В предлагаемой книге рассматриваются оптические свойства конических сечений (эллипса, гиперболы, параболы).
Книга рассчитана на учащихся старших классов и может быть использована для работы в школьных математических кружках.
В основу книги положены лекции, прочитанные автором в школьном математическом кружке при Сталинградском педагогическом институте.
Текст брошюры представляет собой обработанные и дополненные записи лекции, прочитанной автором 2 октября 1999 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов.
В брошюре, в частности, рассказывается об основных теоремах теории выпуклых многогранников. Это — теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с заданными гранями и теорема Александрова о том, из каких развёрток можно склеить выпуклый многогранник. В основной части брошюры излагаются основные результаты и идеи их доказательства. В Приложении содержатся подробные доказательства нескольких теорем о многогранниках, в том числе доказательство знаменитой теоремы Эйлера.
Книга Д. Гильберта, одного из самых выдающихся современных математиков, “Grundlagen der Geometrie”, перевод которой сейчас предлагается русским читателям, представляет собой выдающееся явление в мировой литературе.
Первое издание ее, вышедшее в 1899 г., было восторженно встречено математическим миром и дало ни с чем несравнимый могучий толчок исследованиям об основах геометрии*. Не будет преувеличением, если мы скажем, что едва ли после 1899 года вышла хотя бы одна работа по этому вопросу, которая в той или иной степени не опиралась бы на работы Гильберта.
Настоящее пособие является второй книгой факультатива «Решение задач» (см.: Ш а р ы г и н И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1989), формальная цель которого — подготовить выпускника средней школы к сдаче конкурсного экзамена по математике и продолжению образования в вузах, где дисциплины математического цикла относятся к числу ведущих, профильных.
Эта декларируемая цель скрывает, маскирует целый ряд других, возможно, более социально значимых целей. Главное — математическое развитие. Поэтому стоит напомнить совет, данный читателю в предисловии к первой книге. Не следует заранее ограничивать себя сверху каким-либо определённым уровнем. Чем глубже изучить предлагаемый материал, чем дальше продвинетесь по цепочке задач внутри каждого параграфа, а задачи эти расположены в основном по возрастанию сложности, тем лучше.
Книга содержит задачи различной сложности по основным темам школьного курса планиметрии (7–9 классы).
По каждой теме приводятся основные теоретические факты, ключевые задачи, подробные решения наиболее важных задач, задачи на отработку учебных навыков, для углубленного изучения геометрии и олимпиадные задачи. К большинству задач даются ответы, решения или указания.
Книга является дополнительным пособием к действующим учебникам по геометрии и может использоваться как в общеобразовательных, так и в физико-математических школах, а также для подготовки к вступительным экзаменам в вузы.
Предыдущее издание книги вышло в 2004 году.
Настоящая книжка, рассчитанная в первую очередь на учащихся старших (9-го и 10-го) классов средней школы, учителей математики и студентов физико-математических факультетов пединститутов, примыкает к книжке И. С. Соминского «Метод математической индукции», составляющей 3-й выпуск серии «Популярные лекции по математике», и может рассматриваться как ее продолжение; тем читателям, которые знакомы с книжкой И. С. Соминского, она будет особенно интересна.
Книжка содержит 37 примеров, решения которых подробно разобраны, и 40 задач, сопровождаемых краткими указаниями. Она посвящена разнообразным применениям метода математической индукции к решению геометрических задач. Наиболее поучительны здесь, по нашему мнению, различные аспекты метода математической индукции; отдельные (но, разумеется, не все) примеры и задачи могут также представлять и определённый самостоятельный интерес.
В основу книжки положены две лекции, прочитанные И. М. Ягломом московским школьникам — участникам школьного математического кружка при Московском государственном университете.
Въ предисловіи автора къ первому изданію съ достаточной полнотой изложены планъ и содержаніе второго тома настоящаго сочиненія. Мы ограничимся, съ своей стороны, только слѣдующими замѣчаніями. Вопросы, относящіеся къ основаніямъ геометріи, въ настоящее время еще усиленно разрабатываются; но не только относительно тѣхъ проблемъ, которые лежатъ на рубежѣ между математикой и философіей, еще не достигнуто соглашенія, не выработано болѣе или менѣе общей точки зрѣнія, но и возникающія здѣсь задачи чисто математическаго характера вызываютъ еще немало спорвъ.
Съ этой, именно, точки зрѣнія мы можемъ рекомендовать ччитателю относиться къ излагаемымъ въ настоящей книгѣ разсужденіямъ. Во многихъ своихъ частяхъ это — не установившыяся прочно истины, это — взгляды, которые можно раздѣлять въ большей или менѣйшей степени. Съ нѣкоторыми взглядами автора мы, напримѣръ, рѣшительно не можемъ согласиться; такъ мы не можемъ усвоить точки зрѣнія автора на “натуральную геометрію”.
Но авторъ тонко изучилъ обширную литературу, относящуюся къ основаніямъ геометріи. Въ тѣхъ случаяхъ, когда по тому или иному вопросу мнѣнія особенно расходятся, онъ съ достаточной обѣктивностью излагаетъ различныя точки зрѣнія. Во всякомъ случайѣ это наиболее полное изложеніе предмета въ элементарной литературѣ. Если, однако, читатель не всегда вынесетъ полное убѣжденіе, то это должно быть отнесено, главнымъ образомъ, къ трудности самого предмета.
В планиметрии мы узнали, что между сторонами и углами треугольника имеется известная зависимость.
Теоремы о конгруэнтности треугольников обнаруживают, что треугольник вполне определён по форме и по величине, если в нём даны либо три стороны, либо две стороны и угол, между ними заключённый, либо сторона и два прилежащих угла.
Если даны две стороны и угол, противолежащий одной из них, то треугольник этими данными тоже определяется, если не однозначно, то, и не более, чем двузначно.
Для чтения и понимания этой книги не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки школьной программы восьмого класса. И даже более того: многое известное школьникам здесь объясняется еще раз (например, понятие абсолютной величины числа, простейшие примеры решения неравенств и др.).
Однако следует иметь в виду, что книга написана не для легкого чтения, а для серьезного систематического изучения, и поэтому, чтобы понять ее, нужно терпеливо работать над текстом и, главное, над упражнениями, которых в книге много.
Все задачи, которые даны непосредственно в тексте (они не имеют номеров), должны быть разобраны, так как их результаты будут использоваться в дальнейшем изложении. Большую роль играют также рисунки. Некоторые из них содержат необходимые пояснения текста, примеры, ответы к упражнениям и т. д.
Книжка предназначается для учащихся старших классов средней школы, заинтересовавшихся геометрическими построениями, которые снова стали появляться, хотя очень медленно и в весьма ограниченном объеме, в школьном курсе элементарной геометрии. Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.
Усвоив основные задачи на построение и использование циркуля и линейки для выполнения чертежа, узнав, что некоторые задачи не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, учащийся естественно заинтересуется вопросом, почему одну задачу можно решить с помощью линейки и циркуля, а другую — нельзя. Зная, что деление окружности на шесть одинаковых частей не требует применения линейки, учащийся может задуматься, нельзя ли решать некоторые задачи с помощью только циркуля, как именно и как. На эти вопросы и отвечает предлагаемая книжка, главное содержание которой есть геометрия циркуля.
