теоретико-групповая школа, начиная с положения О. Ю. Шмидта и его учеников и заканчивая молодыми советскими алгебраистами.
История подготовки и издания настоящей книги — напомним, что ее машинописный экземпляр 1940 г. хранился в кабинете математики и механики Московского университета и был доступен для изучения.
Вышедшие в 1962 году своим первым изданием “Лекции по общей алгебре” А. Г. Куроша подводили итог громадной работы одного из крупнейших современных алгебраистов по пропаганде идей и методов абстрактной, теоретико-множественной (“общей”, как любил говорить А. Г. Курош) алгебры среди широких кругов математиков.
Книга сразу стала библиографической редкостью. Ее автор в последние годы своей жизни мечтал о широком пополнении книги. Об этом говорится в введении к ротапринтному изданию Московского университета “А. Г. Курош. Общая алгебра (лекции 1969/70 учебного года). Москва — 1970” его автором следующее: “В 1962 г. вышла из печати моя книга “Лекции по общей алгебре”, позже появились ее переводы на английский, немецкий, французский, польский, чешский, японский и китайский языки.
Настоящий курс не опирается на эту книгу и имеет с нею сравнительно немного перекрытий, хотя идея и цель весьма близки. Надеюсь, что в будущем смогу объединить материал этой книги и этого курса в одну новую книгу“.
Первое издание этой книги вышло в 1946 г., а затем она переиздавалась в 1950, 1952, 1955 и 1956 гг. Перед вторым и четвертым изданиями книга подвергалась значительной переработке, имеющей целью отразить опыт алгебраического преподавания в Московском университете. При подготовке к настоящему шестому изданию книга подверглась еще более серьезной переработке, столь серьезной, что с достаточными основаниями ее можно было бы считать новой книгой, а не шестым изданием старой книги.
Эта переработка определялась двумя задачами. Прежде всего, неоднократно высказывались пожелания о расширении книги для того, чтобы она обеспечивала весь обязательный университетский курс высшей алгебры, а не только его первые два семестра, как это было до сих пор.
С этой целью в книгу включено несколько новых глав. Одна из них посвящена основам теории групп, а остальные относятся к линейной алгебре и содержат изложения простейших теорий евклидовых пространств, теории λ-матриц и жордановой нормальной формы матриц.
В настоящей книге по существу повторяется это издание с незначительной редакционной правкой. Добавлена лишь библиография, посвященная таким алгебраическим образованиям, которые упоминаются в книге, но которые пока не принято называть классическими (например, полугруппы, кольцоиды, почти-кольца, полуколца, мультиоператорные группы и кольца и др.).
Список работ, относящихся к 1953—1970 гг., был составлен автором и дополнен мною работами 1971—1972 гг. Библиография помещена в конце книги, но распределена по параграфам.
Книга одного из крупнейших математиков ГДР, известного специалиста по теории чисел, содержит полный обзор важного раздела теории алгебраических чисел. Изложение основано на теории когомологий конечных и проконечных групп, приложения которой выходят далеко за рамки теории алгебраических чисел.
Она применяется в гомологической алгебре, алгебраической геометрии, теории чисел, теории групп, топологии. Это делает книгу интересной и доступной широкому кругу математиков различных специальностей. Книга будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Автор книги, известный английский алгебраист П. Кон, уже знаком советскому читателю по переводу книги «Универсальная алгебра» («Мир», 1968). В новой монографии Кона собран обширный материал по свободным ассоциативным алгебрам и близким к ним кольцам, прежде всего кольцам свободных идеалов.
Понятие кольца свободных идеалов было введено автором в 1964 г., и с тех пор появилось большое число работ, посвященных изучению этого класса колец. Впервые в мировой математической литературе этот материал систематизирован и изложен в виде монографии. Многие результаты, вошедшие в книгу, публикуются здесь впервые.
В книге приводятся получившие большую известность результаты автора по вложению колец в тела. Книга представляет большой интерес для специалистов в области алгебры и всех математиков как возможная основа будущей «некоммутативной алгебраической геометрии». Она написана с большой заботой о читателе и вполне доступна студентам и аспирантам математических факультетов университетов и педагогических институтов.
Книга известного английского математика профессора Лондонского университета П. Кона — первая в мировой литературе монография, специально посвященная теории универсальных алгебр. Это новое направление общей алгебры развивается сейчас очень бурно и оказывает существенное влияние на другие ее разделы.
Блестяще написанная книга, несомненно, заинтересует не только всех алгебраистов, но и представителей других областей математики. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам университетов и педвузов.
Книга «Линейно упорядоченные группы» посвящена изложению современного состояния теории линейно упорядоченных групп — быстро развивающейся области современной алгебры. Понятие линейно упорядоченной группы играет важную роль при определении действительных чисел, а также в некоторых разделах геометрии и функционального анализа. Помимо этого, изучение линейных порядков на группе важно и для абстрактной теории групп.
Основное внимание в книге уделяется признакам упорядочиваемости группы, описанию строения и способом построения линейно упорядоченных групп. Подробно излагаются вопросы продолжения частичного порядка группы до линейного, топологические и порядковые свойства линейно упорядоченных групп. Значительная часть результатов, приведенных в книге, получена в последнее десятилетие и не отражена в имеющихся монографиях по алгебре.
Книга рассчитана на математиков — аспирантов и научных работников, а также на студентов старших курсов университетов и педагогических институтов. Она может служить основой для специальных курсов и семинаров.
Второй том этого капитального труда помимо интересных результатов о внутренней структуре некоторых типов полугрупп содержит изложение теории представлений полугрупп полными и частичными преобразованиями. Кроме того, рассмотрена теория конгруэнций и вложения полугруппы в группу.
