Цель этого пособия состоит в том, чтобы помочь студентам первого курса математического и физического факультетов при изучении раздела “Векторная алгебра” курсов “Аналитическая геометрия”, “Геометрия”, “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”.
Вместе с предельно кратким изложением теоретического материала пособие содержит приемы решения типовых задач, знание которых является необходимым условием понимания курса. В стандартных учебниках этим приемам не уделяется должного внимания. Часть задач снабжена решениями, часть — ответами.
Римана — Роха. С одной стороны, она позволяет продемонстрировать технику вычислений с когерентными пучками, не требуя слишком детального изучения локальных свойств морфизмов или проблем представимости функторов (на что у меня не было времени). С другой стороны, она наиболее близка к классической проблематике и явно открыта для дальнейшего прогресса.
Будучи фундаментом “численных методов” в алгебраической геометрии и теории схем, K-теория доставляет необходимый аппарат для исследования структуры колец Чжоу, задач об алгебраических циклах или проблем бирациональной геометрии.
Эта теория представлена в предлагаемых записях лекций второго года. Читатель, для которого лекции 2 окажутся недоступными, сможет понять эти записи, ознакомившись с литературой, указанной в п. а) (см. в особенности 3, 4).
В 1986-1988 гг. автор прочел на механико-математическом факультете МГУ двухгодовой курс лекций по алгебраической геометрии. Материал первого года был размножен на ротапринте 2, материал второго года был опубликован в “Успехах математических наук” 5. Оба эти издания сохранили отпечаток лекционного курса, с его преимуществами и недостатками.
Предлагаемая книга отличается небольшим и стольным силу трудовой главой задуманного учебника по алгебраической геометрии. Она уже включает для обозрения материал многих лекций 2, значительно расширенных и переработанных.
Предлагаемая книжка содержит прежде всего краткий, но очень ощупчивый очерк основных понятий теории схем и техники когомологий когерентных пучков на них. Далее, эта техника применяется к теории кривых и поверхностей, для которых строятся схемы Пикара и доказывается ряд фундаментальных алгебро-геометрических фактов.
Книга трудна, но написана очень живо и на редкость содержательно. В немногочисленной монографической литературе по современной алгебраической геометрии она занимает особое место: по ней можно изучать содержательные результаты, хотя предварительные требования к читателю достаточно высоки.
Вопросы векторной алгебры составляют обязательный раздел курса аналитической геометрии, читаемого студентам физико-математических факультетов пединститутов. Важность этого раздела определяется тем, что многие вопросы аналитической геометрии успешно описываются средствами векторной алгебры, а также и тем, что на базе векторной алгебры строится векторный анализ, широко применяемый в курсах дифференциальной геометрии, общей и теоретической физики, теоретической механики.
Кроме приложений к обязательным курсам, векторная алгебра с успехом может быть использована при решении различных задач элементарной геометрии. Последнее обстоятельство усиливает роль векторной алгебры при подготовке учителя математики и физики средней школы.
Исходя из этого, была предпринята попытка выделить векторную алгебру из курса аналитической геометрии при составлении задачника-практикума по этому курсу. Мы надеялись, что такая методика изучения векторного анализа улучшит теоретическую и профессиональную подготовку студентов.
В теории классовых групп, которая ведет начало от классических работ Ф. Клейна и А. Пуанкаре, в последнее время достигнут значительный прогресс. Однако на русском языке нет книг, посвященных изложению современного состояния этой теории.
Перевод работы американского математика Ирвина Кра восполняет указанный пробел. Наряду с новыми достижениями в книге изложены и многие классические результаты теории римановых поверхностей. Книга хорошо написана, доступна для начинающих и требует от читателей лишь знакомства с основным курсом комплексного анализа и элементами топологии.
Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые автор читал в начале нулевых годов на радио-физическом факультете Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина.
Автор хотел написать учебник «как лучше», и ему трудно судить, удалось ли это. Зато с уверенностью можно сказать, что получилось не «как всегда», хотя рассматриваемые темы вполне традиционные: векторные и евклидовы пространства, линейные отображения и матрицы, определители, системы линейных уравнений и аналитическая геометрия.
Есть, по крайней мере, два важных отличия этого учебника от большинства подобных курсов. Во-первых, автор стремился получить все результаты в многомерном случае, хотя всегда подробно обсуждаются двух- и трехмерные случаи. Особенно это относится к аналитической геометрии.
Настоящее пособие имеет своей целью дать изучающим его, главным образом студентам вузов и втузов, необходимые сведения по векторному исчислению для того, чтобы можно было в дальнейшем изучать векторным способом другие дисциплины, как, например, теоретическую механику, гидромеханику, теорию электричества.
Курс снабжен большим количеством задач геометрического и элементарно-механического характера, помогающих лучшему усвоению понятий и методов векторного исчисления.
В настоящее издание включена новая глава VII, посвященная пространствам Минковского и основам специальной теории относительности.
Эта глава в известной мере примыкает к главам V и VI, где излагаются проективная геометрия и теоретико-групповые вопросы, но по существу ее изложение построено независимо от остального материала книги (в ней используются лишь готовые результаты главы V для доказательства линейности преобразований Лоренца). Что касается других разделов, то они, в основном, остались без изменений, если не считать местных исправлений и улучшений (которых, однако, довольно много).
Автор выражает благодарность Нгуен Кан Тоану (Вьетнам), И. А. Вайнштейну и А. М. Заморзаеву за полезные замечания и рекомендации к четвертому изданию.
В настоящем издании произведены следующие изменения:
Значительно сокращена глава 6, посвященная общему уравнению линии второго порядка. Дело в том, что приведение к каноническому виду такого уравнения само по себе является вполне простой задачей; кроме того, эта задача не настолько часто встречается, чтобы имело смысл запоминать для нее готовые формулы. Поэтому здесь достаточно разъяснить сущность метода, что и сделано.
В конце главы 8 добавлены два небольших пункта о разложении вектора по косому базису.
Несколько упрощено изложение отдельных мест главы 13.
Исключен материал, содержащийся в §§ 77—81 предыдущего издания (приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка).